北京市朝阳区工大附中2016-2017高一下期中实验班数学试题

高一学年数学学科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】．故选．2.等比数列中，，，是方程的两根，则等于（）．A.B.C.D.以上都不对【答案】A【解析】∵，是方程的两根，∴由韦达定理得，，∴，∴，又∵与，的符合相同，∴．故选．3.，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合平面，现给出四个命题：①；②；③；④．其中正确的是（）．A.①②B.③④C.③D.③②【答案】C【解析】①项、若，，则，相交，平行，异面都有可能，故①项错误；②项，若，，则或与相交，故②错误；③项、由面面平行的性质定理可知，若，，则，故③正确；④项、若，，则或，故④错误．正确的命题是③正确．故选．4.一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个几何体的体积为（）．A.B.C.D.【答案】B考点：几何体的三视图、体积.5.已知三点，，，则向量在向量方向上的投影为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：，，所以向量在向量方向上的投影为，故选A．考点：1．向量运算；2．投影定义．6.已知角的终边射线与单位圆交于点，那么的值为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由三角函数的定义可得：，由二倍角公式可得：，故选择C考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式7.用一些棱长是的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】由该几何体的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的正三棱柱，其中棱柱的底面积，棱柱的高，故棱柱的体积．故选．8.若，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】．故选．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.9.为了得到函数的图像，可将函数的图像（）．A.左移个长度B.右移个长度C.左移个长度D.右移个长度【答案】A【解析】函数，所以为了得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度．故选．点睛:对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.10.是所在平面上一点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）．A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【解析】∵，分别表示，方向上的单位向量，∴的方向与的角平分线的方向一致，∵，∴，∴的方向与的角平分线的反向一致，∴动点的轨迹一定通过的内心．故选．11.符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的序号是（）．①函数的定义域为，值域为；②方程，有无数解；③函数周期函数；④函数是增函数．A.①②B.②③C.③④D.④①【答案】B【解析】①由于表示不超过的最大整数，则，∴函数的定义域为，值域为，故①错误；②若，则，，，，∴方程，有无数解，故②正确；③，所以函数是周期为的周期函数，故③正确；④函数在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．命题中正确的序号是②③．故选．12.名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得分，平均各得分，负者得分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后，名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】从高到底分数为14,12,10,8,6,4,2,0，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12，选C.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.已知且，则函数的图像过定点__________．【答案】【解析】令，得，此时，故函数的图像过定点．14.函数的单调递增区间是__________．【答案】，【解析】∵，∴令，，得，，∴函数的单调递增区间是，．15.若数列的前项和，则__________．【答案】【解析】本题考查数列的通项求法当时，；当时，所以16.将函数的图像向左平移个单位，若所得的图像关于直线对称，则的最大值为__________．【答案】【解析】将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，由题意，所得图像关于直线对称，则：，，即，∵，∴当时，最小值．17.从集合中任选三个不同的数，如果这三个数经过适当的排列成等差数列，则这样的等差数列一共有__________个．【答案】32【解析】当公差为正数时，若，则这样的等差数列有个，若，则这样的等差数列有个，若，则这样的等差数列有个，若，则这样的等差数列有个，共个，当公差为负数时，等差数列也有个，故等腰数列一共有个．18.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则为上的高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】定义在上的函数是奇函数，当时，，作出的图像如图所示，∵为上的高调函数，当时，函数的最大值为，要满足，大于等于区间长度，∴，即，解得．故实数的取值范围是．三、解答题（本大题共3个大题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.设函数．（）求函数在上的单调递增区间．（）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，求的取值范围．【答案】(1)和．(2).【解析】试题分析：(1)首先,结合二倍角公式和辅助角公式化简给定的函数,得到,然后,根据三角函数的单调性进行确定单调递增区间;(2)先结合余弦定理化简得到,然后,结合正弦定理,得到,结合范围得到,然后,根据有关角的范围,从而确定的取值范围.试题解析：（），∵，∴，令，得，令，得，∴函数在上的单调增区间是和．（）由，可得：，根据余弦定理可知，，化简得，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∴,∵是锐角三角形，∴，，∴，，∴的取值范围是．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20.已知等比数例满足，且是与的等差中项．（）求数列的通项公式．（）若，，求得不等式成立的的最小值．【答案】(1)；(2)10.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；(2)借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解.试题解析：（1）设等比数列的公比为，则有①…………2分②…………3分由①得：解得或（不合题意舍去）.…………5分当时，代入②得.…………6分（2）…………7分…………9分…………10分代入得解得或（舍去），的最小值为10.…………12分考点：等差数列与等比数列的通项公式求和公式等有关知识的综合运用．21.如图所示，在四面体中，，，两两互相垂直，且．（）求证：平面平面．（）求二面角的大小．（）若直线与平面所成的角为，求线段的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3)1.【解析】试题分析：（1）∵，，∴平面．又平面，∴平面平面．4分（2）∵，，∴平面．∴．∴是二面角的