人教版九年级上册数学期中考试试卷含答案

人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．B．C．D．2．关于一元二次方程的一个根是0，则的值为（

）A．1或B．1C．D．03．设A（，），B（，），C（3，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．4．方程的根的情况是（

）A．只有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．二次函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（

）A．开口向上，对称轴为直线，顶点B．开口向上，对称轴为直线，顶点（1，5）C．开口向下，对称轴为直线，顶点（1，）D．开口向上，对称轴为直线，顶点（1，）6．如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm/秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm/秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（

）A．2或3B．2或4C．1或3D．1或47．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（

）个．A．2B．3C．4D．58．二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是A．函数有最小值B．对称轴是直线C．当时，y随x的增大而减小D．当时，9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，，则CD的长为（）A．B．C．D．1二、填空题11．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是____．12．一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．13．若是关于的一元二次方程，则的取值范围是______．14．将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的解析式为__________．15．如图，已知线段的长为，以为边在的下方作正方形．取边上一点，以为边在的上方作正方形．过作丄，垂足为点．若正方形与四边形的面积相等，则的长为________．16．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为__________．三、解答题17．解方程：．18．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．19．在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：（1）画出以点O为旋转中心顺时针旋转后的；（2）画出关于点O的中心对称图形．20．对于实数u、v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．21．已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝x+1上，求这个二次函数的表达式．22．某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调x元（x为10的正整数倍）时，相应的住房数为y间．（1）求y与x的函数关系式．（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？（3）若老板决定每住进去一间房就捐出a元（0＜a≤40）给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，求a的取值范围．23．中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．（1）填空：________，________（用含的代数式表示）；（2）当为何值时，的长度等于？（3）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．24．如图，已知二次函数的图象经过点，且对称轴是直线．该函数图象和x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）．（1）求该函数解析式；（2）求B，C两点的坐标；（3）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作，垂足为Q，求PQ的最大值．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式.（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值.（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC的周长最小，若存在，求出点Q的坐标．参考答案1．B【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．2．C【解析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．【详解】把x=0代入方程得到：a2-1=0，解得：a=±1．∵∴∴故选：C．3．A【解析】分别计算自变量为对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】解：当时，，当时，，当时，，所以．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．【详解】解：∵x23x+2=0，∴Δ=（3）24×1×2=1＞0，∴方程x23x+2=0有两个不相等的实数根，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．5．D【解析】【分析】根据二次函数y＝a（x−h）2＋k的图象的开口方向由a决定，a＞0时开口向上；a＜0时开口向下；对称轴为直线x＝h和顶点坐标（h，k），选择即可．【详解】解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上，∵对称轴为直线x＝h，∴对称轴为直线x＝1，∵顶点坐标（h，k），∴顶点坐标（1，−5），故选：D．【点睛】本题考查了二次函数y＝a（x−h）2＋k的性质，关键是熟记抛物线顶点坐标（h，k），对称轴直线x=h．6．B【解析】【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6−t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式得出方程×（6−t）×2t＝8，求出即可．【详解】设经过秒钟，使的面积为，，，×（6−t）×2t＝8，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键．7．A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由函数图象可得，，，，则，故①正确；，得，时，，，，，故②正确；由图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故③错误；抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，该抛物线与轴的另一个交点的坐标为，的两个根为，，的两个根为，，一元二次方程的两根分别为，，故④正确；该函数与轴的两个交点为，，该函数的解析式可以为，当时，当对应的的值一个小于，一个大于2，若，为方程的两个根，则且，故⑤正确；故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．8．D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，从而判断C．根据图象，当−1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，进而判断D．【详解】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为直线，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，抛物线开口向上，对称轴为，所以当时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当−1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．9．A【解析】【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【详解】A、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝−＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．B、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝−＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，D、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．故选：A．【点睛】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．10．D【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BC的长，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC-BD计算即可得解．【详解】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°-60°=30°，∵AB=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．11．（3，－1）【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．【详解】解：∵点P的坐标为（−3，1），∴和点P关于原点中心对称的点P′的坐标是（3，−1），故填：（3，－1）．【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（−x，−y）是解题的关键．12．x1=0，x2=1【解析】【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．13．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义建立不等式求解即可．【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，理解基本定义是解题关键．14．【解析】【分析】根据二次函数左加右减，上加下减的平移规律进行解答，即可求解．【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．15．【解析】【分析】设的长为，从而得出的长，再根据“正方形与四边形的面积相等，”列出方程，求出的值，即可得出的长．【详解】解：设的长为，则的长为，∵若正方形与四边形的面积相等，∴，∴.∵，∴，（舍去）∴的长为．

故答案为：．16．【解析】由总长度为30米的围栏围成矩形的三边，据此写出矩形的长，用含x的代数式表示，再根据矩形的面积公式解题．【详解】解：根据题意得，矩形的宽为x米，则长为：米，且花圃面积为y=，故答案为：．17．【解析】利用配方法解方程．【详解】∴．18．【解析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，∴.19．（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）画出绕点O顺时针旋转90°后的对应顶点，再顺次连接起来即可；（2）画出关于点O的中心对称后的对应顶点，再顺次连接起来即可．【详解】解：（1）如题所示：（2）如图所示：【点睛】本题主要考查旋转变换以及中心对称变换，根据题意先画出对应顶点是解题的关键．20．【解析】【分析】由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个不同的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题．【详解】解：由，得即，∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，∴，解得．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题．21．y＝﹣x2+4x﹣2．【解析】【分析】根据函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝x+1上，可求得y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）．从而求得m＝﹣1或m＝2，利用最高点在直线上可得a＜0，所以m＝﹣1，n＝﹣2，从而求得二次函数的表达式．【详解】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝x+1上，∴y＝×2+1＝2，∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2），∴﹣＝2，∴﹣＝2，解得：m＝﹣1或m＝2，∵最高点在直线y＝x+1上，∴a＝m2﹣2＜0，∴m＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x+n，又∵顶点为（2，2），∴2＝﹣4+8+n，∴n＝﹣2，则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2．【点睛】主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式的运用以及最值与函数之间的关系．22．（1）；（2）当定价为350元时，利润最大为10890元；（3）20≤a≤40．【解析】【分析】（1）根据“房间数量＝50−相对于180元增加了几个10”可得；（2）根据宾馆所得利润＝（每个房间的定价−支出费用）×（50−相对于180元增加了几个10），得到二次函数关系式，进而计算相应的房价和最大利润即可；（3）设宾馆每天的利润为，得到二次函数关系式，进而利用对称轴的范围进行作答．【详解】解：（1）由题意知：（0≤x≤500，且x是10的整数倍）；（2）设宾馆每天的利润为w，由题意知：，∴当x＝170时，w最大为10890．∴当定价为：x＋180＝350（元）时，利润最大为10890元；（3）设宾馆每天的利润为，由题意知：，对称轴为：，∵要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，∴要保证房间上调价格在0元至180元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，∴≥180，解得：≥20，∴20≤a≤40．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：根据二次函数的性质解决最值问题；（2）根据二次函数的性质找出关于a的一元一次不等式．本题属于中档题．23．（1）2t，5-t．（2）t1=0，t2=2．（3）存在，t=1【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值．（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．【详解】解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t1=0，t2=2．（3）由题意，得，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．24．（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，且对称轴是直线，即可得到，由此即可求解；（2）令，得到，解方程即可；（3）连接CP，连接AP交x轴于H，先利用勾股定理求出AC的长，则，设，直线AP的解析式为，从而求出，则，则可得到，要想PQ最大，则要最大，由此即可求解．【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点，且对称轴是直线，∴解得，，∴这个二次函数解析式为；（2）当时，，解得，，所以点B，C的坐标分别为，；（3）如图所示，连接CP，连接AP交x轴于H，∵A（0，3），C（3，0），∴OA=OC=3，∴，∵PQ⊥AC，∴，设，直线AP的解析式为，∴，解得，∴直线AP的