福建省南平市建瓯市芝华中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题A卷含解析

PAGE17-福建省南平市建瓯市芝华中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题（A卷）（含解析）一、选择题1.设合集，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】设合集，，依据集合的补集的概念得到故答案为：B。2.函数的定义域是（）A.[1，+∞) B.(1,+∞) C.(2，+∞) D.[2，+∞)【答案】C【解析】本题考查函数的定义域.依据解析式确定函数定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围.要使函数有意义，需使所以函数的定义域是故选C3.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意得，A中，若，则与平行或异面，所以不正确；B中，若，则与也可能是平行的，所以不正确；C中，若，则与平行或异面、相交，所以不正确；依据直线与平面平行的性质定理可知，D是正确，故选D．考点：线面位置关系的判定．4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以推断，即可得到既是偶函数又在上单调递增的函数．【详解】对于．，有，是偶函数，但时为减函数，故解除；对于.，由，为奇函数，故解除；对于.，由于定义域为，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故解除；对于.，由，为偶函数，当时，，是增函数，故正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，留意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算各区间端点的函数值，依据零点的存在性定理推断．【详解】在上为增函数，且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.6.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A1 B.3 C.6 D.2【答案】D【解析】【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长2.四棱锥的体积是.故选D.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需驾驭求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．7.函数与在同始终角坐标系下的图象大致是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【详解】依据函数过解除A;依据过解除B、D,故选：C．8.在三棱柱中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依据题意作出三棱柱，取的中点，连接，得到为所求的线面角，再设三棱柱的棱长为1，求出，即可得出结果.【详解】如图所示，取的中点，连接，则平面，故，为所求的线面角.设三棱柱的棱长为1，则，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，依据题中条件作出线面角，干脆求解即可，属于常考题型.9.已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.【详解】若f（x）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满意即，整理得.故选：B【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，依据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.10.某正方体的平面绽开图如图所示，则在这个正方体中（）A.与相交 B.与平行 C.与平行 D.与异面【答案】B【解析】依据题意得到立体图如图所示：A与是异面直线，故不相交；B与平行，由立体图知是正确的；C与位于两个平行平面内，故不正确；D与是相交的。故答案为：B。11.函数有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点，画出函数的图象，依据图象可得的取值范围．【详解】解：函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点点，函数的图象如下：依据图象可得，故选：．【点睛】本题考查的学问点是根的存在性及根的个数推断，数形结合思想，其中娴熟驾驭函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．属于中档题．12.如下图，梯形中，∥,,,,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.其中正确命题的序号是（）A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】B【解析】【分析】利用折叠前四边形中的性质与数量关系，可证出，然后结合平面平面，可得平面，从而可推断①③；三棱锥的体积为，可推断②；因为平面，从而证明，再证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①，，，，平面平面，且平面平面，平面，平面，，故不成立，故①错误；②棱锥的体积为，故②错误；③由①知平面，故③正确；④由①知平面，又平面，，又，且、平面，,平面，又平面,平面平面，故④正确.故选：B.【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要留意利用折叠前后四边形中的性质与数量关系.二、填空题13.计算：_______.【答案】【解析】【分析】依据指对数的运算性质计算，，【详解】原式【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题。14.如图，已知三棱锥中，，，，则二面角的平面角的大小为______．【答案】60°【解析】【分析】取中点，由等腰三角形三线合一可知，；由二面角平面角定义可知为所求角，依据长度关系可知为等边三角形，从而得到结果.【详解】取中点，连接，，为中点，即为二面角的平面角又，为等边三角形，即二面角的大小为故答案为：【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，关键是能够依据二面角平面角的定义，利用垂直关系在图形中得到二面角的平面角.15.棱长为2的正方体外接球的体积是______．【答案】【解析】【分析】求出外接球的半径，然后求解球的体积．【详解】解：正方体的外接球直径为正方体的体对角线，．．故答案为：点睛】本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查计算实力，属于基础题。16.已知，，，则，，的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：，，依据的单调性可知，故．故答案为：【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．三、解答题17.已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】分和两种状况分类探讨，能求出实数的范围．【详解】由已知得，∵，∴①若，则，此时．②若，则．解得．由①、②可得，符合题意的实数的取值范围为．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意子集定义及性质的合理运用．18.已知函数的两零点为.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)恒成立，求的取值范围．【答案】(I)(II)【解析】【详解】试题分析：（I）令，得，可求出两根，进而求得；（II）图象是开口向上，对称轴为为抛物线，探讨轴和区间的关系，得到函数的最值即可。解析：(I)令，得，不妨设，解得，，所以.(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，(1)当即时，，符合题意；(2)当，即时，，故；综合(1)(2)得.19.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，面ABCD，E是PC的中点．求证:（1）平面BDE；（2）平面平面BDE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析】（1）连接，由分别为中点可知，由线面平行判定定理可证得结论；（2）由正方形特点知，由线面垂直性质知；由线面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接是正方形的中心为中点，又为中点平面，平面平面（2）是正方形的中心平面，平面平面，平面平面平面平面【点睛】本题考查立体几何中线面平行、面面垂直关系的证明，涉及到线面平行判定定理、线面垂直性质定理和判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.20.已知函数，且.（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）推断的奇偶性并证明.（Ⅲ）推断在上的单调性，并赐予证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为奇函数，见解析；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（1）由题意，即可求出的值；（Ⅱ）推断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；其次步：计算并与比较；（Ⅲ）用定义法证明函数的单调性；【详解】（Ⅰ）由得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为关于原点对称，∴为奇函数；（Ⅲ）函数在上是单调减函数，证明如下：设，且因为，所以，∴所以，即，所以在上是单调减函数。【点睛】推断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；其次步：计算并与比较；利用定义法证明函数的单调性分为五步，第一步：设元；其次步：作差；第三步：变形；第四步：推断符号；第五步：下结论。其中第三步主要采纳通分，因式分解的方法。21.如图C，D是以AB为直径的圆上的两点，，，F是AB上的一点，且，面ABD，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由圆的性质知，由线面垂直性质知；依据线面垂直的判定定理可证得结论；（2）依据圆的性质知，由勾股定理可求得；由线面垂直性质知，由勾股定理求得，从而可得到，证得；依据线面平行判定定理证得结论；（3）依据比例关系可知，由线面垂直知为点到平面的距离；由体积桥可知，利用三棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）在以为直径的圆上平面，平面平面，平面（2）在以为直径的圆上，又，平面，平面，又在中，平面，平面平面（3）平面到平面距离为：【点睛】本题考查立体几何中线面垂直、线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定定理等学问的应用；求解三棱锥体积的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.22.定义在上的函数对随意，都有（为常数）.（1）推断为何值时，为奇函数，并证明；（2）在（1）的条件下，设集合，，且，求实数的取