高中数学课时跟踪检测一平面向量的概念新人教A版必修第二册

平面向量的概念

层级（一）“四基”落实练

1.汽车以120km/h的速度向西走了2h,摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h,则

下列命题中正确的是（）

A.汽车的速度大于摩托车的速度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

解析：选C速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较

2.（多选）如图，在正六边形4?两"中，点。为其中心，则下列判断正确的是（）

A.AB-OC

V).~AB//~DE

C.\~AD\^\~BE\

D.~AD^~FC

解析：选ABC由题图可知，|万|=|元I，但万，元的方向不同，故而工元，

D不正确，其余均正确，故选A、B、C.

3.（多选）若a是任一非零向量，b是单位向量，则下列各式错误的是（）

A.|a|>|b|B.a〃b

C.|a|>0D.|b|=±1

解析：选ABD对于A,因为a是任一非零向量，模长是任意的，所以|a|与|b|的大小不

确定，故不正确；对于B,不一定有2〃15,故不正确；对于C,向量的模长是非负数，

而向量a是非零向量，故|a|>0正确；对于D,|b|=l,故D不正确.

4.下列说法正确的是（）

A.若|a|=|b|,则a〃b

B.零向量的长度是0

C.长度相等的向量叫相等向量

D.共线向量是在同一条直线上的向量

解析：选B当|a|=|b|时，由于a,b方向是任意的，a〃b未必成立，所以A错误；因

为零向量的长度是0,所以B正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C错误;

因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D错误.故选B.

5.如图所示，C,。是线段46的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等

的向量共有（）

ACDB

A.3个B.6个

C.8个D.12个

解析：选B1个单位长度的向量有无，~CA,~CD,~DC,~DB,砺6个；2个单位

长度的向量有下，~DA,瓦4个；3个单位长度的向量有7万，向2个.因此，共

A--------►--------►A--------►AA>A>

6+4+2=12个，但其中然=5=施，BD=DC=CA,AD=CA,6C=的因

此互不相等的向量最多只有6个.

6.如图，已知正方形4%力的边长为2,。为其中心，则I0A=

解析：因为正方形的对角线长为2艰，所以|万

答案：72

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7.已知4B,。是不共线的三点，向量m与向量46是平行向量，与6C,是共线向量，则m

解析：B,，不共线，46与a1不共线.

又与下，下都共线，.'.m=O.

答案：0

8.如图所示，四边形<65与四边形力应/是平行四边形.

(1)找出与向量下共线的向量；

(2)找出与向量下相等的向量.

解：⑴依据图形可知，DC,£9,与加方向相同，BACD,DE,四与48方向相

___►>►>►>►

反，所以与向量四共线的向量为胡，DC,CD,ED,DE,CE.

(2)由四边形/成力与四边形49是平行四边形，知下，方与而长度相等且方向相同,

所以与向量48相等的向量为DC和ED.

层级(二)能力提升练

1.(多选)下列四个条件能使a〃b成立的条件是)

A.a=bB.|a|=|b

C.a与b方向相反D.|a|=0或|b|=0

解析：选ACD因为a与b为相等向量，所以a〃b,即A能够使a〃b成立；由于|a|=

Ib|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a〃b成立；因为a与b方向相反时，a〃b,

即C能够使a〃b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|al=O或⑻=0时，a〃b能

够成立.故使a〃b成立的条件是A、C、D.

2.如图是3X4的格点图(每个小方格都是单位正方形).若所有向量的起।~।।।

点和终点都在方格的顶点处，则与下平行且模为啦的向量共有/

个.IIIII

解析：与方平行且长度为小的线段即为小正方形中与线段46平行的对角线，共有12

条这样的对角线，且每条对角线都对应2条方向相反的向量，则满足条件的向量有24个.

答案：24

3.中国象棋中规定：马走''日"字，象走''田"字.如图，在中国象棋口口III丁

___C_

的半个棋盘(4X8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中.若马在7^7Z\Z

--►--►/*

力处，可跳到4处，也可跳到述处，用向量//表示马走了“一

步”.若马在6处或。处，则表示马走了“一步”的向量共有个.

解析：如图，以8点为起点作有向线段表示马走了''一步”的向量，□

符合题意的共3个；以。点为起点作有向线段表示马走了“一步”的二

向量，符合题意的共8个.所以共有11个.

答案：11

4.已知在四边形/版中，~AB//~CD,求方与左分别满足什么条件时，四边形46口满足

下列情况：

(1)四边形切是等腰梯形；

(2)四边形4?W是平行四边形.

解：(1)|下|=|左|,且下与万不平行.因为万〃万，所以四边形力脉为梯形

或平行四边形.若四边形/时为等腰梯形，贝H万|=二防同时两向量不平行.

(2)万=万或下〃下.若万=7乙即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形

4;应为平行四边形；若下〃下，则由已知下〃刀，即四边形力融小的两组对边分

别平行，此时四边形力优。为平行四边形.

5.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点4B,

点C为小正方形的顶点，且I下|=乖.

(1)画出所有的向量AC；

(2)求|6cl的最大值与最小值.

解：(1)画出所有的向量，如图所示.

(2)由(1)所画的图可知，①当点C位于点G或&时，BC\取得最

小值严彳=小；

②当点C位于点瑶或心时，|诟I取得最大值，？/=而，AI~BC

I的最大值为何，最小值为十.

层级