第11讲平方根(5种题型)(原卷版+解析)

第11讲平方根（5种题型）【知识梳理】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【考点剖析】题型一、平方根和算术平方根的概念 例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．【变式1】下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）例2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【变式1】下列说法中正确的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2】的平方根是．例3.为何值时，下列各式有意义？(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________．【变式2】已知，求的算术平方根．题型二、平方根的运算例4、求下列各式的值．(1)；(2)．题型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【变式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4．题型四、平方根的综合应用例6.若x，y为实数，且满足．求的值．【变式】若，求的值．【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．题型五：平方根小数点位数移动规律例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．【变式】如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2015•下城区校级二模）的平方根（）A．4 B．2 C．±4 D．±23．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（）A． B． C．﹣ D．±4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（）A． B． C． D．±5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±16．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±27．（2022秋•越城区期中）若，则＝（）A．1.01 B．±1.01 C．±0.101 D．10.1二．填空题（共11小题）8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是．9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是．10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是．11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为．12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝．13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是．15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是．16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为．17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为．18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入的x值为7时，输出的y值为；（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？24．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．25．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．26．（2020秋•诸暨市期中）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．解答问题：已知y＝++2，求xy的值．

第11讲平方根（5种题型）【知识梳理】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【考点剖析】题型一、平方根和算术平方根的概念 例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以例2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)(3)(4)9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.【变式1】下列说法中正确的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】的平方根是．【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.例3.为何值时，下列各式有意义？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．(2)由题意可知：，所以时，有意义．(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．(4)由题意可知：，解得且．所以当且时有意义．【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.【变式2】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴的算术平方根为．题型二、平方根的运算例4、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．题型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．【变式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【答案与解析】解：（1）∵∴∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x﹣2）2=36，∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．题型四、平方根的综合应用例6.若x，y为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y﹣|=0，∴x=，y=，则原式==1．【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可.【变式】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，．【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a＝±4，b＝±3．∴当a＝4，b＝3，则a﹣b＝4﹣3＝1；当a＝4，b＝﹣3，则a﹣b＝4﹣（﹣3）＝7；当a＝﹣4，b＝3，则a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；当a＝﹣4，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a﹣b＝±1或±7．（2）∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0．∴a+b＝1或7．∴当a+b＝1时，a+b的平方根为±1；当a+b＝7时，a+b的平方根为±．综上：a+b的平方根为±1或±．【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键．例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3(＞0)，则宽为2，依题意得...∵＞0，∴.∴长方形纸片的长为.∵50＞49,∴.∴,即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）利用长×宽可得结论．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为cm，宽为cm(2)不能，理由见详解【分析】（1）设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽即可；（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．（1）解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意得3x·2x=300，解得或（不合题意，舍去），则cm，cm．答：长方形纸片的长为cm，宽为cm；（2）小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为400cm2，∴边长为20cm，∵cmcm

，∴不能剪出符合要求的纸片．【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程．题型五：平方根小数点位数移动规律例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；【变式】如果＝3.9522，则＝395.22；＝39.522，则x＝1562；【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x＝1562；故答案为：395.22，1562；【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先求出20的算术平方根，再估算出其取值范围即可．【解答】解：20的算术平方根为，∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∵正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，∴正方形的边长小于5．故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．2．（2015•下城区校级二模）的平方根（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根为±2．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错题，需要注意．3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（）A． B． C．﹣ D．±【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（）A． B． C． D．±【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（）2＝，∴平方根是±的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1【分析】根据平方根的定义选项．【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键．6．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【分析】利用算术平方根的意义解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．7．（2022秋•越城区期中）若，则＝（）A．1.01 B．±1.01 C．±0.101 D．10.1【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．【解答】解：∵，∴故选B．【点评】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．二．填空题（共11小题）8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是﹣．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±）2＝2，∴2的平方根一个是，另一个是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是10．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵一个数的一个平方根是﹣10，∴这个数是（﹣10）2＝100，∴100的平方根为±10，∴另一个平方根是10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是100．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，∴a+2＝﹣（a﹣18），∴a＝8，∴a+2＝8+2＝10，∴这个数是102＝100．故答案为：100．【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），∴a+a﹣4＝0，∴a＝2，∴b＝4，∴b﹣a＝2，∴（b﹣a）的算术平方根为，故答案为：．【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝﹣7．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b﹣c，代入计算即可．【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记算术平方根、偶次方具有非负性是解题的关键．13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．【分析】根据正方形的面积＝大正方形的面积﹣三角形面积×4求出正方形的面积，从而得到正方形的边长．【解答】解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的边长＝．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，求出正方形的面积是解题的关键．14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是2．【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是5．【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查算术平方根，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为﹣1．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：2a﹣1+3＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为12．【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，x2+（2x）2＝25，解得x＝或x＝﹣（舍去），拼成的长方形的长为5x，宽为x，所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平方根，直角三角形的边角关系，理解平方根的定义，掌握直角三角形、矩形的性质是正确解答的前提．18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入的x值为7时，输出的y值为；（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为25；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为0或1．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．【解答】解：（1）当x＝7时，则y＝；故答案为：；（2）当y＝时，（）2＝5，52＝25，则x＝25；故答案为：25；（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，∴所有满足要求的x的值为0或1．故答案为：0或1．【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，∵x＞0，∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出x、z的值，然后代入代数式求值即可．【解答】解：∵x＝，∴x＝5，∵z是9的平方根，∴z＝±3，∴分两种情况：当z＝+3时，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；当z＝﹣3时，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．故5z﹣2x的值为：5或﹣25．【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a+b+c＝﹣2+3+1＝2．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义解决此题．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．∴a＝12，b＝﹣3．（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．∴a+b＝12﹣3＝9．∴a+b的平方根为＝±3．【点评】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n