高三数学知识点总结经典版

高中数学学问梳理总汇及复习第一局部集合与函数1、在集合运算中确定要分清代表元的含义.[举例1]已知集，求.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若且，求的取值范围.3、充要条件的断定可利用集合包含思想断定：若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若且即，则A是B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去断定也很便利.充要条件的问题要非常细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；留意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合，则点的＿＿＿＿＿＿＿条件是点；点是点的＿＿＿＿＿＿＿条件.4、驾驭命题的四种不同表达形式，会进展命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论推断出命题的真假.［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.5、若函数的图像关于直线对称，则有或等，反之亦然.留意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数的图像关于直线的对称曲线是函数的图像，函数的图像关于点的对称曲线是函数的图像.[举例1]若函数是偶函数，则的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.[举例2]若函数满意对于随意的有，且当时，则当时＿＿＿＿＿＿＿＿.6、若函数满意：则是以为周期的函数.留意：不要和对称性相混淆.若函数满意：则是以为周期的函数.（留意：若函数满意，则也是周期函数）［举例］已知函数满意：对于随意的有成立，且当时，，则＿＿＿＿＿＿.7、奇函数对定义域内的随意满意；偶函数对定义域内的随意满意.留意：运用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若是奇函数且存在，则；反之不然.［举例1］若函数是奇函数，则实数＿＿＿＿＿＿＿；[举例2]若函数是定义在区间上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一样，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数的图像关于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必需留意定义域.［举例］若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实数满意：，求的取值范围.9、要驾驭函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数的图像，作出函数的图像.（留意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特殊关注的图像.［举例］函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10、讨论方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特殊是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有确定值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必需留意的是作出的图形要尽可能精确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例1］已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.[举例2]若曲线与直线没有公共点，则应当满意的条件是.11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反响在图像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应留意的是：有反函数的函数不确定是单调函数，你能举例吗？［举例］函数，（），若此函数存在反函数，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12、求一个函数的反函数必需标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于的）方程的过程.留意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中确定要留意正负号确实定.［举例］函数的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线对称；若函数的定义域为A，值域为C，,则有..须要特殊留意一些复合函数的反函数问题.如反函数不是.［举例1］已知函数的反函数是，则函数的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.[举例2]已知，若，则＿＿＿＿.14、推断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数的单调性.[举例]函数在上是单调增函数，务实数的取值范围.15、一元二次函数是最根本的初等函数，要娴熟驾驭一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上确定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.［举例］求函数在区间的最值..16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不行分割的三个学问点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特殊对于含参一元二次不等式的讨论比拟便利.还应当留意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.[举例1]已知关于的不等式的解集是，则实数的值为.［举例2］解关于的不等式：.第二局部不等式17、根本不等式要记住等号成立的条件与的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用根本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有根本不等式的应用.［举例］已知正数满意，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.18、学会运用根本不等式：.［举例1］若关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是＿＿；[举例2]若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是＿.19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采纳：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化全部因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即须要讨论）→“序轴标根”（留意比拟各个根的大小，不能比拟时即须要讨论）；解确定值不等式的关键是“去确定值”，通常有①利用确定值不等式的性质②平方③讨论.特殊留意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.［举例］解关于的不等式：.20、求最值的常用方法：①用根本不等式（留意条件：一正、二定、三相等）；②方程有解法③单调性；④换元法；一般而言：在用根本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.［举例1］已知函数的最大值不大于，又当时，，务实数的值.[举例2]求函数在区间上的最大值与最小值.21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采纳分别参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分别不出来（或很难分别），则也可以整体讨论函数的最值.特殊留意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.［举例］已知不等式对于）恒成立，务实数的取值范围.第三局部三角函数22、若，则；角的终边越“靠近”轴时，角的正弦、正切确实定值就较大，角的终边“靠近”轴时，角的余弦、余切确实定值就较大.［举例1］已知，若，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.［举例2］方程的解的个数为＿＿＿＿个.23、求某个角或比拟两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比拟两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比拟出两个角的大小）.比方：由未必有；由同样未必有；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如；则；或；若，则；若，则.［举例1］已知都是第一象限的角，则“”是“”的――（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.［举例2］已知，则“”是“”的―――（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，确定要根据角的范围来确定；能娴熟驾驭由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.［举例1］已知是第二象限的角，且，利用表示＿＿＿＿＿；［举例2］已知，求的值.25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应留意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入协助角（特殊留意，常常弄错）运用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周期的一半.［举例］函数的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿；在区间上，方程的解集为＿26、当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并留意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.［举例］已知函数，求的最大值与最小值.27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关的齐次式（等式或不等式），可以干脆用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为（其中R是△ABC外接圆半径.［举例］在△ABC中，分别是对边的长.已知成等比数列，且，求的大小及的值.28、在△ABC中：；，，，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.［举例1］在△ABC中，若，则△ABC的形态确定是――――（）A、等腰直角三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形；D、等边三角形.29、这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的根本关系式，但是它们在求值过程中常常会用到，要能娴熟地驾驭它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进展正确的取舍.［举例1］关于的方程有实数根，务实数的取值范围.［举例2］已知且，则＿＿＿＿＿.30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的间隔是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的间隔也是半个周期.函数的图像没有对称轴，它们的对称中心为.两相邻对称轴之间的间隔也是半个周期.［举例1］已知函数，且是偶函数，则满意条件的最小正数＿＿；［举例2］若函数的图像关于点成中心对称，则＿＿＿.第四局部复数31、复数问题实数化时，设复数，不要遗忘条件.两复数，，的条件是.这是复数求值的主要根据.根据条件，求复数的值常常作实数化处理.［举例］若复数满意：，则＿＿＿＿＿.32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式推断.［举例］若方程的两根满意，务实数的值.33、的几何意义是复平面上对应点之间的间隔，的几何意义是复平面上以对应点为圆心，为半径的圆.［举例］若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.34、对于复数，有下列常见性质：（1）为实数的充要条件是；（2）为纯虚数的充要条件是且；（3）；（4）.［举例］设复数满意：（1）（2），求复数.第五局部数列与极限35、等差数列{}中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=常数，，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于随意的自然数有：（）.［举例］数列满意：.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.37、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.38、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.［举例1］若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是＿＿；（2）使前项和的最大自然数；39、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是详细数值时，则要进展讨论.［举例1］数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围.［举例2］数列是等比数列，首项，公比，求的值.40、等差数列、等比数列的“根本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“根本元”解决.学会用随意两项关系：若｝是等差数列，则对于随意自然数有；若｝是等比数列，则对于随意的自然数，有.在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式.［举例1］已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.[举例2]已知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由.41、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要留意分段.当满意时，才能用一个公式表示.［举例］已知数列的前项和.若是等差数列，求的通项公式.42、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法.［举例］数列满意，求数列的通项公式.43、一次线性递推关系：数列满意：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解.［举例］已知数列满意：，求此数列的通项公式.44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好讨论对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简洁的问题可干脆找寻“项”与“项数”的关系，对较困难的问题可先讨论前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.［举例］某企业去底有资金积累万元，根据预料，从今开场以后每的资金积累会在原有的根底上增长20%，但每底要留出万元作为嘉奖金奖给职工.企业安排用5时间使资金积累翻一番，求的最大值.45、常见的极限要记牢：，留意存在与是不一样的；，特殊留意此式的构造形式；若是关于的多项式函数，要会求.［举例1］求下列各式的值：（1）；（2）.［举例2］若，则＿＿＿＿；＿＿＿＿.46、理解极限是“无限运动的归宿”.［举例］已知△ABC的顶点分别是，记△ABC的外接圆面积为，则＿＿＿＿＿.第六局部排列、组合与概率47、解排列组合应用题是首先要明确须要完成的事务是什么，其次要分清完成该事务是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简洁地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要留意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照看，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特殊提示：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.［举例］对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参与学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有种选法，所以共有种不同的选法.请分析这位同学的错误缘由，并给出正确的解法.48、简洁地说：事务A的概率是含有事务A的“个体数”与满意条件的事务的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题事实上是排列、组合问题的简洁应用.［举例］定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合的真子集可以作为A的“孙集”的概率是＿＿＿＿＿＿.第七局部向量49、向量加法的几何意义：起点一样时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点一样适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），表示A、B两点间的间隔；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.［举例］已知非零向量满意：，则向量的关系是――――（）A、平行；B、垂直；C、同向；D、反向.50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量同向的单位向量，反向的单位向量.［举例］已知△ABC，点P满意则点P的轨迹是（）A、BC边上的高所在直线；B、BC边上的中线所在直线；C、平分线所在直线；D、BC边上中垂线所在直线.51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积；其中可视为向量在向量上的射影.［举例1］已知△ABC是等腰直角三角形，＝90°，AC＝BC＝2，则＝＿＿；52、向量运算中特殊留意的应用.讨论向量的模常常先转化为模平方再进展向量运算.［举例］已知，且的夹角为，又，求.53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要娴熟驾驭.已知则.若，则－，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请留意：向量的坐标形式本质上是其分解形式的“简记”.其中分别表示与轴、轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量是非零向量则有：；.［举例］设O是直角坐标原点，，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小.54、利用向量求角时，要留意范围.两向量所成角的范围是.特殊留意不能等同于所成角是锐角.当同向时也满意.［举例1］已知△ABC，则“”是“△ABC为钝角三角形”的――――（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件.［举例2］是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是――――――――――――――――――――――――――（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.55、关注向量运算与其它学问的联络，与三角函数综合是高考中的常见题型.［举例］已知向量.设.（1）若且，求的值；（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，务实数的值.56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的改变；点按向量平移得到点的坐标是；曲线C：按向量平移得到曲线的方程为.在实际应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.［举例1］将椭圆对应的曲线按向量平移后得到的曲线的方程为标准方程，则＿＿＿＿；第八局部空间图形57、平面的根本性质是高考中立体几何的重点内容.要驾驭平面的根本性质，特殊留意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要留意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的状况作出相应的图形.［举例1］已知线段AB长为3，A、B两点到平面的间隔分别为1与2，则AB所在直线与平面所成角的大小为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］推断命题：“平面上有不共线的三点到平面的间隔相等，则平面与平面是平行平面”的真假.58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.［举例］已知平面，直线.有下列命题：（1）；（2）（3）；（4）.其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿.59、直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是.一般状况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求它们的锐角（直角）状况即可.［举例］设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“”把集合A、B、C、D连接起来得到＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.60、立体几何中的计算主要是角、间隔、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法（要在便利建立坐标系时用），特殊要留意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.［举例］正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB中点，则异面直线DE与BD1所成角的大小61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的间隔的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化.［举例］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的间隔.62、长方体、正方体是最根本的几何体，要娴熟驾驭它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为，对角线长为，则.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为，则；（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为，则.［举例］长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1与过A点的三条棱所成的角分别为，若，则＝―――――――――――――――――（）A、；B、；C、、D、不确定.63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一局部的高考题是以正方体作为载体进展命题，或是截取正方体的一局部进展命题.请特殊关注正方体外表按不同形式的绽开图，会由绽开的平面图形想象立体图形.［举例1］如图是一正方体的平面绽开图，在这个正方体中：（1）AF与CN所在的直线平行；（2）CN与DE所在的直线异面；（3）CN与BM成60°角；（4）DE与BM所在的直线垂直.以上四个命题中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清晰.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.［举例］“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.65、关注正棱锥中的几个直角三角形.（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都表达在这些直角三角形中.66、直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是始终线上的线段在另始终线上的射影长（过此线段两端点向另始终线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为0）与原线段长的比；二面角的平面角（或其补角）的余弦值等于，其中是一个半平面上的图形面积，是此图形在另一平面上的射影图形面积.67、特殊留意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.［举例1］如图三棱锥S－ABC中，SA平面ABC，90°，则此三棱锥的四个面中的直角三角形的个数有＿＿＿＿＿个.68、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化.［举例］下面图形为一四棱锥S－ABCD的侧面与底面.AABCD（1）请画出四棱锥S－ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？假如存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.（2）求出此四棱锥的体积；（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形ABCD的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF与最短侧棱所成角的大小.第九局部直线与圆锥曲线70、直线的倾斜角是直线向上方向与轴正方向所成的角，当直线是轴或与轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是.当直线与轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.［举例］已知直线的斜率是，直线过坐标原点且倾斜角是倾斜角的两倍，则直线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由的斜率是，知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以直线的议程为.71、若直线的倾斜角为，直线的斜率为，则与的关系是：；.［举例］已知直线的方程为且不经过第二象限，则直线的倾斜角大小为―――――――――――――――――――――――――――――――（）A、；B、；C、；D、.分析：留意到直线的斜率，又直线不过第二象限，则，所以此直线的倾斜角为，选B.72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟识：（1）点斜式，过定点与轴不垂直；（2）斜截式，在轴上的截距为与轴不垂直；（3）截距式，在轴轴上的截距分别为与坐标轴不平行且不过坐标原点.特殊留意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点.［举例］与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（）A、2条；B、3条；C、4条；D、5条.分析：留意到截距与间隔之间的区分，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.73、求直线的方程时要特殊留意直线的斜率是否存在的状况，不确定时要留意分类讨论，漏解确定是斜率不存在的状况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.［举例］过点与坐标原点间隔为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的间隔来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就解除了斜率存在的状况.考虑到直线满意题义，故所求直线有两条，其方程为：与.74、两直线位置关系讨论的主要根据是两直线的斜率，要留意斜率不存在时的状况.驾驭点到直线的间隔公式、两平行直线之间的间隔公式、两直线的夹角公式.由一般式方程推断两直线之间的关系：直线：不全为0）、：，（不全为0）.则的充要条件是且与至少有一个不为零；的充要条件是；与相交的充要条件是.［举例1］直线斜率相等是的――――――――――――――――――（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：直线斜率相等，两直线可能重合，不确定有；又两直线，考虑到特殊状况，若都与轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.［举例2］直线过点与以为端点的线段AB有公共点，则直线倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进展改变讨论..若直线与线段AB有公共点，则其斜率存在时的取值范围是：或，或其斜率不存在.因此直线倾斜角的取值范围是.75、点A、B关于直线对称即是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在上.特殊留意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点关于直线的对称点是；点关于直线的对称点是.［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点与点重合，若点与点D重合，则点D的坐标为＿＿＿＿＿；分析：事实上这是一个对称的问题，对称轴是AB的垂直平分线：，D点是C点关于直线的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设D点的坐标为，则，且，求得：.［举例2］抛物线C1：关于直线对称的抛物线为C2，则C2的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.分析：两抛物线关于始终线对称，则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点关于此直线的对称点即可.抛物线C1的焦点坐标为，所以C2的焦点坐标为.76、直线与圆的位置关系的推断主要是利用点（圆心）到直线的间隔来推断.设圆C的半径是，圆心到直线L的间隔是，当时，直线L与圆C相离；当时，直线L与圆C相切；当时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.［举例1］已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（）A、相离；B、相切；C、相交且不过圆心；D、相交且过圆心.分析：点在圆外，则，圆心到直线的间隔，又.选C.关注：若点是圆上的一点，则直线是圆过此点的切线方程；若点是圆外的一点，则直线是此圆过该点有两切线的切点弦的方程.O［举例2］若圆O：上有且只有两点到直线的间隔为2，则圆的半径的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.O分析：如图：圆心O到直线的间隔为3，与直线间隔为2的点的轨迹是与平行且与间隔为2的两平行直线（图中虚线）.由题义知直线与圆O有两不同交点，而与圆O没有公共点.因此圆O半径的取值范围是.77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程，即确定系数D、E、F.要留意的是方程表示圆的充要条件是.确定一个圆的方程须要三个相互独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.［举例1］二次方程表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；分析：留意到圆的一般方程中没有这样的项，且二次项系数都为1.则必有，且，此时方程可以化成：.与圆的一般方程比拟可以得出：.其充要条件为：.［举例2］已知圆C被轴截得的弦长是2，被轴分成的两段弧长之比为，求圆心C的轨迹方程.分析：如图，设圆心，圆半径为.因圆被轴截得的线段长为2，圆心到轴的间隔为，则根据直线与圆的位置关系，知，又圆被轴所分成的两段弧长之比为，则轴被所截得的弦所对的中心角为直角，圆心到轴间隔为，则.则.即所求的轨迹方程为.78、驾驭圆的根本特征：圆上随意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线确定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等.ABMNO［举例1］直线过定点与圆ABMNO分析：解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.即要抓住圆的几何特征.如图：，M、O都是定点，所以N在以线段OM为直径的圆上，其方程为.留意到点N在圆内，则弦N的轨迹方程为（.ABMO［举例2］直线过定点与圆ABMO交于A、B两点，O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；分析：由圆的性质知，△AOB是等腰三角形，，所以当为直角时，其面积最大，最大值为2.［举例3］已知A是圆上随意一点，点A关于直线的对称点也在圆上，则实数的值为＿＿＿＿＿.分析：圆上的点关于直线的对称点仍旧在圆上，则此直线必过圆心，代入知：.79、两圆之间的位置关系的推断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A的半径为，圆B的半径为（不妨设），则有：（1），两圆外离；（2），则两圆外切；（3），则两圆相交；（4），则两圆内切；（5），则两圆内含.关注：两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分.CMON［举例1］已知动圆C与定圆M：相切，且与CMON分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半径为，则，C到轴的间隔为，则C到直线的间隔，则C到直线的间隔与C到M的间隔相等，所以点C的轨迹是以CMONCMON.（2）当两圆内切时，可得C到M的间隔与C到直线的间隔相等，所以此时点C的轨迹是以M为焦点，直线为准线的抛物线.其方程为：.所以圆心C的轨迹方程为：与.［举例2］已知，一动圆I过点M与圆N：内切.（1）求动圆圆心I的轨迹C的方程；（2）经过点作直线交曲线C于A、B两点，设，当四边形OAPB的面积最大时，求直线的方程.分析：（1）如图，动圆I与定圆N内切，设动圆半径为，则.则有：，，所以I点的轨迹是以M、N为焦点4为长轴长的椭圆.其方程为.MNIOMNIO使得四边形OAPB面积最大，则△OAB的面积最大，留意变化中的定值条件.△OAB的面积是△AOQ的面积与△BOQ的面积之差.设A，则.可在联立方程组时，消去变量，保存.ABPOQ设直线ABPOQ由.由△=，得.由韦达定理得：知.则=.令，则：，当时等号成立.此时，即所求的直线方程为.80、椭圆的定义中要留意隐含的条件：定值大于两定点之间的间隔.驾驭椭圆根本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最根本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上随意一点到两焦点的间隔之和等于长轴的长”.［举例1］已知复数满意，则对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；分析：根据复数的几何意义，复数对应点到与对应点的间隔之和为4，看似椭圆，但留意到两定点之间的间隔为4.所以对应点的轨迹是以与对应点为端点的线段.［举例2］设P是以为焦点的椭圆上的一点，若点P满意：，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（）A、；B、；C、；D、.分析：由题知，又，则.由得.则.则.选D.81、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比拟便利，如：椭圆的根本量蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心间隔的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的间隔的最大值与最小值分别是与；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为）.［举例1］始终线过椭圆的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线的方程；［举例2］椭圆上有个不同的点，椭圆的右焦点为F，数列是公差为的等差数列，则的取值范围是＿＿＿.分析：留意到的取值范围是，若数列是递增数列，有，此时.若数列是递减数列则.所以.82、椭圆上随意一点P与两焦点构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值，利用解三角形的方法可以得出：当＝时，此三角形的面积为（引起留意的是此结论的推导过程要驾驭）.［举例］已知点，点C在直线上满意，则以A、B为焦点过点C的椭圆方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.ABOC分析：留意到△ABC的面积为2，且，即，则.所以所求的椭圆方程为.ABOC另解：由图，因为△ABC是直角三角形，｜AB｜＝4，，，可求得.所以所求的椭圆方程为.83、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的间隔大于定值（实轴长）”，双曲线根本量之间的关系要与椭圆根本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.［举例］一双曲线C以椭圆的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由题知双曲线的实轴在轴上，可设其方程为.留意到双曲线的其本量关系可得：，所以所求双曲线方程为.84、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特殊留意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.双曲线的渐近线的方程为，与双曲线共渐近线的双曲线可以设成（其中是待定的系数），双曲线的焦点到双曲线的渐近线的间隔是虚半轴长.［举例1］一双曲线与有共同渐近线且与椭圆有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；分析：由题可设所求双曲线的方程为，因其焦点在轴上，则.则标准式为，则.得所求双曲线为.O［举例2］若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.O分析：若从代数角度入手讨论比拟费事.从数形结合入手，借助于双曲线的渐近线，则很简洁得解.在同一坐标系中作出（双曲线的上半局部）与（过定点的直线）的图像.如图：可得.85、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧一支上的点的间隔最小值是，到异侧一支上点的间隔最小值是；（3）双曲线的焦点为，P是双曲线上的一点，若，则△的面积为（仿椭圆焦点三角形面积推导）.［举例1］已知双曲线的方程为，P是双曲线上的一点，F1、F2分别是它的两个焦点，若，则＿＿＿＿＿＿；分析：由双曲线的定义，知或13.留意P点存在的隐含条件，所以.［举例2］椭圆和双曲线的公共焦点为，P是它们的一个公共点，则＿＿＿＿＿；分析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以由.又由椭圆的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为，由双曲线的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为，则.解得，由万能公式得.另解：也可以由（不妨设），求得，，又由，利用余弦定理可得.［举例3］双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点，且满意＝，则△的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由题可以得点P在椭圆上，设，由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆，对于双曲线，则必有，所以△的面积等于1.86、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要留意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.［举例］抛物线的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿.分析：留意到方程不是抛物线的标准方程，其标准形式为.所以此抛物线的焦点坐标为，准线方程为.87、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上随意一点到焦点间隔等于它到准线的间隔；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为；（5）通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条.［举例1］已知抛物线的焦点为，对称轴为，且过M（3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿＿；分析：若仅局限于抛物线的标准方程，此题无法解决.考虑到抛物线的性质，准线是与对称轴垂直，则其方程可设为.由抛物线的定义可知抛物线上点到焦点的间隔与其到准线的间隔相等，因此到准线间隔等于，则，则.所以抛物线的准线为.［举例2］直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，若A、B两点到轴的间隔之和等于3，则这样的直线有―――――――――――――――――（）A、1条；B、2条；C、3条；D、不存在.分析：A、B两点到轴的间隔之和为3，则A、B两点到准线的间隔之和为5.根据抛物线的定义可得弦长，此抛物线的通径为4，故满意题义的直线有2条.选B.88、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线为例，焦点弦有下列常用性质：设抛物线的焦点为F，是抛物线上的两点.（1）A、B、F三点共线的充分必要条件是；（2）；（3）若AB过焦点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）AB过焦点，则为定值；（5）AB过焦点，则.［举例1］直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，O是抛物线的顶点，则△ABO的形态是――――――――――――――――――――――――――――――――（）A、直角三角形；B、锐角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与抛物线的开口大小有关.分析：不妨设此抛物线的方程为，过焦点的直线，代入抛物线方程得：，设，则，.，所以为钝角.选C.[举例2]求证：过抛物线焦点的全部弦长的最小值是.分析：本例的证明方法许多.设其焦点弦为AB，，则由抛物线的定义知.当且仅当时等号成立.此时直线AB与对称轴垂直.89、“增量法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.［举例］已知点M是椭圆的一条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别为，则＝―――――――――――――（）A、；B、；C、；D、.90、当直线过轴上的定点时，若直线不是轴，则此直线方程可以设成.这样可以避开讨论直线斜率是否存在.［举例］设直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线的方程.91、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联络起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹前方程.常见动点的轨迹要熟记.［举例1］设点P为双曲线上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿＿＿；分析：设又.由题义得：，代入得：即为所求的轨迹方程.像这种求轨迹的方法称为代入转移法，它适用于由定曲线上的动点所确定的另一动点的轨迹方程的求法.详细步骤是用要求轨迹方程的动点坐标来表示定曲线上的动点坐标，代入定曲线的方程.［举例2］已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点.假如延长到Q，使得，则动点Q的轨迹是―――――――――――――――――――（）A、圆；B、椭圆；C、双曲线的一支；D、抛物线.F1F2PQF1F2PQO又，所以为定值.由圆的定义知，Q点的轨迹是以F1为圆心，椭圆长轴长为半径的圆.选A.这种求轨迹的方法称之为定义法：即是根据常见曲线的定义来确定动点的轨迹.92、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进展讨论，但要留意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物线）联立得到的方程二次项可能为零.［举例］已知直线过点，双曲线C：.（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线斜率的取值范围；（3）是否存在直线使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.分析：（1）当直线与轴垂直时，直线满意题义.当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立得方程：---（*）当时，方程（*）是一次方程，直线与双曲线有一个公共点，此时直线方程为.当时，由△，得，所以满意题义的直线为：.（2）直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△，知且，得或.（3）若以AB为直径的圆过坐标原点，则，设，即.，将代入化简得：，（满意留意：解析几何的运算量比拟大，一般来说似繁的运算式子最终可以化简得出，若遇求解不出，问题常出在运算过程的失误.要有耐性、细心才行.93、特殊关注向量背景下的解几问题，及解几背景下的向量问题.能娴熟地将“向量语言”转化为“解几语言”，如：即OA⊥OB；∥即A、B、C共线等；有时也须要将“几何语言”转化为“向量语言”，如：∠APB为锐角等价于：，且A、P、B不共线.［举例］倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点.FABCFABCO（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围.分析：（1）直线方程为，由可得.若△ABC为正三角形，则，由，则CA与轴平行，此时，又.与|AC|=|AB|冲突，所以△ABC不行能是下正三角形.（2）设，则，不行以为负，所以不为钝角.若为钝角，则，，则，得.若角为钝角，则且C、B、A不共线.可得且.综上知，C点纵坐标的取值范围是.第十局部解题技巧与应试心理94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要讨论一般性的结论可以在特殊值的背景中进展.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采纳取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.[举例]函数图像的一对称轴方程是，则直线的倾斜角是――――――――――――――――――