数学建模期末题型论文

数学建模学报告班级：0309411班姓名：雷敏学号：030941120专业：电子信息科学与技术

数学建模学期总结报告[摘要]：数学建模在数学学习和应用中占据着重要的地位，它与数学模型法有不完全相同。培养学生数学建模能力可从如下四方面着手：1.对已建的数学模型进行“意义赋予”，让学生感受建模作用；2.应用题要应用，在实际问题解决中训练学生建模；3.提高学生的元认知水平；4.实行探究性学习，促进学生主动建模。本报告选取了几个典型题目并给予了解答。[关键词]:数学建模、数学模型法、最优解法概论数学模型法是数学的一种重要方法，是应用数学解决其他学科问题的主要方法。相对于现实来说，数学中的数、式、方程、函数、统计量等都可视为数学模型，它是实际问题的数学化。数学建模不同于数学模型法，通常后者主要被当作一种“静态的”数学方法，而前者关注的是过程。学生解决实际问题，一般要把实际问题转化成数学问题，再通过数学建模，继而解决问题。数学建模是学生解决问题过程中的重要一环，是要解问题通向问题解决的桥梁。数学建模不仅真正训练了学生把现实问题抽象为数学问题、求解数学问题的数学思维，而且把学生实践能力的培养真正落到实处，还可以让学生感受到“在现实中学数学，在做中学数学”，也有利于发挥并培养学生的主体性，实现全方位的数学目的。二、题型1、某场生产一种产品,估计该产品在未来四个月销售量分别为4、5、3、2、(单位:百件).该产品的生产准备费用每批为500元,每件的生产费用为1元,存储费用每件为1元,假定一月初的存货为100件,五月初的存货为0。试求该厂在这四个月内的最优生产计划？

答：本题存储费用与时间无关，生产费用、总量已定，可变的只有批数、存储件数。

设1月产x百件，2月产y百件，3月产z百件，则4月产（13-x-y-z)百件，则x>=3,

x+y>=8,

x+y+z>=11,

每月做一批，生产准备费用与存储费用的和

w=500*4+100(x-3)+100(x+y-8)+100(x+y+z-11)

=300x+200y+100z-200,

当x=3,y=5,z=3时w|min=2000;

若前3个月各做一批，4月不做，则生产准备费用与存储费用的和

w'=500*3+100(x-3)+100(x+y-8)+200

=600+200x+100y,

当x=3,y=5时w'|min=1700.

若前2个月各做一批，3、4月不做，则生产准备费用与存储费用的和w''=500*2+100(x-3)+500

=1200+100x,

当x=3时w''|min=1500.

该厂在这四个月内的最优生产计划:1月产3百件，2月产10百件.

注：当月的产品如即卖出，未计算存储费用。2、数据拟合模型在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：年份1949195419591964196919741979198419891994人口数（百万)541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.751106.761176.74分析：（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为N=14.088t–26915.842代入t=1999,得N»12.46亿方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t=1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。设（x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x1<x2<…<xn,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y=bx+a,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是它可能是正的，也可能是负的。3、自来水输送钢铁、煤炭、水电等生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或者利润最大?各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等的限制，如何相互搭配装载，使获利最高，或者装箱数量最少?本例将讨论用数学规划模型解决这类问题的方法.问题某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A，B，C三个水库供应.四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水.由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表1，其中C水库与丁区之间没有输水管道)，其他管理费用都是450元／千吨.根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费．此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨．该公司应如何分配供水量，才能获利最多?引水管理系统（元/千吨）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变?公司利润可增加到多少?答：问题分析：分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多．而从题目给出的数据看，A,B,C三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900(50+60+50)=144000元，与送水方案无关.同样，公司每天的其它管理费用450(50+60+50)=72000元也与送水方案无关.所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可.另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制.模型建立：很明显，决策变量为A,B,C三个水库(i=1,2,3)分别向甲、乙、丙、丁四个区(j=1,2,3,4)的供水量.设水库i向j区的日供水量为xij，由于C水库与丁区之间没有输水管道，即x34=0，因此只有11个决策变量.由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有MinZ=160x11+130x12+220x13+170x14+140x21+130x22+190x23+150x24+190x31+200x32+230x33(1)约束条件有两类:一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制.由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为x11+x12+x13+x14=50(2)x21+x22+x23+x24=60(3)x31+x32+x33=50(4)考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为30x11+x21+x3180(5)70x12+x22+x32140(6)10x13+x23+x3330(7)10x14+x2450(8)模型求解(1)~(8)构成一个线性规划模型(当然要加上xij的非负约束).输入LINDO求解，得到如下输出:OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400．00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000X2250.0000000.000000X230.00000020.000000X2410.0000000.000000X3140.0000000.000000X320.00000010.000000X3310.0000000.000000(注：REDUCEDCOST为各变量下界约束的影子价格.例如对X11，若其下界从0提高到，则目标Z的最优值会提高30，其“价格”为30/=30.)送水方案为:A水库向乙区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50,10千吨，C水库向甲、丙分别供水40,10千吨.引水管理费为24400元.利润为1440007200024400=47600元．3、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。（15分）解：设：报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。n的意义：n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n的意义是双重的。本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。基本假设1）、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。2）、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。3）、假设每日的定购量是n。4）、报童的目的是尽可能的多赚钱。建立模型：应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。1）、赚钱。赚钱又可分为两种情况:①r>n，则最终收益为(a-b)n

(1)②r<n，则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>0

整理得：r/n>(b-c)/(a-c)

(2)2）、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。

r/n=(b-c)/(a-c)

(3)3）、赔钱。