2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十三第二章一元二次函数方程和不等式2.2.2基本不等式的应用含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测十三基本不等式的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知x≥QUOTE,则y=QUOTE有 ()A.最大值QUOTE B.最小值QUOTEC.最大值1 D.最小值1【解析】选D.y=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为x≥QUOTE,所以x-2>0,所以QUOTE≥QUOTE·2QUOTE=1,当且仅当x-2=QUOTE,即x=3时取等号,故y的最小值为1.2.已知正数x,y满意x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 ()A.8 B.4 C.2 D.0【解析】选A.由x+2y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×QUOTE=QUOTE+QUOTE+4≥4+4=8,当且仅当x=2y时等号成立.3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形态为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且奢侈最少)的是 ()A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则QUOTEab=2,所以ab=4,l=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE=4+2QUOTE≈6.828(m).因为要求够用且奢侈最少,所以选7m最合理.4.若对随意x>0,QUOTE≤a恒成立,则a的取值范围是 ()A.a≥QUOTE B.a>QUOTE C.a<QUOTE D.a≤QUOTE【解析】选A.因为对随意x>0,QUOTE≤a恒成立,所以对x∈(0,+∞),a≥QUOTE,而对x∈(0,+∞),QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当x=QUOTE时等号成立,所以a≥QUOTE.5.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ()A.QUOTE≤QUOTE B.QUOTE+QUOTE≤1C.QUOTE≥2 D.a2+b2≥8【解析】选D.4=a+b≥2QUOTE(当且仅当a=b时,等号成立),即QUOTE≤2,ab≤4,QUOTE≥QUOTE,选项A,C不成立;QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8.6.若正实数x,y,z满意x2-3xy+4y2-z=0,则当QUOTE取得最大值时,QUOTE+QUOTE-QUOTE的最大值为()A.0 B.1 C.QUOTE D.3【解析】选B.由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)则QUOTE=QUOTE=QUOTE≤1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=-QUOTE+1≤1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知a>b>c且QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,则实数m的最大值为________.

【解析】由题意得,a-b>0,b-c>0,a-c>0,因为QUOTE+QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE+QUOTE≥m,即QUOTE+QUOTE≥m,又2+QUOTE+1+QUOTE≥3+2QUOTE(当且仅当a-b=QUOTE(b-c)时取等号).所以实数m的最大值为3+2QUOTE.答案:3+2QUOTE8.周长为QUOTE+1的直角三角形面积的最大值为________.

【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b,则QUOTE+1=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE,解得ab≤QUOTE,当且仅当a=b=QUOTE时取“=”,所以直角三角形面积S≤QUOTE,即S的最大值为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a>b>0,求a2+QUOTE的最小值.【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,a2+QUOTE≥a2+QUOTE=a2+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当b=a-b,a2=2,a>b>0,即a=QUOTE,b=QUOTE时取等号,所以a2+QUOTE的最小值是4.10.某品牌电脑体验店预料全年购入360台电脑,已知该品牌电脑的进价为3000元/台,为节约资金确定分批购入,若每批都购入x(x∈N*)台,且每批需付运费300元,储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k),若每批购入20台,则全年需付运费和保管费7800元.(1)记全年所付运费和保管费之和为y元,求y关于x的函数.(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少,则每批应购入电脑多少台?【解析】(1)由题意,得y=QUOTE×300+k×3000x.当x=20时,y=7800,解得k=0.04.所以y=QUOTE×300+0.04×3000x=QUOTE×300+120x(x∈N*).(2)由(1),得y=QUOTE×300+120x≥2QUOTE=2×3600=7200.当且仅当QUOTE=120x,即x=30时,等号成立.所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少,每批应购入电脑30台.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知a<b,则QUOTE+b-a的最小值为 ()A.3 B.2 C.4 D.1【解析】选A.因为a<b,所以b-a>0,由基本不等式可得QUOTE+b-a=1+QUOTE+(b-a)≥1+2QUOTE=3,当且仅当QUOTE=b-a(b>a),即当b-a=1时,等号成立,因此,QUOTE+b-a的最小值为3.2.已知a>0,b>0,QUOTE+QUOTE=QUOTE,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为 ()A.8 B.7 C.6 D.5【解析】选C.由已知,可得6QUOTE=1,所以2a+b=6QUOTE·(2a+b)=6QUOTE≥6×(5+4)=54,当且仅当QUOTE=QUOTE时等号成立,所以9m≤54,即m≤6.3.(多选题)已知a,b∈(0,+∞),且a+b+QUOTE+QUOTE=5,则a+b的 ()A.最大值是3 B.最大值是4C.最小值是2 D.最小值是1【解析】选BD.因为a+b+QUOTE+QUOTE=(a+b)QUOTE=5,又a,b∈(0,+∞),所以a+b=QUOTE≤QUOTE,当且仅当a=b时,等号成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4.4.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,则m的最大值等于 ()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】选B.因为a>0,b>0,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE⇔QUOTE+QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥m,由a>0,b>0得,QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4(当且仅当a=b时取“=”).所以5+QUOTE+QUOTE≥9,所以m≤9.二、填空题(每小题5分,共20分)5.若实数x,y满意xy=1,则x2+2y2的最小值为________.

【解析】因为x2+2y2≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当x=QUOTEy时取“=”,所以x2+2y2的最小值为2QUOTE.答案:2QUOTE6.若点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则QUOTE+QUOTE的最小值为________.

【解析】因为点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,所以2m+n=1,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=4+QUOTE≥8.答案:87.若a,b∈R,ab>0,则QUOTE的最小值为________.

【解析】因为a,b∈R,ab>0,所以QUOTE≥QUOTE=4ab+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当QUOTE即QUOTE时取得等号.答案:48.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路途长400千米,为了平安,两列货车的间距不得小于QUOTE千米,那么这批货物全部运到B市,最快须要________小时.

【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=8(小时),当且仅当QUOTE=QUOTE,即v=100时等号成立,此时t=8小时.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)9.是否存在正实数a和b,同时满意下列条件:①a+b=10;②QUOTE+QUOTE=1(x>0,y>0)且x+y的最小值为18,若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.【解析】因为QUOTE+QUOTE=1,所以x+y=(x+y)QUOTE=a+b+QUOTE+QUOTE≥a+b+2QUOTE=(QUOTE+QUOTE)2,又x+y的最小值为18,所以(QUOTE+QUOTE)2=18.由QUOTE得QUOTE或QUOTE故存在实数a=2,b=8或a=8,b=2满意条件.10.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周长为8.(1)设AB=x,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围.(2)安排在△ADE区域涂上蓝色代表星空,假如要使△ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽.【解析】(1)由题意可得AD=4-x,且x>4-x>0,可得2<x<4,