北师大版数学九年级上册期末考试考前复习高频考点练习一遍过：《反比例函数》（四）

九年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过:

《反比例函数》（四）

1.如图，一次函数力=履+6的图象与反比例函数九=2的图象交于A（2,小），B（n,1）

x

两点，连接0A,08.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）求△048的面积；

（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P,使以0,4,B,P为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，反比例函数）（£>0）的图象与正比例函数丁=弓牙的图象交于A、B两点（点

x4

4在第一象限）.

（1）当点A的横坐标为2时，求人的值；

（2）若2=12,点C.为y轴正半轴上一点，NAC3=90",

①求△ACB的面积；

②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点。的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点B在k轴正半轴上，四边形。AC8为平

行四边形，OA=%w,cos/406=哮，反比例函数)，=K(攵＞0)的图象在笫一象限

3X

内过点A,且经过BC边的中点F,连接AF,OF.

(1)当〃?=10,即QA=10的时，求反比例函数的表达式;

(2)设AOA尸的面积为S,求S关于m的函数表达式；

(3)证明：XOAFsXAFC

4.如图，A、£＞、B、。分别为反比例函数y=旦与y=1(x＞0,OCAVX)图象上的点，且

XX

AC〃x轴，8。〃)，轴，AC与ED相交于点P,连接40、BC.

(1)若点A(1,2),点8(2,5),请直接写出点C、点。、点P的坐标；

(2)连接AB、CD,若四边形ABC。是菱形，且点P的坐标为(3,2),请直接写出小

〃之间的数量关系式；

(3)若A、8为动点，△APO与是否相似？为什么？

5.如图，己知一次函数尸治-3与反比例函数尸乂的图象相交于点A（4,〃），与x轴

2x

相交于点B.

（1）求〃的值和k的值以及点B的坐标；

（2）观察反比例函数y=K的图象，当y2-3时，请直接写出自变量x的取值范围;

x

（3）以A8为边作菱形48CQ,使点C在x轴正半轴上，点。在第一象限，求点。的坐

标；

（4）在），轴上是否存在点P,使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标：若不

存在，请说明理由.

6.已知在平面直角坐标系中，点A（小，〃）在第一象限内，ABrOAKAB=OA,反比例

函数的图象经过点A,

X

（1）当点8的坐标为（4,0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；

（2）当点B在反比例函数y=K的图象上，且在点A的右侧时（如图2）,用含字母加,

x

〃的代数式表示点B的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，求工的值.

图1图2

7.如图，点A,B分别在反比例函数y=K(k#0),y=匡在第一象限的图象上，点C是y

xx

轴正半轴上一点，连结AB,OB,AC.已知四边形48。。是平行四边形，且A,B两点

的纵坐标之比为9：4.

(1)求上的值.

(2)当口4B0C是菱形时，求AB的长.

8.已知，在直角坐标系中，平行四边形0ABe的顶点4,C坐标分别为4(2,0),C(-1,

2),反比例函数y=@的图象经过点B(mWO)

x

(1)求出反比例函数的解析式

(2)将口0ABe沿着x轴翻折，点C落在点。处，作出点。并判断点。是否在反比例

函数丁=四的图象上

x

(3)在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在，写出点尸的坐标；若不

9.如图在平面直角坐标系中，。为原点，4、8两点分别在)，轴、x轴的正半轴上，

的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P,P在反比例函数)，=£的图象上.

X

(1)求点P的坐标；

(2)若O4=OB,则：

①NP的度数为；

②求出此时直线AB的函数关系式；

(3)如果直线AB的关系式为y=Ax+小且0<〃<2,作反比例函数)=-△,过点(0,

X

1)作X轴的平行线与y=£的图象交于点M,与y=-Z的图象交于点M过点N作)，

xx

轴的平行线与y=Ax+〃的图象交于点Q，是否存在左的值，使得MN+QN的和始终是一

个定值d,若存在，求出上的值及定值d；若不存在，请说明理由.

10.如图，直线力=鬲犷出与双曲线,，2=±2在第一象限内交于48两点，已知A(1,m),

x

B(2,1).

(1)k\=,ki=,b=.

(2)直接写出不等式)，2>刈的解集；

(3)设点尸是线段AB上的一个动点，过点P作PO_Lx轴于点DE是)，轴上一点，求

参考答案

1.解：(1)•・•点4(2,小)，B(H,1)在反比例函数九=包上，

x

，26=6,〃=6,

.*.7n=3,

・・・4(2,3),B(6,1),

•.•点A(2,3),B(6,1)在一次函数乃=履+力上，

./2k+b=3

**l6k+b=l，

.k=-4

b=4

・•・一次函数的表达式为y】=-%+4；

(2)如图1,记一次函数力=-小+4的图象与x,y轴的交点为点。，C,

针对于3=-去+4,

令x=0,则刃=4,

：.C(0,4),

・・・OC=6,

令y\=0,则-今+4=0,

・0=8,

：.D(8,0),

，0。=8,

过点A作轴于£过点B作8尸J_x轴于凡

VA(2,3),B(6,1),

：,AE=2,BF=\,

:•SMOB=S&COD~S/^oc-S八ROD

=^OCOD-^OCAE-工ODBF

222

=—X4X8--X4X2--X8X1

222

=8

(3)存在，如图2,

当48和OB为邻边时，点8(6,1)先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点0(0,

0),则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P(2-6,3-1),即尸(-

4,2)；

当OA和OB为邻边时，点。(0,0)先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点4(2,

3),

则点5也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点产(6+2,1+3),即尸(8,4)；

当48和04为邻边时，点A(2,3)先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点8(6,

1),

则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点产(0+4,0-2),即P'(4,-2)；

点P的坐标为(-4,2)或(4,-2)或(8,4).

22

2.解：(1)当x=2时，y=—X2=—,

42

・••点A坐标为(2,费)，

•・,点A在反比例函数产区(Q0)的图象上,

x

3

・・・仁2><」=3,

2

(2)①・・・左=12,

・•・反比例函数解析式为），=卫.

X

f12

y=­

联立方程组可得：X,

・••点A(4,3),点3(・4,-3),

：,AO=BO=5,

又・・・NACB=90°,

：.CO=AO=BO=5,

・,•点C(0,5),

:.△4CB的面积=AX5X4+、X5X4=20；

22

②设点O坐标为(x,y),

若A8为对角线，则四边形4C8O是平行四边形,

・・・48与CO互相平分，

.5+y-3+3-4+4x+0

••-9二二一9

2222

.,.x=0,y=-5,

・••点0(0,-5)；

若AC为对角线，则四边形4BCD是平行四边形,

・・・AC与以)互相平分，

.4+0_-4+x5+3__3+y

-2二2'2二2，

.*.x=8,j=ll,

・••点D(8,11)；

若8C为对角线，则四边形4a)8是平行四边形,

・・・8C与互相平分，

.-4+0x+4-3+5_3+y

••_一_，_9

2222

・・.x=-8,y=-1,

・•・点0(-8,-1),

综上所述：点O坐标为（0,-5）或（8,11）或（・8,-1）.

则OM=04cosNA06=〃z,同理4M

故点A（w,A/2机），

k==100^2；

（2）过点尸作），轴的平行线交x轴于点”，交AC于点G,

二•四边形OACB为平行四边形，则NAOB=NCBH=Na,

则△AMOs^GHB,点尸是BC的中点，

则相似比为：2：1,点A（m,近m）,

则尸”=工M=返机，

22

即点尸的坐标为：（2m,坐用），

2

•:BF=CF,4C〃x轴，:・/C=NCBH,

而NHFC=NBFH,

：,4GFC学丛HFB（AAS）

则GC=BH=^m,则点C（全，V2m）；

4C=与"-m=-^-m=OB,

22

=

S=^°ACBO~^XOBXyc=；

⑶*：OA//BCt

V3

AZAFC=ZMO,i^a=ZAOB,cosa=3

3

二,点A(〃?，V2加)、点、F(2m,——W、点、C(■1■/%,V2，〃)；

22

则OAFC=MnX-C珏=即2，而入尸=32=0AFCt

cosCl22

故：AOAF^AAFC.

4.解：(1)•・•点A坐标A(1,2)反比例函数y=亚上的点，点B坐标8(2,5)反比例函

x

数丁=工•上的点，

X

=1X2=2,71=2X5=10,

•・・4C〃x轴，BO〃y轴，

・••点C的纵坐标为2,点。的^坐标为2,点尸坐标(2,2)

・••点C(5,2),点。(2,1)；

(2),・•点尸的坐标为(3,2).

・••点4,点C纵坐标为2,点B,点。的横坐标为3,

•・•四边形ABCO是菱形，

：.AP=PC,BP=PD,

设点A(x,2),则点C(6-x,2),

：.m=2x,点0(3,年)，〃=12-2x,点B(3,12~—),

,:BP=PD,

.12x12-2x、

33

,\m+n=12；

(3)XAPDsXCPB,

理由如下：设点P的坐标为(a,b),

则点A的坐标为(&，6)、点。的坐标为(小-),

ba

点B的坐标为(a,?)、点C的坐标为(£,b),

..mab-mann-ab.,inba-mn,n-ab

..nPA=a--=----,PC=——-a=----,PnrD=b---=----,PnBD=——-h=----,

bbbbaaaa

.PAab-mPDab-m

,,PCn-ab'PBn-ab'

PApn

即詈■¥，且/APO=NC尸8,

PCPB

，XAPDsRCPB.

Q

5.解：(1)把点A(4,〃)代入一次函数y=£r-3,

乙

Q

可得/t=—X4-3=3；

乙

把点A(4,3)代入反比例函数)，=区，

x

可得3=与,

4

解得2=12.

3

•・•一次函数丁=米-3与k轴相交于点8,

3

,x-3=0»

2

解得x=2,

・••点B的坐标为(2,0),

(2)当丁=-3时，-3=q,

解得x=-4.

故当y2-3时，自变量x的取值范围是xW-4或x>0.

(2)如图，过点A作AEJLr轴，垂足为E,过点。作OELx轴，垂足为A

：.OE=4,AE=3tOB=2,

：,BE=OE-OB=4-2=2,

在RtZXABE中，

VAE2+BE2=V9+4=V13,

•・•四边形ABCD是菱形，

ZMB=CD=BC=V13»AB//CD,

:./ABE=NDCF,

•.•AE_Lx釉，。尸_Lx轴，

AZAEB=ZDFC=90°,

在△ABE与△OCf'中，

rZAEB=ZDFC

<NABE=NDCF，

AB=CD

AAABE^ADCF(AAS)f

:・CF=BE=2,DF=AE=3,

:.OF=OB+BC+CF=2+A/13+2=4+^13，

，点。的坐标为(4+正，3).

如图2,作点8（2,0）关于j：轴的对称点。的坐标为（-2,0）,

:.直线AQ的关系式为j=X+1,

・•・直线4Q与），轴的交点为P10,1）.

6.解：（1）过A作4CLO8,交x轴于点C,

图1

•：OA=AB,NOA8=90°,

:•△AOB为等腰直角三角形,

：.AC=OC=BC=^OB=2f

2

・・・A(2,2),

将x=2,y=2代入反比例解析式得：2=K即24,

乙

生

则反比例解析式为y=

(2)过4作AE_Lx轴，过8作8O_LAE,

•・・NQ4B=90°,

：.ZOAE+ZBAD=90a,

VZAOE+ZOAE=90°,

:./BAD=NAOE,

在AAOE和△BAD中，

2AOE=NBAD

<ZAEO=ZBDA=90"»

AO=BA

AAAOE^AffAD(AAS),

.\AE=BD=n,OE=AD=m,

:.DE=AE-AD=n-m,OE+BD=m+〃,

则B(〃?+〃，n-m)；

(3)由A与5都在反比例图象上，得到/力〃=(m+n)(n-m),

整理得：n2-m2=mfi,即(&)？+皿-1=0,

nn

这里。=1,b=I,c=-I,

•••△=1+4=5,

.m-1±V5

n2

VA(m,n)在第一象限，

.*.z?z>0»〃>0,

则W=士应

n2

.n_V5+l

•••

m2

7.解：(1)设A点的横坐标为“

•・•四边形ABOC是平行四边形，

J.AB//CO,

*.xA=xB=a,

k4

,划=一，切=一，

aa

•・・A,8两点的纵坐标之比为9：4,

k4-

A—s—=9：4,

aa

，k=9；

(2)当口480C是菱形时，AB=OB,

如图，延长AB交x轴于”，

•：AB//CO,

工NCOH+NOHB=180°,

：.ZOHB=90°,

设B〃=4m,则A”=9，〃，

：.AB=AH-BH=5mt

在RtAOBH中，0"=doB2_BH2=»

，点B的坐标为(3m,4m),

丁点3在双曲线旷=三上，

x

:.3m4帆=4,

・・・m=缗（舍去负值）,

3

8.解：（1）分别过点C、8作x轴的垂线，垂足分别为：E、F,

•・•四边形0A8C为平行四边形，则NCOE=N84尸，CO=AB,

ARtACOE^RtABAF,：.AF=OE=\f

故点8（1,2）,故m=2,

则反比例函数表达式为：y=-：

x

（2）翻折后点。的坐标为：（-1,-2）,

・•・。在反比例函数y=亚的图象上；

x

（3）当0尸=0C时，点P（士巡，0）；

当OC=PC时，点尸（-2,0）；

当OP=PC时，设点P（m,0）,

则加2+（w+1）2+4,解得：m=-2.5；

综上，点P的坐标为：（土泥,0）或（・2,0）或（・2.5,0）.

9.解：（1）过尸作PC_Lx轴于&作尸£>_1_），轴于点。，于E,如图1,

入

0]Bc

图1

'：AP和BP分别是NBA尸和NABC的平分线，

:・PC=PE=PD,

设PC=a,则P(d,a)t

把尸(a,a)代入y=&中得,/=%

x

.\a=^J~4=2t

:.P(2,2)；

(2)①・・・0A=05,NA04=90°,

：.ZOAB=45°,

・・・NB4D=135°，

*：AP和BP分别是NBA尸和NABC的平分线，

・・・/%。=67.5°,NPOA=45°,

：.ZAPO=ZPAD-ZPOA