2024-2025学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换单元素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE单元素养检测(二)(第八章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知单位向量a与b的夹角为60°,则a·(a+2b)= ()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为单位向量a与b的夹角为60°,所以a·(a+2b)=a2+2a·b=1+2×1×1×cos60°=2.2.(2024·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= ()A.-3 B.-2 C.2 D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.3.已知两个非零向量a,b满意|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是 ()A.a∥b B.a=bC.a⊥b D.a+b=a-b【解析】选C.因为两个非零向量a,b,满意|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,绽开得到a·b=0,所以a⊥b.4.函数f(x)=4sinxcosxcos2x的最大值是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.因为f(x)=4sinxcosxcos2x=2sin2xcos2x=sin4x.所以当4x=2kπ+QUOTE时,f(x)max=1.5.(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ()A.4 B.3 C.2 D.0【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.6.若α,β均为锐角,sinα=QUOTE,sinQUOTE=QUOTE,则cosβ= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为α为锐角,sinα=QUOTE>QUOTE,所以α>45°且cosα=QUOTE,因为sinQUOTE=QUOTE,且QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<α+β<π,所以cos(α+β)=-QUOTE,则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.已知平面上四个互异的点A,B,C,D满意(-)·(2--)=0,则△ABC的形态肯定是 ()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形【解题指南】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式,再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【解析】选C.设E为BC边的中点,由(-)·(2--)=0,得·(+)=0,又+=2,所以2·=0,所以在△ABC中,BC垂直于BC的中线AE,所以△ABC是等腰三角形.【补偿训练】若·+||2=0,则△ABC为 ()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.0=·+||2=·(+)=·,所以⊥,所以∠BAC=90°.8.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=2,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满意==,则·的值为 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为E为BC中点,所以=QUOTE所以·=QUOTE·=QUOTE·+QUOTE·.因为==,所以△AOB和△AOC为等腰三角形,所以·=cos∠OAB=·QUOTE=QUOTE,同理可得·=QUOTE.所以·=QUOTE+QUOTE=QUOTE+1=QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知单位向量a与b共线,则a·(a+b)的值可能为 ()A.0 B.1 C.2 D.-1【解析】选AC.因为单位向量a与b共线,所以当向量a与b方向相同时,a·(a+b)=a2+a·b=1+1×1×cos0=2.当向量a与b方向相反时,a·(a+b)=a2+a·b=1+1×1×cosπ=0.10.设向量a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若a与b的夹角大于90°,则实数m的值可以是 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选A、B、C.a·b<0⇒(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0,即3m2-2m-8<0,所以-QUOTE<m<2.11.下列关于函数y=2cos2QUOTE-1的叙述正确的是 ()A.最小正周期为π,奇函数B.最小正周期为π,偶函数C.最小值为-3,最大值为1D.最小值为-1,最大值为1【解析】选AD.因为y=2cos2QUOTE-1=cosQUOTE=sin2x为奇函数,T=QUOTE=π,最小值为-1,最大值为1.12.将函数y=sin2xcosφ+cos2xsinφ的图像沿x轴向左平移QUOTE个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选AD.把函数y=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ)的图像向左平移QUOTE个单位后,得到的图像的解析式是y=sinQUOTE,该函数是偶函数的充要条件是QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k∈Z,φ=kπ+QUOTE,k∈Z,依据选项检验可知φ的可能取值为QUOTE,-QUOTE.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb,若b⊥c,则实数k的值为.

【解析】由a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb=(1+k,2-k),若b⊥c,则1+k-2+k=0,解得k=QUOTE.答案:QUOTE14.正六边形ABCDEF边长为1,则·=.

【解析】依据题意作图如下:由正六边形的性质知,=2,所以·=·2=2||·||·cos60°,即·=2×1×1×QUOTE=1.答案:115.已知α是其次象限的角,tan(π+2α)=-QUOTE,则tanα=.

【解析】由tan(π+2α)=-QUOTE得tan2α=-QUOTE,又tan2α=QUOTE=-QUOTE,解得tanα=-QUOTE或tanα=2,又α是其次象限的角,所以tanα=-QUOTE.答案:-QUOTE16.矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点且AP=1,若=x+y,则3x+2y的取值范围是.

【解析】如图,设∠PAB=θ,θ∈QUOTE,=1.由=x+y,得·=x+y·=9x,·=x·+y=4y,由向量数量积的几何意义,得·=cosθ=3cosθ=9x,·=cos(QUOTE-θ)=2sinθ=4y,所以3x+2y=cosθ+sinθ=QUOTEsinQUOTE.由于θ∈QUOTE,得θ+QUOTE∈QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE≤1得1<QUOTEsinQUOTE≤QUOTE,所以3x+2y的取值范围是(1,QUOTE].答案:(1,QUOTE]四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知0<α<QUOTE,sinα=QUOTE.(1)求tanα的值.(2)求cos2α+sinQUOTE的值.【解析】(1)因为0<α<QUOTE,sinα=QUOTE,得cosα=QUOTE,所以tanα=QUOTE.(2)cos2α+sinQUOTE=1-2sin2α+cosα=1-QUOTE+QUOTE=QUOTE.18.(12分)求值:QUOTE.【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.19.(12分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-QUOTE),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-QUOTE),a∥b,所以-QUOTEcosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0与sin2x+cos2x=1冲突,故cosx≠0.于是tanx=-QUOTE.又x∈[0,π],所以x=QUOTE.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-QUOTE)=3cosx-QUOTEsinx=2QUOTEcosQUOTE.因为x∈[0,π],所以x+QUOTE∈QUOTE,从而-1≤cosQUOTE≤QUOTE.于是,当x+QUOTE=QUOTE,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+QUOTE=π,即x=QUOTE时,f(x)取到最小值-2QUOTE.20.(12分)已知a=(2,3),b=(x,2).(1)当a-2b与2a+b平行时,求x的值.(2)当a与b夹角为锐角时,求x的取值范围.【解析】(1)由题意得:a-2b=(2-2x,-1),2a+b=(4+x,8),由a-2b与2a+b平行得:(2-2x)·8-(-1)·(4+x)=0,所以x=QUOTE.(2)由题意得,QUOTE即QUOTE所以x>-3且x≠QUOTE.21.(12分)已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx).(1)设f(x)=a·b,求f(x)的单调递增区间.(2)若c=(2,1),向量a-b与c共线,且x为其次象限角,求(a+b)·c的值.【解析】(1)f(x)=2sinx·cosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=QUOTEsinQUOTE+1,由2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,得f(x)的单调递增区间为QUOTE,k∈Z.(2)因为a-b=(2sinx-cosx,-cosx),c=(2,1),a-b与向量c共线,所以2sinx-cosx=-2cosx,即tanx=-QUOTE.又因为x是其次象限角,所以sinx=QUOTE,cosx=-QUOTE,(a+b)·c=2(2sinx+cosx)+3cosx=4sinx+5cosx=-QUOTE.【拓展延长】向量与三角函数综合题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等条件,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.22.(12分)已知函数fQUOTE=QUOTEsin2x-cos2x+1.(1)求y=fQUOTE在区间QUOTE上的单调递增区间.(2)求y=fQUOTE在QUOTE的值域.【解题指南】(1)利用协助角公式可将函数化简为fQUOTE=2sinQUOTE+1;令2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE可求出fQUOTE的单调递增区间,截取在QUOTE上的部分即可得到所求的单调递增区间;(2)利用x的范围可求得2x-QUOTE的范围,对应正弦函数的图像可求得sinQUOTE的范围,进而得到函数的值域.【解析】(1)fQUOTE=QUOTEsin2x-cos2x+1=2sinQUOTE+1,令2kπ-QUOTE≤2x-