专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一遇弦作弦心距或半径】 1【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】 5【类型三遇切线连接圆心和切点】 14【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为．

【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是．

2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为．

3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证；(2)若弧AE的度数为，求的度数．【变式训练】1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于．

2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若，，则．

3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长度．4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长度．5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：(1)求证：点C是弧的三等分点．(2)求的长．6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，，求线段的长．【类型三遇切线连接圆心和切点】例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．

(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（）

A． B． C． D．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为．

4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于．5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，求的长．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．

(1)求证：；(2)若，且为的中点，求的半径长．7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．

(1)求证：平分；(2)连接，若，，求的长．8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．①求证：；②过C作于M，交于点N，若，，求的长．

专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一遇弦作弦心距或半径】 1【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】 5【类型三遇切线连接圆心和切点】 14【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为．

【答案】/厘米【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．【详解】解：如图，连接，延长交弧于，

由折叠得：，是的中点，，，，，，在中，．故答案：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是．

【答案】5【分析】设光盘的圆心为O，过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，利用勾股定理求出x的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为O，如图所示：

过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴，∵刻度尺宽，∴，在中，，即，解得：．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为．

【答案】【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．∴，在中，∴故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为．【答案】【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，∵，∴，由勾股定理，得：，即：，解得，∴圆拱形门所在圆的半径为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证；(2)若的度数为，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．【详解】（1）如图：连接

是的直径，即又．（2）的度数为又，且．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式训练】1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于．

【答案】4【分析】连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接并延长交于D，连接，

则，∵，∴，∵，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若，，则．

【答案】/50度【分析】连接，利用三角形外角的性质即可求出，即可求出答案．【详解】解：连接，如图所示，

∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆与三角形的性质，正确作出辅助线是关键．3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见解(2)【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后结合即可证明出；（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后根据垂径定理得到，利用三角形中位线的性质得到，最后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴．∴．∵．∴；（2）解：如图，连接，∵是的直径，∴，．∴在中，．∵，是的半径，∴．∴为的中位线．∴．∴．∴．∴；【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长度．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形内接于，∴，又∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵为直径，∴，∴，，由（1），，∴，∴，∴，∴，由（1）可得，，则，∴，设，则，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：(1)求证：点C是弧的三等分点．(2)求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图所示，连接，由是直径，点D是弧的中点，得到，再由圆周角定理得到，利用三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，得到，再由是直径，即可证明点C是弧的三等分点；（2）先由直径所对的圆周角是直角得到，再由等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，由圆周角定理得到，即可推出，则．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵是直径，点D是弧的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，又∵是直径，∴点C是弧的三等分点；（2）∵是直径，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出是的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；（2）连接，根据勾股定理，得出，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，解得，再根据勾股定理，得出，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接，∵是的直径，∴，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴是的角平分线，∴是等腰三角形；（2）解：如图，连接，在中，∵，，∴，∴，又∵，是等腰三角形，∴是的中线，，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．【类型三遇切线连接圆心和切点】例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．

(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．（2）过作交于，可求，，，接可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，

为的切线，，，，，，，，．（2）解：过作交于，

由（1）得：，，，，是的直径，，，，，解得：，；故答案：．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理可求得．【详解】解：如图，连结，

是的切线，，，，，，设，在中，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．【详解】解：连接，

四边形是菱形，，，，，是的切线，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为．

【答案】【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接，

∵是的切线，∴，即，又，的半径为3，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于．【答案】36【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接，弦，．，，由圆周角定理得，，是的切线，，；故答案为：36．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接，由点D为的中点可得，再根据同圆的半径相等得，进而得到，然后再根据切线的性质得到结论；（2）根据勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质得到，即可得到，从而得出结果．【详解】（1）证明：连接，

∵点D为弧的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的半径，为的切线，∴，即：，∴．（2）解：∵由勾股定理得：，∵四边形内接于，∴，由（1）可知：，∴，在和中，∴，∴【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．

(1)求证：；(2)若，且为的中点，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）设的半径为，则，求得，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，

，的切线交的延长线于点，，，即，，，，，，，，，；（2）解：设的半径为，则，，为的中点，，，在中，，，解得：或（舍去），的半径长为6．【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等