人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 2.2基本不等式（教师版）

第第页2.2基本不等式课程标准学习目标①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）基本不等式:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,（当且仅当SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”号）其中SKIPIF1<0叫做正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的几何平均数；SKIPIF1<0叫做正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的算数平均数．如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”号）特别的，如果SKIPIF1<0,用SKIPIF1<0分别代替SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，“SKIPIF1<0”号成立.知识点二：利用基本不等式求最值①已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正数，如果积SKIPIF1<0等于定值SKIPIF1<0，那么当且仅当SKIPIF1<0时，和SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0；②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正数，如果和SKIPIF1<0等于定值SKIPIF1<0，那么当且仅当SKIPIF1<0时，积SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0；知识点三：基本不等式链SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”号）知识点四：三个正数的基本不等式如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”号）题型01对基本不等式的理解【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：对于A选项，当SKIPIF1<0时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项，SKIPIF1<0成立的条件为SKIPIF1<0，故错误；对于C选项，当SKIPIF1<0时，不等式显然不成立，故错误；对于D选项，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正确.故选：D【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的最小值是4B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为3D．函数SKIPIF1<0的最大值为0【答案】BD【详解】A.对于函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以A选项错误.B.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以B选项正确.C.SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0无解，所以等号不成立，所以C选项错误.D.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以D选项正确.故选：BD【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】A.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故错误；B.SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，故正确；C.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故错误；D.由重要不等式得SKIPIF1<0，故错误；故选：B题型02由基本不等式比较大小【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设SKIPIF1<0为正实数，SKIPIF1<0，则下列不等式中对一切满足条件的SKIPIF1<0恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】A选项，由基本不等式得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，A选项正确.B选项，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，B选项错误.C选项，由基本不等式得SKIPIF1<0，，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，C选项正确.D选项，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，D选项错误.故选：AC【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，下列各式中最大的是_____.(填序号)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.【答案】④【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由基本不等式可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由上可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四个式子中SKIPIF1<0最大．故答案为：④.【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，则下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即AB错误，D正确.对于C选项，SKIPIF1<0，C选项正确.故选：CD题型03由基本不等式证明不等关系【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知SKIPIF1<0是实数.(1)求证：SKIPIF1<0，并指出等号成立的条件；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)证明见解析，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，不等式等号成立(2)4【详解】（1）证明：因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，不等式中等号成立.（2）SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，不等式中等号成立.所以SKIPIF1<0的最小值为4.【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)9(2)证明见解析【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为9.（2）证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0都是正数，且SKIPIF1<0.求证：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，但SKIPIF1<0，因此不能取等号，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，但SKIPIF1<0，因此不能取等号，SKIPIF1<0.题型04利用基本不等式求积的最大值【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时等号成立，因此，函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,故选：C．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为_________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<0.题型05利用基本不等式求和的最小值【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．5 B．3 C．4 D．9【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：A.【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】3【详解】因为SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立．故答案为：3【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______【答案】8【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，则SKIPIF1<0的最小值为8．故答案为:SKIPIF1<0题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值【典例1】（2022·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的在最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数SKIPIF1<0的最小值及此时SKIPIF1<0的值；（2）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此函数的最小值及此时SKIPIF1<0的值.【答案】（1）函数SKIPIF1<0的最小值为5，此时SKIPIF1<0；（2）函数SKIPIF1<0的最小值为5，此时SKIPIF1<0.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立.故函数SKIPIF1<0的最小值为5，此时SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故函数SKIPIF1<0的最小值为5，此时SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】9【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9.题型07利用基本不等式求条件等式求最值【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．1 C．9 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，变形得SKIPIF1<0.由题意SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立．故选：B.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______.【答案】3【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取到等号，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值3.故答案为：3【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为正数x，y满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故选：B题型08基本不等式中的恒成立问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为不等式SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：D．【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是_____．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1，若SKIPIF1<0恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．m≤－2SKIPIF1<0或m≥2SKIPIF1<0 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2SKIPIF1<0＜m＜2SKIPIF1<0【答案】D【详解】∵x>0，y>0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得SKIPIF1<0.故选：D【变式2】（2023·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0当且仅当“SKIPIF1<0”，即“SKIPIF1<0”时等号成立，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.题型09基本不等式的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润SKIPIF1<0(单位：万元)与机器运转时间SKIPIF1<0(单位：年)的关系为SKIPIF1<0，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.【答案】SKIPIF1<0.【详解】每台机器运转SKIPIF1<0年的年平均利润为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为SKIPIF1<0万元.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金SKIPIF1<0（单位：百万元）的函数SKIPIF1<0（单位：百万元）：SKIPIF1<0；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金SKIPIF1<0（单位：百万元）的函数SKIPIF1<0（单位：百万元）：SKIPIF1<0．(1)设分配给植绿护绿项目的资金为SKIPIF1<0（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为SKIPIF1<0（百万元），写出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数解析式；(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出SKIPIF1<0的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为SKIPIF1<0百万元，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：由（1）可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为SKIPIF1<0（百万元），SKIPIF1<0（百万元）．【变式1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形SKIPIF1<0，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【答案】C【详解】设SKIPIF1<0米,SKIPIF1<0，则种植花卉区域的面积SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，则SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,故选：C【变式2】（2023·全国·高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区SKIPIF1<0，该项目由图书陈列区SKIPIF1<0（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区SKIPIF1<0面积最小时，则图书陈列区SKIPIF1<0的边长为（

）A．20m B．50m C．SKIPIF1<0m D．100m【答案】B【详解】设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0所以阅读区SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，当校园图书馆精品阅读区SKIPIF1<0面积最小时，则图书陈列区SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，故选：B.题型10对钩函数【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0的最小值大于4”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】解：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的最小值大于4，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：C．【典例2】（2023·高三课时练习）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】设函数SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省万安中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0有最小值4 B．SKIPIF1<0有最大值4 C．SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故选：D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0取得的最小值时，SKIPIF1<0的值为___________．【答案】4【详解】SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故SKIPIF1<0的最小值为6.故答案为：4题型11重点方法之凑配法【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．4 D．8【答案】B【详解】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0上式取等号，则SKIPIF1<0的最大值为0.故选：B.【典例2】（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是__________，SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0不恒成立，不符合题意（舍去）；当SKIPIF1<0时，要使得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为10，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．4【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选:A.【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．－2 B．0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立．故选：B．题型12重点方法之换元法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）SKIPIF1<0的最大值为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型13重点方法之“1”的妙用法【典例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由已知可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立.所以，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】B【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等号成立.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值为____________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立，所以，SKIPIF1<0的最小值为27．故选：C【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值为____________；【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型14重点方法之消元法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，“=”成立，故答案为：SKIPIF1<0.题型15易错题之忽视基本不等式中的“一正”【典例1】（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（

）A．由于SKIPIF1<0，所以x＋SKIPIF1<0＝x＋2＋SKIPIF1<0－2≤－2SKIPIF1<0－2＝－4B．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0C．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小值为2D．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0【答案】AD【详解】对于A，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时等号成立正确；对于B，正具备，但SKIPIF1<0不为定值，故错误；对于C，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确.故选：AD【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的最大值为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型16易错题之忽视基本不等式中的“三相等”【典例1】（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：对于A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，故C符合；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故等号不成立，故D不符合.故选：C.【典例2】（2023·江西赣州·高三校联考期中）下列几个不等式中，不能取到等号的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】对A，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等号成立；对B，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等号成立；对C，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立；对D，当且仅当SKIPIF1<0得SKIPIF1<0时等号成立，无解，等号不成立．故选：D．题型17易错题之换元必换范围【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不成立，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由对勾函数的图象知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2.2基本不等式A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立.所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有最小值4.故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以充分性成立；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以必要性不成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件，故选:C.4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若两个正实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取“＝”.故选：C5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKI