人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 3.2 函数的单调性与奇偶性（教师版）

第第页3.2.1单调性与最大（小）值课程标准学习目标①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．②掌握定义法证明函数单调性的步骤．③掌握函数单调区间的写法.④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.⑤.会借助单调性求最值.⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值．通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值.知识点01：函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，区间SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数SKIPIF1<0在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，区间SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数SKIPIF1<0在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增或单调递减，那么就说函数SKIPIF1<0在这一区间具有(严格的)单调性，区间SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减反比例函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增二次函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）对称轴为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0上单调递减知识点02：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数SKIPIF1<0，证明的单调区间为SKIPIF1<0①取值：任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；②作差：计算SKIPIF1<0；③变形：对SKIPIF1<0进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性与SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性相反；（2）函数SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性与SKIPIF1<0的单调性相同；（3）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共定义区间SKIPIF1<0，有如下结论；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增SKIPIF1<0增SKIPIF1<0增SKIPIF1<0不确定增SKIPIF1<0减SKIPIF1<0不确定增SKIPIF1<0减SKIPIF1<0减SKIPIF1<0减SKIPIF1<0不确定减SKIPIF1<0增SKIPIF1<0不确定减SKIPIF1<0【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.(1)判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，并证明；【答案】(1)函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，理由见详解【详解】（1）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；理由如下：取SKIPIF1<0，规定SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减知识点03：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0那么称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最大值；2、最小值：对于函数SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0那么称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最小值；知识点四：复合函数的单调性（同增异减）一般地，对于复合函数SKIPIF1<0，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：SKIPIF1<0：令：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增增增增减减减增减减减增【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数的值域为：SKIPIF1<0.故选：C．题型01定义法判断或证明函数单调性【典例1】（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为增函数，则SKIPIF1<0为增函数B．若SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0为减函数C．若SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0为增函数D．若SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为增函数，则SKIPIF1<0为减函数【答案】C【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B正确；选项D:SKIPIF1<0为增函数，则SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为减函数，选项D正确；选选C:若SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0的增减性不确定.例如SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故不能确定SKIPIF1<0的单调性.故选:C【典例2】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)根据定义证明函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）由已知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）任取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.【变式1】（2023秋·高一课时练习）求证：函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数.【答案】证明见解析【详解】证明：任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数.【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数SKIPIF1<0．（1）用定义证明函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调减函数；【答案】（1）见解析；【详解】（1）任取SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调减函数【变式3】（2023·全国·高一专题练习）求证：函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数．【答案】证明见解析【详解】设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0是减函数.题型02求函数单调区间【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0知，函数为开口向上，对称轴为SKIPIF1<0的二次函数，则单调递增区间是SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由图象知单调减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数SKIPIF1<0的图象，则函数SKIPIF1<0的减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．题型03复合函数单调区间【典例1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】函数SKIPIF1<0的定义域需要满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故选：D.【典例2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，则由二次函数的性质知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故选：B【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0.故选：A题型04根据函数的单调性求参数【典例1】（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______【答案】SKIPIF1<0【详解】二次函数SKIPIF1<0的图像开口向上，单调增区间为SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，则整数SKIPIF1<0的取值可以为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】A【详解】解：由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴整数a的取值可以为SKIPIF1<0.故选：A【变式1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，则SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高一专题练习）“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】SKIPIF1<0的图象如图所示，要想函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数，必须满足SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的子集，所以“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数”的充分不必要条件.故选：A题型05根据函数的单调性解不等式【典例1】（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的增函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【答案】A【详解】∵SKIPIF1<0是定义在R上的增函数，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则a的取值范围为SKIPIF1<0．故选：A．【典例2】（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上是减函数，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上是减函数，且SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A．【典例3】（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,且当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性,并说明理由;(2)若SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,理由见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解:SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,理由如下:因为SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0,不妨取任意SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,由题意SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.（2）因为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以不等式SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由(1)可知SKIPIF1<0在定义域内单调递增,所以只需SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】D【详解】因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以实数m的取值范围是(－∞，1)，故选：D【变式2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的减函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的减函数，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0题型06根据单调性（图象）求最值或值域【典例1】（多选）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】对于A，由图象可知：SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，A正确；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，B正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，C正确；对于D，由图象可知：SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，但并非严格单调递增，不能用“SKIPIF1<0”连接，D错误.故选：ABC.【典例2】（2023春·重庆·高二统考阶段练习）函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0．（1）求实数a，b，并确定函数SKIPIF1<0的解析式；（2）判断SKIPIF1<0在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）写出SKIPIF1<0的单调减区间，并判断SKIPIF1<0有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）【答案】（1）SKIPIF1<0（2）见解析（3）单调减区间为SKIPIF1<0x=-1时，SKIPIF1<0，当x=1时，SKIPIF1<0．【详解】（1）SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在（-1，1）上是增函数．（3）单调减区间为SKIPIF1<0当x=-1时，SKIPIF1<0，当x=1时，.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）设SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求证SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数.（2）由（1）：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数(1)求实数SKIPIF1<0的值，判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上的单调性；(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0，单调递增(2)最小值SKIPIF1<0，最大值SKIPIF1<0【详解】（1）若函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．（2）由（1）知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上为增函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上为增函数，在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上为减函数．又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0题型07根据函数的最值（值域）求参数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取“SKIPIF1<0”，所以函数SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，它的最大值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意，函数SKIPIF1<0表示开口向上，且对称轴为SKIPIF1<0的抛物线，要使得当SKIPIF1<0，函数的最大值为SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选D.【典例3】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0存在最小值，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0没有最小值；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有最小值，需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0(1)根据单调性的定义证明函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数(2)若函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最大值与最小值之差为1，求实数SKIPIF1<0的值【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是减函数；（2）由（1）可知，SKIPIF1<0是减函数，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，因为最大值与最小值之差为1，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式1】（2023·上海·高三专题练习）设SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0极小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值，则SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有最大值3，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0的对称轴SKIPIF1<0，要满足题意，只需SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，都不满足SKIPIF1<0，故舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型08二次函数最值问题（含参）【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0的表达式SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最值．【答案】答案见解析【详解】解：函数SKIPIF1<0的图像的对称轴为直线SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)求函数在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的最大值SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，图象开口向上，对称轴为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以此时函数的最大值为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以此时函数的最大值为SKIPIF1<0；综上：SKIPIF1<0．【变式1】（2022秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最小值为–1．(1)求实数a的值；(2)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)2(2)答案详见解析【详解】（1）∵函数SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的图象开口向上，对称轴为直线SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）．∴实数a的值为2．（2）由（1）知函数SKIPIF1<0的图象开口向上，对称轴为直线SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数，∴SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为增函数，∴SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，易知SKIPIF1<0．综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【变式2】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，求函数在区间SKIPIF1<0上的最小值SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，（1）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，（2）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，（3）当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【变式3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0的开口向上，对称轴为SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，开口向上，对称轴为SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最小值，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最小值，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最小值，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.题型09函数不等式恒成立问题【典例1】（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知SKIPIF1<0.(1)若不等式SKIPIF1<0对一切实数SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)解集见解析【详解】（1）变形得到SKIPIF1<0对一切实数x恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不对一切实数x恒成立，舍去；当SKIPIF1<0时，则需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，实数a的取值范围是SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解集为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解集为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解集为SKIPIF1<0，综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0，(1)判断函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，理由见解析；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，理由如下：取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；（2）若对任意的SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无意义，舍去，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无解，舍去，所以SKIPIF1<0，只需求出SKIPIF1<0的最大值，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【变式1】（2023