高考总复习文数（北师大版）讲义第8章第04节空间中的垂直关系

第四节空间中的垂直关系考点高考试题考查内容核心素养直线、平面垂直的判定与性质2017·全国卷Ⅲ·T10·5分线面垂直的判定直观想象逻辑推理2016·全国卷Ⅰ·T18·12分线面垂直的证明与体积的计算2015·全国卷Ⅰ·T18·12分面面垂直的证明与侧面积的计算命题分析从近几年高考来看，线面垂直是必考点，常与体积、距离、侧面积等综合考查，考查逻辑推理和转化的思想方法，难度适中.1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ABβ,AB⊥α))⇒β⊥α性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,ABβ,AB⊥MN))⇒AB⊥α3．二面角二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面二面角的度量——二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角提醒：辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交．(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材习题改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．3．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．4．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB5．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：7直线与平面垂直的判定与性质[明技法]判定线面垂直的四种方法[提能力]【典例】(2016·全国卷Ⅱ改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝eq\f(5,4)，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝eq\r(10).求证：D′H⊥平面ABCD.证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.[刷好题]如图，在三棱锥P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，且CP⊥PB，求证：CP⊥PA；(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.证明：(1)因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.因为CP平面PBC，所以CP⊥AB.又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，AB平面PAB，PB平面PAB，所以CP⊥平面PAB.又PA平面PAB，所以CP⊥PA.(2)在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC，所以l∥PD.因为leq\o(⊆,/)平面PBC，PD平面PBC，所以l∥平面PBC.平面与平面垂直的判定与性质[明技法]1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[提能力]【典例】菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，FD＝eq\r(3).(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)求证：平面ACF⊥平面BDF.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH＝eq\r(3).∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，FD＝eq\r(3)，∴FD∥EH，FD＝EH.∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD.∵EFeq\o(⊆,/)平面ABCD，HD平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)∵FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又FD∩BD＝D，∴AC⊥平面FBD，又AC平面ACF，从而平面ACF⊥平面BDF.[刷好题](2018·济宁月考)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝PC，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.(1)求证：PB∥平面ACE；(2)求证：平面PBC⊥平面PAC.证明：(1)连接BD，交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，又E为PD中点，∴OE∥PB，又OE平面ACE，PBeq\o(⊆,/)平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，又BC平面ABCD，∴PO⊥BC.在△ABC中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(22＋12－2×2×1×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴AC2＝AB2－BC2，∴BC⊥AC.又PO平面PAC，AC平面PAC，PO∩AC＝O，∴BC⊥平面PAC，又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.空间位置关系的综合问题[明技法]空间位置关系的转化路线图线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：[提能力]【典例】如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD.所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解：棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PAeq\o(⊆,/)平面CEF，且EF平面CEF，所以PA∥平面CEF.[刷好题](2018·潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36eq\r(2)，求a的值．(1)证明：在题图(1)中，因为AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(