福建省2025届高三数学毕业班质量检查测试试题B卷文含解析

PAGE28-福建省2025届高三数学毕业班质量检查测试试题（B卷）文（含解析）留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合或，又，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式不等式的解法，还考查了运算求解的实力，属于基础题.2.等差数列的前项和为，若是方程的两实根.则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由一元二次方程根与系数的关系得到，再依据等差数列的性质，最终代入前项和公式求解.【详解】由题意可知，并且.故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础计算题型.3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再计算．【详解】由题意，所以．故选：A．【点睛】本题考查求分段函数值，最幂与对数的运算，解题关键是要推断自变量的取值范围，依据不同的取值范围选取不同的表达式计算．4.设函数，则“”是“在单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】先推断充分不充分，代入，看在是否单调递增，再推断是不是必要条件，由在单调递增，得到.【详解】当时，则，在单调递增，故“”是“在单调递增”的充分条件，反之，在单调递增，不肯定得到，如也可以，故“”是“在单调递增”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分必要条件的推断，先看条件是否能推得结论，即是不是充分条件，再看结论是否能推出条件，即是不是必要条件，再综合得到结论，属于中档题.5.如图，在直角坐标系中，点，点，点在轴上，曲线与线段交于点.若在四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由定积分的几何意义求出阴影部分的面积，再由几何概型概率公式计算．【详解】由题意阴影部分面积为：，又四边形的面积为，所以所求概率为．故选：B．【点睛】本题考查几何概型，解题关键是驾驭定积分的几何意义，求出阴影部分面积．6.函数在处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据导数值等于切线斜率，求出，又切线过点，求出，求得答案.【详解】由题，则，得，则切点为，又切点在切线上，得，则.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数值等于切线的斜率，属于简洁题.7.小王于2015年底贷款购置了一套房子，依据家庭收入状况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2024年底，他没有再购买其次套房子.下图是2024年和2024年小王的家庭收入用于各项支出的比例安排图，依据以上信息，推断下列结论中正确的是（）A.小王一家2024年用于饮食的支出费用跟2024年相同B.小王一家2024年用于其他方面的支出费用是2024年的3倍C.小王一家2024年的家庭收入比2024年增加了1倍D.小王一家2024年用于房贷的支出费用比2024年削减了【答案】B【解析】【分析】因为小王每月还款数额相同，2024年占比60%，2024年占比40%，说明2024年收入大于2024年收入，设2024年收入为，2024年收入为，，即，依据这两年的收入的关系，推断选项.【详解】因小王每月还款数额相同，2024年占比60%，2024年占比40%，说明2024年收入大于2024年收入，设2024年收入为，2024年收入为，，即A.2024年和2024年，虽然饮食占比都是25%，但收入不同，所以支出费用不同，所以A不正确；B.2024年的其他方面的支出费用是，2024年其他方面的支出费用是，，所以B正确；C.因为，所以小王一家2024年的家庭收入比2024年增加了1.5倍，所以C不正确；D.房贷占收入的比例削减了，但支出费用是不变的，所以D不正确.故选：B【点睛】本题考查数据分析的实际问题，重点考查读题，依据图象分析信息，解决问题，属于基础题型，本题的关键是依据每月还款相同，计算两年收入的关系.8.原始的蚊香出现在宋代.依据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学爱好小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据画圆弧的规律：分别以B，C，A为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点状况，再依据当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最终圆弧的半径即可.【详解】如图所示：当以B为圆心，半径为：1，4，7，10，…除起点外，与直线无交点，①当以C为圆心，半径为：2，5，8，11，…与直线有一个点，②当以A为圆心，半径为：3，6，9，12，…除终点（即①的起点，点A除外）外，与直线无交点，③所以当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个循环，所以以B为圆心的弧与直线只有交点A，以C为圆心的弧与直线10个交点，以A为圆心的弧与直线有10个交点，即数列②有10项，数列③有10项，所以最终一个圆弧的半径为，所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查数列的抽象与等差数列的通项公式和前n项和的应用，还考查了分析求解问题的实力，属于中档题.9.在正方体中，点分别为线段，上的动点，且，则以下结论错误的是（）A.平面B.平面平面C.，使得平面D.，使得平面【答案】B【解析】【分析】A.当时，连接，依据，得到，再结合，得到，再利用线面平行的判定定理推断；B.利用A的状况，依据平面平面推断；C.当时，B与K重合，，依据平面推断；D.当时，连接，依据，得到，再结合，得到，再利用线面平行的判定定理推断.【详解】A.如图所示：当时，连接，因为，所以，又，所以，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，故正确；B.由A知如图所示：平面即为平面，在正方体中，因为平面平面，所以平面不垂直平面，即平面不垂直平面，故错误；C.如图所示：当时，B与K重合，所以，因为平面，所以平面，故正确；D.如图所示：当时，连接，因为，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以平面，故正确；故选：B【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理，还考查了空间和逻辑推理的实力，属于中档题.10.在等腰中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先通过余弦定理结合求出三角形的腰长，而，最终进行数量积的运算即可.【详解】设等腰的边长，∵，∴，即，又∵，解得，又∵，∴，故选：B.【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，求出三角形的边长是解题的关键，属于基础题.11.在直角坐标系中，双曲线的右顶点为，直线与相交于两点，位于第一象限，若平分，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，然后结合条件可得，从而可得到点的坐标为，代入双曲线的方程可得，然后可算出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知因为平分，所以，所以因为点的纵坐标为，所以可得点的坐标为代入双曲线的方程可得，所以所以故选：D【点睛】在椭圆中有，在双曲线中有.12.已知函数，以下关于的结论其中正确的结论是（）①当时，在上无零点；②当时，在上单调递增；③当时，在上有多数个极值点；④当时，在上恒成立.A.①④ B.②③ C.①②④ D.②③④【答案】D【解析】【分析】依据零点存在性定理，可推断①；通过求导，推断符号以及零点的个数，可推断②③；利用导数结合不等式性质可推断④，即可得出结论.【详解】对于①：当时，，,在存在零点，所以①错误；对于②：当时，，，当时，，当，当，恒成立，故在上单调递增，故②正确对于③：当时，，，令，得，画出和作出如图，当时，，和在有多数个交点，交点的横坐标为的极值点，故此时，在上有多数个极值点；故③正确对于④：当时，，当时，，令，得，所以单调递减，故当时，，当时，当时，，进一步分析，当时，，对于，得，单调递增，且单调递减，单调递增，时，取得微小值，也是最小为，，在上恒大于0，即，当，，在时有，故单调递增，且，所以，所以，综上，当时，在上恒成立，故④正确故答案为：D【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、不等式恒成立问题，难点在于利用不等式的性质放缩构造函数，考查分类探讨思想、数形结合思想以及逻辑推理实力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数实部为，则实数______.【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法干脆化简，由实部为，求得答案.【详解】，则，得.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的概念，属于简洁题.14.设正项等比数列的前项和为，，，若，则数列中最大的项为______.【答案】【解析】【分析】首先求数列的公比和通项公式，再代入求数列的通项公式，并推断数列的单调性，得到数列的最大项.【详解】设等比数列的公比为，且即，解得：或（舍），，，，,当时，，当时，所以数列中的最大项是.故答案为：【点睛】本题考查数列的函数性质，以及等比数列基本量的计算，属于基础题型.数列的单调性可以通过公式的正负推断.15.设的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，且又与圆相切于的中点，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先依据条件求出，与联立，表示出的中点的坐标，再由与圆切于点，求得答案.【详解】由题，，则，即，设，则，得，则，即的中点为，又的圆心，则，得，即，又在上，得.故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，运用了设而不解，联立方程组，根与系数的关系的基本方法，还考查了直线与圆相切的应用，属于较易题.16.三棱锥中，，，，三棱锥的体积是，则它的外接球体积的最小值是______.【答案】【解析】【分析】如图，设的中点为，的中点为，,垂足为.设先证明点是三棱锥外接球的球心，是外接球的半径，证明平面,再由题得，再求出最大为，即得的最小值，即得解.【详解】如图，设的中点为，的中点为，,垂足为.设因为,所以，因为，所以点是三棱锥外接球的球心，是外接球的半径，.因为，,所以,因为,平面,所以平面,所以，所以要想外接球体积最小，即最小，所以最大，.由题得，当时，最大为，所以.所以它的外接球体积的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算和最值问题的求解，考查几何体外接球问题的求解，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，，，在上，且满意.（1）求证：为的中点；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在两个三角形中，利用正弦定理，结合题中所给的条件，得到，证得结果；（2）设，在和中，利用余弦定理，结合余弦值的关系，得到，求得，利用余弦定理求得，从而求得，利用面积公式求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得，①在中，由正弦定理得，②又，，将①②，得，，，所以，即为的中点.（2）设，在和中，由余弦定理可得，，因为，所以，故，即在中，由余弦定理可得，，所以.故.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的学问点有余弦定理、正弦定理以及三角形的面积公式，属于简洁题目.18.某疫苗进行平安性临床试验.该疫苗平安性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb）的含量（以下简称为“M含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者没有出现高铁血红蛋白血症（简称血症）；若M含量超过1%，则为阳性，认为受试者出现血症.若一批受试者的M含量平均数不超过0.65%，且出现血症的被测试者的比例不超过5%，则认为该疫苗在M含量指标上是“平安的”；否则为“担心全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射，依据性别分层，随机抽取50名志愿者进行M含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.经数据整理，制得频率分布直方图如下.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.）（1）请说明该疫苗在M含量指标上的平安性；（2）请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的列联表，并推断是否有超过99%的把握认为，注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？男女阳性阴性附：.【答案】（1）该疫苗在M含量指标上是“平安的”；（2）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）求出区间上的频率，以及平均数，即可得出结论；（2）依据题意填写列联表，计算的值，并与比较大小，即可得出结论.【详解】（1）由频率分布直方图得，M含量数据落在区间上的频率为故出现血症的比例为5%，符合“平安的”条件；由直方图得平均数为求得，即志愿者的M含量的平均数为综上，该疫苗在M含量指标上是“平安的”.（2）依题意得，抽取的50名志愿者中女性志愿者应为25人由已知，25名女性志愿者被检测出阳性恰有1人，故女性中阳性的频率所以全部的女性志愿者共有人由（1）知400名志愿者中，阳性的频率为，所以阳性的人数共有人因此男性志愿者被检测出阳性的人数是.所以完成表格如下：男女阳性128阴性188192由列联表可，由参考表格，可得，故没有超过99%的把握认为，注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关.【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图求平均数以及独立性检验的实际应用，属于中档题.19.如图，四棱锥中，，，，，为等边三角形，是棱上一点.（1）证明：；（2）若平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点为，连结，，通过证明平面，可得；（2）过作，设，连，，利用直线与平面平行的性质定理可得，又，所以四边形为平行四边形，所以、分别为、的中点，再通过计算可得，从而可得到平面的距离为，然后依据体积公式可得结果.【详解】（1）取中点为，连结，.因为为等边三角形，，因为，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，即，因为且平面，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）过作，设，连，，则四边形为平面四边形，因为平面，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以为的中位线，即、分别为、的中点，由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，作于点，因为平面平面，所以平面，因为为等边三角形且，点为的中点，所以，在中，因为，所以，所以，所以，即，所以到平面的距离为，所以.【点睛】本题考查了直线与平面平行的性质定理，考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了棱锥的体积公式，属于中档题.20.已知椭圆上一点关于原点的对称点为，点，的面积为，直线过上的点.（1）求的方程；（2）设为的短轴端点，直线过点交于，证明：四边形的两条对角线的交点在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据已知可得，依据椭圆的对称性结合的面积为，求出点的横坐标，利用三点共线，求出点的纵坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求解.（2）设，得出直线方程，联立求出交点坐标，要证明交点在定直线上，寻求关系，设出直线方程，与椭圆方程联立，消元得到的方程，得到关系，代入交点坐标，化简即可证明结论.【详解】（1）设坐标原点为，.由题意得，，又，且直线过上的点，所以.又三点共线，所以，即，故.又直线过上的点，所以，即椭圆，将代入椭圆，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线斜率必存在，设其方程，设，，则，，，，联立得，所以，解得，，，所以，不妨设，，所以直线方程为，直线方程为，联立整理，解得，所以，四边形的两条对角线的交点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及定值问题，要驾驭根与系数关系设而不求方法解决相交点坐标问题，考查逻辑推理、计算求解实力，属于较难题.21.已知函数（1）探讨函数的单调性；（2）求证：当时，有.【答案】（1）当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数求导得到，令，然后分，，三种状况探讨求解.（2）在（1）中取，得到在单调递减，当时，通过，得到，再令，得到，然后取，累加即可.【详解】（1）.令，（a）当，即时，，，在单调递减.（b）当时，有两个实根，，且，当或时，，单调递减；当时，，单调递增.（c）当时，，故当时，，，在单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增.（2）在（1）中取，可知在单调递减，所