2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 线段的垂直平分线的有关作图教学设计

第2课时线段的垂直平分线的有关作图教学目标课题13.1.2第2课时线段的垂直平分线的有关作图授课人素养目标1.能用尺规作出线段的垂直平分线.2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据.3.能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴，体会转化的数学思想.教学重点利用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线及轴对称图形的对称轴．教学难点在较复杂的图形中尺规作图的规范性与合理性.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知设计意图以问题的形式引发学生思考，为后面开展作对称轴的教学活动做铺垫.【问题导入】有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．示意图如下：【教学建议】让学生回顾前面课时中轴对称的性质，体会确定对称轴的依据.活动二：执果索因，动手实践设计意图通过问题串的形式，找到准确画对称轴的方法.探究点1作线段的垂直平分线如图①，点A和点B关于某条直线成轴对称，如何准确作出这条直线呢？问题1你能用折叠的方法得到图①中A，B两点的对称轴吗？动手试一下，并试着大致画一画.(动手操作).问题2有什么办法可以准确得出A，B两点的对称轴吗？连接AB，画线段AB的垂直平分线.问题3根据我们前面学过的线段垂直平分线的判定，怎样确定线段AB的垂直平分线呢？到点A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，我们只要找出两个这样的点，用直线将它们连接，即可确定线段AB的垂直平分线(如图②).【教学建议】(1)通过问题串引导学生思考，强调“准确”画出对称轴，不同于以往大致画对称轴，所以必须要用尺规作图的方法.(2)让学生回答：在画弧线时，为什么要以大于12AB的长为半径作弧？(这样做是为了确保弧线有交点)(3)给学生强调，“两点确定一条直线”，作出两个到线段AB两端距离相等的点，才可以确定线段AB的垂直平分线.教学步骤师生活动问题4根据我们前面的探讨，请作出图①中点A，B的对称轴.作法：如图③.(1)分别以点A和点B为圆心，大于eq\f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.CD就是所求作的直线.【对应训练】△ABC如图所示，请作出边AB的垂直平分线MN.解：如图，MN即为所求. (4)给学生说明，作线段垂直平分线的方法也可用来确定线段的中点.设计意图作轴对称图形的对称轴，提高实践操作能力.探究点2作轴对称图形的对称轴图①中的五角星是一个轴对称图形．问题1如何作出它的对称轴？说说你的想法．先找出一对对应点，再作对应点所连线段的垂直平分线．问题2请你动手试一试，作出这个五角星的一条对称轴．如图②，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴．问题3这个五角星还有没有其他的对称轴？如果有，试着作出来．从不同方向观察五角星，可知它共有5条对称轴．作图方法与前面类似，找出一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线即可．下面图③中画出了另外一条对称轴l′.其他对称轴可类似画出．总结：利用垂直平分线的作法画对称轴的“三字诀”：(1)找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对应点；(2)连：连接这对对应点；(3)作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴．【对应训练】教材P64练习第1，2，3题．【教学建议】(1)通过问题引导学生明白：对于一个轴对称图形，只要找出其任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线即为其对称轴．(2)教师可根据课堂情况酌情让学生板演．(3)作完后，教师引导学生总结作图步骤．教学步骤师生活动活动三：巩固知识，加深理解设计意图体会线段垂直平分线作图的实际应用.设计意图体会确定对称轴的其他方法.例1如图，公路l一侧有A，B两个村庄，现准备在公路边上建造一个百货商店，请你设计一下商店地址P，使得A，B两村到百货商店的距离相等.解：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线m，m与l的交点即为商店地址P.例2如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.解：如图，延长BC，B′C′交于点P，延长AC，A′C′交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.方法总结：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.【教学建议】给学生说明，这种题目要根据要求，找出待求点需满足的所有条件(如例题中，要求点P既在公路l上，又在线段AB的垂直平分线上)，从而找到作图思路.【教学建议】给学生说明，这种确定对称轴的方法，需满足特定的适用条件(两个图形对称，并能找到对应线段或延长线的交点)活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.我们是采用什么方法确定图形的对称轴的？2.作线段的垂直平分线的步骤是怎样的？3.如果图形有多条对称轴，如何作出各对称轴？【知识结构】【作业布置】1.教材P64习题13.1第1，2，10，12题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时线段的垂直平分线的有关作图1.线段的垂直平分线的尺规作图. 2.作对称轴．教学反思本节课带着学生学习了如何准确作出轴对称图形的对称轴，其中的关键步骤是作线段的垂直平分线．通过尺规作图，让学生体会到了数学中各种工具的联系.解题大招准确识别线段垂直平分线的尺规作图观察尺规作图的痕迹，准确理解相关弧线交点的意义，再根据几何知识，确定作图的最终含义．例1如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、点F为圆心，大于eq\f(1,2)EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（B）A．AO垂直平分EFB．GH垂直平分EFC．GH平分AFD．以上都不对解析：由作图痕迹知，点G，H到线段EF两端的距离都相等，所以GH垂直平分EF.故选B.例2阅读下面的材料：已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线．有一种作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于eq\f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于eq\f(1,2)AB的长为半径(不同于①中的半径)作弧，两弧相交于点D；③作直线CD.问：直线CD就是所求作的垂直平分线吗？为什么？解：直线CD就是所求作的垂直平分线．理由：由作图痕迹知，点C到两端点A，B的距离相等，点D到两端点的距离也相等，所以点C，D均在线段AB的垂直平分线上．由C，D两点可以确定一条直线，即为线段AB的垂直平分线．培优点线段垂直平分线的尺规作图的应用例1某地准备建立一所希望小学，要求希望小学的位置到已知的三个村庄A，B，C的距离相等，你能帮助当地村民确定希望小学的位置吗？解：(1)如图，连接AB，BC；(2)作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P即希望小学的位置．例2如图，在公路MN和公路PQ之间有两个村庄A，B，现要修建一座仓库，使仓库到两条公路的距离相等，到两村庄的距离也相等，请在图上画出仓库应建的位置．解：如图，设NM与QP交于点C，作∠NCQ的平分线；连接AB，作线段AB的垂直平分线．所作角的平分线与线段的垂直平分线的交点O即为仓库应建的位置．例3如图，已知点A，B在直线l同侧，