2024-2025学年新教材高中数学第二章函数2函数2.1函数概念练测评含解析北师大版必修第一册

PAGE2.1函数概念必备学问基础练进阶训练第一层学问点一函数关系的推断1.下列对应关系式中是A到B的函数的是()A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)2．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3学问点二同一函数的推断3.与函数y＝x－1为同一函数的是()A．y＝eq\f(x2－x,x)B．y＝(eq\r(t－1))2C．y＝x－x0D．y＝eq\r(3,t－13)4．下列各组函数中是同一函数的是()A．y＝x＋1与y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2学问点三求函数的定义域与值域5.函数y＝eq\f(1,x＋1)＋eq\r(x＋3)的定义域为()A．{x|x≥－3且x≠－1}B．{x|x>－3且x≠－1}C．{x|x≥－1}D．{x|x≥－3}6．已知矩形的周长为1，它的面积S是其一边长为x的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．7．求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(4)y＝2x－eq\r(x－1).关键实力综合练进阶训练其次层1．下列图象中表示函数图象的是()2．函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(x,1－x)的定义域是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．RD．[－1,1)∪(1，＋∞)3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是()A．0B．3a2C．6a2－2D．64．(易错题)下列各组函数中表示同一函数的是()①f(x)＝eq\r(－2x3)与g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝|x|与g(x)＝eq\r(3,x3)；③f(x)＝x0与g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．②③C．③④D．①④5．若函数f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4x＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))6．(探究题)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)7．设函数f(x)＝eq\f(1,x＋2)，则f(1)＝________；若f(f(x))＝eq\f(1,3)，则x＝________.8．函数y＝eq\r(3－2x－x2)＋eq\f(1,4－x2)的定义域为________(用区间表示)．9．函数y＝eq\f(1,x－2)的定义域是A，函数y＝eq\r(x2＋2x－3)的值域是B，则A∩B＝________(用区间表示)．10．已知函数f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2).(1)求函数的定义域；(2)求f(－3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2)B．f(x)＝|x|C．f(x)＝eq\f(1,x)D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)2．函数y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的值域是________．3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)由(1)中求得的结果，你能发觉f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么关系？证明你的发觉；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))的值．§2函数2.1函数概念必备学问基础练1．解析：对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±eq\r(1－x2)，明显对随意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．答案：B2．解析：①x∈[0,1]不符合，②符合，③y∈[0,3]不符合，④不是函数，所以正确个数为1，选B.答案：B3．解析：A中的x不能取0；B中的t≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.答案：D4．解析：对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．答案：B5．解析：要使解析式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,x＋3≥0，))解得x≥－3且x≠－1.答案：A6．解析：由实际意义知x>0，又矩形的周长为1，所以x<eq\f(1,2)，所以定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))7．解析：(1)(视察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分别常数法)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，明显eq\f(7,x－3)≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设eq\r(x－1)＝t，则t≥0，且x＝t2＋1.∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(15,8).∵t≥0，∴y≥eq\f(15,8).故函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).关键实力综合练1．解析：依据函数的定义，对随意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C.答案：C2．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,1－x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x≠1.))故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.答案：D3．解析：f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2答案：A4．解析：①中，两函数定义域相同，都是(－∞，0]，但f(x)＝eq\r(－2x3)＝－xeq\r(－2x)与g(x)对应关系不同，不是同一函数；②中，两函数定义域相同，都是R，但g(x)＝eq\r(3,x3)＝x与f(x)对应关系不同，不是同一函数；③中，定义域相同，对应关系也相同；④中虽然表示自变量的字母不相同，但两函数的定义域和对应关系都相同．故选C.答案：C5．解析：①当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，故m＝0不符合题意．②当m≠0时，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝16－4×3m<0，))解得m>eq\f(4,3).由①②，知实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).答案：C6．解析：要使g(x)＝eq\f(f2x,x－1)有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2，,x－1≠0，))即0≤x＜1，故g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定义域为[0,1)，选B.答案：B7．解析：f(1)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)；由f(f(x))＝eq\f(1,3)，即eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,3)，得f(x)＝1，由eq\f(1,x＋2)＝1，解得x＝－1.故答案为eq\f(1,3)，－1答案：eq\f(1,3)－18．解析：使根式eq\r(3－2x－x2)有意义的实数x的集合是{x|3－2x－x2≥0}即{x|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x|－3≤x≤1}，使分式eq\f(1,4－x2)有意义的实数x的集合是{x|x≠±2}，所以函数y＝eq\r(3－2x－x2)＋eq\f(1,4－x2)的定义域是{x|－3≤x≤1}∩{x|x≠±2}＝{x|－3≤x≤1，且x≠－2}．答案：[－3，－2)∪(－2,1]9．解析：要使函数式y＝eq\f(1,x－2)有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝eq\r(x2＋2x－3)＝eq\r(x＋12－4)≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝[0,2)∪(2，＋∞)．答案：[0,2)∪(2，＋∞)10．解析：(1)使根式eq\r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式eq\f(1,x＋2)有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．(2)f(－3)＝eq\r(－3＋3)＋eq\f(1,－3＋2)＝－1；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\r(\f(2,3)＋3)＋eq\f(1,\f(2,3)＋2)＝eq\r(\f(11,3))＋eq\f(3,8)＝eq\f(3,8)＋eq\f(\r(33),3).(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．f(a)＝eq\r(a＋3)＋eq\f(1,a＋2)；f(a－1)＝eq\r(a－1＋3)＋eq\f(1,a－1＋2)＝eq\r(a＋2)＋eq\f(1,a＋1).学科素养升级练1．解析：对于A，f(x)＝eq\f(1,x2)，当定义域分别为(－1,0)与(0,1)时，值域均为(1，＋∞)，所以f(x)＝eq\f(1,x2)为同族函数，所以A正确；对于B，f(x)＝|x|，当定义域分别为[－1,0]与[0,1]时，值域均为[0,1]，所以f(x)＝|x|为同族函数，所以B正确；对于C，f(x)＝eq\f(1,x)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满意定义域不同时，值域相同，所以C错误；对于D，f(x)＝x＋eq\f(1,x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当定义域分别为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))与[1,2]时，值域均为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，所以D正确，综上，故选ABD.答案：ABD2．解析：∵y＝eq\f(1－x2,1＋x2)＝eq\f(－1＋x2＋2,1＋x2)＝－1＋eq\f(2,1＋x2)，又∵x2≥0，∴1＋x2≥1，∴eq\f(2,1＋x2)∈(0,2]，∴－1＋eq\f(2,1＋x2)∈(－1,1]．故函数的值域为(－1,1]．答案：(－1,1]3．解析：(1)由f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＝1－eq\f(1,x2＋1)，所以f(2)＝1－eq\f(1,22＋1)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,\f(1,4)＋1)＝eq\f(1,5).f(3)＝1－eq\f(1,32＋1)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1－eq\f(1,\