安徽省淮北市高三第二次（4月）模拟考试数学（理）试题

淮北市2018届高三第二次模拟考试数学理科试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．2．复数的共轭复数是，是虚数单位，则的值是（）A．6B．5C．1D．63．命题：若向量，则与的夹角为钝角；命题：若，则.下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．4．已知等比数列中，，，则（）A．2B．4C．6D．85．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入，，则输出的值为（）A．0B．3C．7D．146．设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．11B．9C．7D．58．把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，已知函数，则当函数有4个零点时的取值集合为（）A．B．C．D．9．若直线与函数图象交于不同的两点，且点，若点满足，则（）A．B．2C．4D．610．在平面四边形中，，，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成角最大时的正弦值为（）A．B．C．D．11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以为直径的圆过点，则圆的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数，实常数使得对任意的实数恒成立，则的值为（）A．1009B．0C．1009D．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在中，三顶点的坐标分别为，，，为以为直角顶点的直角三角形，则．14．已知随机变量的分布列如下表，又随机变量，则的均值是．15．已知，则二项式展开式中的常数项是．16．设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在中，，，且点在线段上．（Ⅰ）若，求长；（Ⅱ）若，，求的面积．18．在多面体中，，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史。皖北多平原地带，黄河故道土地肥沃，适宜种植大豆。2018年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作。其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系。为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数，得如下数据表格：科研人员确定研究方案是：从5组数据中选3组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验。（Ⅰ）求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是4月5日、6日、7日三天数据，据此求关于的线性同归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验（Ⅱ）中同归方程是否可靠？注：，.20．设是椭圆的四个顶点，菱形的面积与其内切圆面积分别为．椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数．（Ⅰ）若函数在内有极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意，，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于两点．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．23．选修45：不等式选讲已知函数（Ⅰ）解不等式．（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．淮北市2018届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题15:CADAC610:ADBCD11、12：CB二、填空题13．314．15．24016．2三、解答题17．解：（1）由，可得，所以或（舍去）所以因为，所以由正弦定理可得：，所以（2）由，得，所以因为，，所以由余弦定理可得或（舍去）所以：，所以18．（Ⅰ）证明：面，故又，所以①在直角梯形中，，，，可得由知②由①②知：面，进而面面（Ⅱ）设点到面的距离为，点到直线的距离为，记二面角平面角为由，即得易得，则，进而即二面角的余弦值为19．解：（Ⅰ）恰好是不相邻的2天数据的概率是.（Ⅱ）由数据得；，，；∴，，；∴，∴；.故关于的线性回归方程为.（Ⅲ）当时，，；当时，，，故得到的线性回归方程是可靠的.20．解：（Ⅰ）∵菱形的面积与其内切圆面积分别为，∴，，联立解得，，故所求椭圆的方程为；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，∵为的重心，∴为椭圆的左、右顶点，不妨设，则直线的方程为，可得，到直线的距离，∴．当直线的斜率存在时，设直线方程为：，，．联立，得，则．即，，，∴．∵为的重心，∴，∵点在椭圆上，故有，化简得．∴．又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）．∴．综上可得，的面积为定值．21．解：（Ⅰ）由定义域为设，要使在上有极值，则有两个不同的实根，∴∴或①而且一根在区间上，不妨设，又因为，∴，又，∴.只需，即，∴②联立①②可得：（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当，，∴单调递减，时，，单调递增∴在上有最小值即，都有又当，∴单调递增，当，，∴单调递减，∴在上有最大值即对，都有又∵，，，，∴设，∴，∴在上单调递增，∴∴22．解：（