2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 分式方程及其解法教学设计

15.3分式方程第1课时分式方程及其解法教学目标课题15.3第1课时分式方程及其解法授课人素养目标1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.2.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.3.在将分式方程转化为整式方程，找解分式方程的方法中培养学生乐于探究、合作学习的习惯.教学重点解分式方程的基本思路和方法．教学难点理解解分式方程时可能无解的原因.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知设计意图通过经历列分式方程的过程发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，激发学生的探究欲与学习热情，为探索分式方程的概念和解法做准备.【情境引入】问题一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？如果设江水的流速为vkm/h，则(1)轮船顺流航行的速度为(30＋v)km/h，逆流航行的速度为(30－v)km/h；(2)顺流航行90km所用的时间为eq\f(90,30＋v)h，逆流航行60km所用的时间为eq\f(60,30－v)h；(3)根据题意可列方程为：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).思考方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)与以前所学的整式方程有何不同？【教学建议】教师呈现问题后，需留充足的时间让学生独立思考，教师主导，学生自主研究，让学生切实体会自我探索后得出结论的成就感.活动二：实践探究，获取新知设计意图通过回忆一元一次方程的概念引出分式方程的概念，并通过例题巩固加深对概念的理解.探究点1分式方程的概念问题1大家回忆一下，什么是一元一次方程？只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数为1(次)的整式方程叫做一元一次方程．如：3x－5＝3.问题2观察活动一中所列方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)有什么特征？答：分母中含有未知数v.概念引入：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.例判断下列方程是不是关于x的分式方程.(1)1－eq\f(1,x)＝2－eq\f(2,x)；(2)eq\f(a,x2－4)＝7；(3)eq\f(x,π)＋ax＝b;(4)eq\f(a＋x,b)＝eq\f(b－x,n)＋6.解：(1)是．(2)是．(3)不是．(4)不是.【教学建议】教师强调：1.分式方程应满足的条件(缺一不可)：(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.2.判断分式方程是对原方程本身做判断，而不是变形后.3.并不是分母含字母的就是分式方程，如例(4)中分母含字母，但不是未知数；例(3)含字母π，但π是常数，不是未知数.教学步骤师生活动【对应训练】下列方程中，a，b为已知数，x为未知数：eq\f(x,2)＋eq\f(x,3)＝eq\f(1,4)；②eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x)＝4；③eq\f(x,a)＋eq\f(a,b)＝x；④eq\f(5,x2－1)＋2＝eq\f(x－1,x2＋1)；⑤eq\f(x2,x)＝0.其中关于x的分式方程有哪几个？解：关于x的分式方程有②④⑤.设计意图由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，在构建知识体系的过程中得到再一次的提升.设计意图通过此具体例子展现解分式方程可能出现増根的现象，并结合例子分析何种情况下产生増根，进而归纳检验増根的方法，这样处理是想以典型例子为示范，简明地说明检验増根的方法，以及这样做所依据的道理，做到既说明做法的合理性，又适可而止，不超越学生的实际理解水平.探究点2分式方程的解法问题1七年级我们已经熟悉一元一次方程的解法了，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题．能否将分式方程化为整式方程呢？我们先来看看如何解这个方程：eq\f(2－3x,3)－2＝eq\f(x＋2,6).第一步就是方程两边同时乘公分母6，去掉分母，那么通过类比，我们自然会想到通过“去分母”实现分式方程的转变，所以大家可以尝试着解一解活动一中所列的方程！解方程：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).解：最简公分母为(30＋v)(30－v)，方程两边同时乘最简公分母可化为整式方程，得90(30－v)＝60(30＋v).化简，得2700－90v＝1800＋60v(此方程是整式方程).解方程得v＝6.教师归纳解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法.思考：解分式方程的步骤完成了吗？带着这个问题我再来看一个分式方程eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25).为去分母，在方程两边乘最简公分母(x－5)(x＋5)，得整式方程x＋5＝10.解得x＝5.问题2大家说说x＝5是原分式方程的解吗？将x＝5代入原分式方程检验，发现这时分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义．因此，x＝5虽是整式方程x＋5＝10的解，但不是原分式方程eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)的解．实际上，这个分式方程无解.问题3上面两个分式方程中，为什么eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？【教学建议】可先由学生回答如何解这个系数为分数的方程，再让学生讨论如何解这个分式方程，再在学生讨论的基础上总结．也可列此图帮助理解.【教学建议】教材通过对方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)，eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)的讨论，经过对比得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法．教学中要注意这是一个由特殊到一般的过程，即先让学生对特例中的两种情形有具体认识，然后推广到一般情形，认识到解分式方程时需要检验，并知道怎样检验，至于方程同解的理论问题，则不需做更多引申.教学步骤师生活动教师归纳一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.所以我们可以解决“思考”中的问题了吧！是的，我们还缺一步检验！补充如下：检验：将v＝6代入原分式方程中，左边＝eq\f(5,2)＝右边，因此v＝6是原分式方程的解．由上可知，江水的流速为6km/h.教师总结：解分式方程的步骤可简记为“一去，二解，三检验”.【对应训练】教材P150练习．【教学建议】教师需提醒学生在解分式方程时注意以下易错点：一、解分式方程忘记检验.二、去分母时忘记加括号.三、去分母时漏乘不含分母的项.四、分母中有多项式时忘记分解因式后再找最简公分母.活动三：典例精析，巩固新知设计意图例1属于有解的情形，例2属于无解的情形．通过这两种类型使学生熟悉解分式方程的步骤及检验方法.例1(教材P151例1)解方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x).解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝3x－9.解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2(教材P151例2)解方程eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,（x－1）（x＋2）).解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.【对应训练】教材P152练习.【教学建议】教学中可结合例1和例2引导学生理解本节课知识结构图的含义，还可提供一些解分式方程的技巧：在解分式方程时，若分母互为相反数，可改变其中一个分式及其分母的符号，然后去分母；若分母能分解因式，先分解因式再确定最简公分母.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.分式方程的概念是什么？2.解分式方程的基本思路和一般方法是什么？关键步骤是什么？3.解分式方程为什么需要检验？如何检验？【知识结构】教学步骤师生活动【作业布置】1.教材P154习题15.3第1题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计15.3分式方程第1课时分式方程及其解法 1.分式方程的概念； 2.分式方程的解法； 3.分式方程的根的检验．教学反思本节课通过对比有分数系数的整式方程的解法启发学生探究分式方程的解法，从而归纳出解分式方程的基本思路和一般方法．在教学过程中着重讲解了分式方程为什么要检验，这是想让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错、认识错误、改正错误中巩固自身的运算能力，这样才能达到预期的教学效果.解题大招一解分式方程的纠错问题常见的解分式方程过程中，容易出错的地方有：①漏乘无分母项；②去分母时，分子是多项式，没有加括号；③去括号时，漏乘系数；④去括号时，没变号；⑤移项未变号．例1小淇解分式方程eq\f(2,x－1)＝eq\f(2x,3x－3)－1的过程如下：解：方程两边乘3(x－1)，得6＝2x－(3x－3)．①去括号，得6＝2x－3x－3.②移项、合并同类项，得x＝－9.③检验：当x＝－9时，3(x－1)≠0.所以，原分式方程的解是x＝－9.④以上步骤中，最开始出错的一步是②(填写对应序号)．解析：去括号时，如果括号前面是减号，去括号后要把括号里的每一项都变号，依此可判定最开始出错的一步是②.解题大招二含有字母系数的分式方程的解法解含有字母系数的分式方程与解含有实数系数的分式方程的方法一样，也包括去分母、解整式方程、检验这三个步骤，只是要把未知数以外的字母当作已知数，有时因为字母所表示的数未确定，所以需要进行分类讨论或结合题目对字母系数进行限制．例2解关于x的方程：eq\f(a,x－a)＋b＝1(a≠0，b≠1)．分析：解含字母系数的分式方程，在验根时，一定要根据字母系数的范围，检验求得的解是否使最简公分母为零．解：方程两边乘(x－a)，得a＋b(x－a)＝x－a.解得x＝eq\f(ab－2a,b－1).检验：当x＝eq\f(ab－2a,b－1)时，x－a≠0.所以，原分式方程的解为x＝eq\f(ab－2a,b－1).解题大招三由分式方程的解确定字母的取值范围先求出方程的解(用字母表示)，然后根据解的正负性，列关于字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.例3若关于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正数，则a的取值范围是a＜－1且a≠－2.解析：方程两边乘(x－1)，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.解题大招四分式方程的増根类型一求分式方程的增根增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需令分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．例4若方程eq\f(3,x－2)＝eq\f(a,x)＋eq\f(4,x（x－2）)有增根，则增根可能为（A）A．0B．2C．0或2D．1解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.原分式方程去分母得3x＝a(x－2)＋4，当x＝0时，2a＝4，则a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根为x＝0，故选A.类型二分式方程有增根，求字母的值分式方程有增根，求字母的值可按如下步骤进行：①令最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．例5如果关于x的分式方程eq\f(2,x－3)＝1－eq\f(m,x－3)有增根，则m的值为（B）A．－3B．－2C．－1D．3解析：∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.方程两边同乘(x－3)，得2＝x－3－m①.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.培优点分式方程无解，求字母的值例若关于x的分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(mx,x2－4)＝eq\f(3,x＋2)无解，求m的值．分析：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为