机器学习：强化学习：动态规划算法教程

机器学习：强化学习：动态规划算法教程1强化学习的基本概念在强化学习(ReinforcementLearning,RL)领域中，一个智能体(agent)通过与环境(environment)的交互来学习如何做出决策，以最大化某种累积奖励(reward)。强化学习的核心概念包括：1.1状态(State)状态是环境的当前情况，智能体基于当前状态来决定其行动。1.2动作(Action)智能体在环境中可以执行的操作，执行动作后，环境会进入一个新的状态，并给予智能体一个奖励。1.3奖励(Reward)奖励是智能体执行动作后从环境中获得的反馈，它指导智能体学习哪些行为是有益的。1.4策略(Policy)策略定义了智能体在给定状态下选择动作的规则。1.5价值函数(ValueFunction)价值函数评估状态或状态-动作对的好坏，是智能体决策的重要依据。1.6动态规划算法在强化学习中的应用动态规划算法是强化学习中用于求解最优策略的一类方法，它基于环境的完全信息，即状态转移概率和奖励函数是已知的。动态规划算法主要包括：1.6.1价值迭代(ValueIteration)价值迭代算法通过迭代更新价值函数来求解最优策略。算法的核心公式为：V其中，Ps,a,s′是状态s下执行动作a转移到状态s′的概率，Rs,1.6.1.1代码示例importnumpyasnp

defvalue_iteration(env,gamma=0.9):

"""

env:环境对象，需要实现方法env.P(s,a)返回(prob,next_state,reward,done)的列表

gamma:折扣因子

"""

V=np.zeros(env.nS)#初始化所有状态的价值为0

max_iterations=100000

eps=1e-20

foriinrange(max_iterations):

prev_V=np.copy(V)

forsinrange(env.nS):

Q_sa=np.zeros(env.nA)

forainrange(env.nA):

forprob,next_state,reward,doneinenv.P[s][a]:

Q_sa[a]+=prob*(reward+gamma*prev_V[next_state])

V[s]=np.max(Q_sa)

ifnp.sum(np.fabs(prev_V-V))<=eps:

break

returnV1.6.2策略迭代(PolicyIteration)策略迭代算法首先初始化一个策略，然后交替进行策略评估(policyevaluation)和策略改进(policyimprovement)，直到策略收敛。1.6.2.1策略评估策略评估的目的是计算给定策略下的价值函数。核心公式为：V1.6.2.2策略改进策略改进的目的是基于当前的价值函数来改进策略，使策略在每个状态下选择价值最大的动作。π1.6.2.3代码示例defpolicy_evaluation(env,policy,gamma=0.9,theta=0.0001):

"""

env:环境对象，需要实现方法env.P(s,a)返回(prob,next_state,reward,done)的列表

policy:当前策略，policy[s]返回s状态下的动作

gamma:折扣因子

theta:评估终止阈值

"""

V=np.zeros(env.nS)

whileTrue:

delta=0

forsinrange(env.nS):

v=0

forprob,next_state,reward,doneinenv.P[s][policy[s]]:

v+=prob*(reward+gamma*V[next_state])

delta=max(delta,np.abs(v-V[s]))

V[s]=v

ifdelta<theta:

break

returnV

defpolicy_improvement(env,V,gamma=0.9):

"""

env:环境对象，需要实现方法env.P(s,a)返回(prob,next_state,reward,done)的列表

V:当前价值函数

gamma:折扣因子

"""

policy=np.zeros([env.nS,env.nA])+1.0/env.nA#初始化为随机策略

forsinrange(env.nS):

Q_sa=np.zeros(env.nA)

forainrange(env.nA):

forprob,next_state,reward,doneinenv.P[s][a]:

Q_sa[a]+=prob*(reward+gamma*V[next_state])

best_a=np.argmax(Q_sa)

policy[s]=np.eye(env.nA)[best_a]

returnpolicy

defpolicy_iteration(env,gamma=0.9):

"""

env:环境对象，需要实现方法env.P(s,a)返回(prob,next_state,reward,done)的列表

gamma:折扣因子

"""

policy=np.zeros([env.nS,env.nA])+1.0/env.nA#初始化为随机策略

whileTrue:

V=policy_evaluation(env,policy,gamma)

new_policy=policy_improvement(env,V,gamma)

if(np.all(policy==new_policy)):

break

policy=new_policy

returnpolicy,V1.7结论动态规划算法是强化学习中解决有限状态和动作空间问题的有效方法。通过迭代更新价值函数或策略，智能体可以学习到最优的行为策略。然而，动态规划算法的缺点是它需要环境的完全信息，这在现实世界中往往是不可行的。因此，后续的强化学习算法，如蒙特卡洛方法和时序差分学习，将不再依赖于环境的完全信息，而是通过与环境的交互来学习。2动态规划基础2.1确定性环境下的价值迭代价值迭代(ValueIteration)是一种用于确定性环境下的动态规划算法，用于求解马尔可夫决策过程(MDP)中的最优策略。在确定性环境中，每个状态和动作的组合都会导致一个确定的下一状态，这简化了问题的复杂性，使得价值迭代算法可以有效地找到最优解。2.1.1原理价值迭代算法通过迭代更新状态价值函数来逼近最优价值函数。算法的核心公式如下：V在确定性环境中，由于状态转移概率PsV其中，Rs,a是状态s下采取动作a的即时奖励，γ是折扣因子，Vks2.1.2代码示例假设我们有一个简单的网格世界，其中每个格子代表一个状态，每个状态有四个可能的动作：上、下、左、右。我们的目标是找到从任意状态到达目标状态的最优路径。#网格世界定义

grid=[

[0,0,0,1],#奖励1的状态为目标状态

[0,9,0,-1],#奖励-1的状态为陷阱状态

[0,0,0,0]

]

#状态转移函数

deftransition(state,action):

ifaction=='up':

return(state[0]-1,state[1])

elifaction=='down':

return(state[0]+1,state[1])

elifaction=='left':

return(state[0],state[1]-1)

elifaction=='right':

return(state[0],state[1]+1)

returnstate#如果动作导致离开网格，则保持原状态

#即时奖励函数

defreward(state):

returngrid[state[0]][state[1]]

#初始化状态价值函数

V=[[0for_inrange(len(grid[0]))]for_inrange(len(grid))]

#折扣因子

gamma=0.9

#迭代次数

iterations=100

#价值迭代

for_inrange(iterations):

V_new=[[0for_inrange(len(grid[0]))]for_inrange(len(grid))]

foriinrange(len(grid)):

forjinrange(len(grid[0])):

ifgrid[i][j]==0:#只有非障碍状态进行迭代

actions=['up','down','left','right']

values=[reward((i,j))+gamma*V[transition((i,j),a)[0]][transition((i,j),a)[1]]forainactions]

V_new[i][j]=max(values)

V=V_new

#输出最终状态价值函数

forrowinV:

print(row)2.1.3解释在上述代码中，我们首先定义了网格世界，其中0表示可以移动的状态，1和-1分别表示目标状态和陷阱状态。然后，我们定义了状态转移函数和即时奖励函数。初始化状态价值函数后，我们通过迭代更新每个状态的价值，直到收敛。最后，我们输出了每个状态的最优价值。2.2确定性环境下的策略迭代策略迭代(PolicyIteration)是另一种动态规划算法，它交替进行策略评估和策略改进，直到找到最优策略。2.2.1原理策略迭代算法首先从一个任意策略开始，然后通过以下两个步骤迭代：策略评估(PolicyEvaluation)：给定当前策略，计算该策略下的状态价值函数。策略改进(PolicyImprovement)：基于当前策略下的状态价值函数，找到一个更好的策略。在确定性环境中，策略评估和策略改进的计算可以简化，因为状态转移概率总是1或0。2.2.2代码示例继续使用上述网格世界，我们实现策略迭代算法来找到最优策略。#策略定义

policy=[[''for_inrange(len(grid[0]))]for_inrange(len(grid))]

#策略评估

defpolicy_evaluation(policy):

V=[[0for_inrange(len(grid[0]))]for_inrange(len(grid))]

theta=0.0001

delta=float("inf")

whiledelta>theta:

delta=0

foriinrange(len(grid)):

forjinrange(len(grid[0])):

ifgrid[i][j]==0:#只有非障碍状态进行评估

v=V[i][j]

action=policy[i][j]

V[i][j]=reward((i,j))+gamma*V[transition((i,j),action)[0]][transition((i,j),action)[1]]

delta=max(delta,abs(v-V[i][j]))

returnV

#策略改进

defpolicy_improvement(V):

policy_stable=True

foriinrange(len(grid)):

forjinrange(len(grid[0])):

ifgrid[i][j]==0:#只有非障碍状态进行改进

old_action=policy[i][j]

actions=['up','down','left','right']

values=[reward((i,j))+gamma*V[transition((i,j),a)[0]][transition((i,j),a)[1]]forainactions]

best_action=actions[values.index(max(values))]

policy[i][j]=best_action

ifold_action!=best_action:

policy_stable=False

returnpolicy_stable

#策略迭代

policy_stable=False

whilenotpolicy_stable:

V=policy_evaluation(policy)

policy_stable=policy_improvement(V)

#输出最优策略

forrowinpolicy:

print(row)2.2.3解释在策略迭代的代码示例中，我们首先定义了一个初始策略，然后通过策略评估和策略改进的交替迭代来优化策略。策略评估计算给定策略下的状态价值函数，而策略改进则基于当前价值函数来更新策略，直到策略不再改变，即达到最优策略。通过这两个算法，我们可以在确定性环境中有效地解决强化学习问题，找到从任意状态到目标状态的最优路径。3概率性动态规划3.1随机环境下的价值迭代价值迭代(ValueIteration)是一种用于解决随机环境下的动态规划算法，它通过迭代更新状态价值函数来找到最优策略。在随机环境中，每个动作可能产生多个结果，每个结果都有一定的概率。价值迭代算法的核心在于Bellman最优性方程，它定义了最优价值函数和最优策略之间的关系。3.1.1原理价值迭代算法从任意初始状态价值函数开始，然后迭代地应用Bellman最优性方程，直到状态价值函数收敛。算法的每一步都会更新所有状态的价值，直到达到一个稳定的状态价值函数，这个函数对应于最优策略下的状态价值。3.1.2内容初始化：为所有状态设置一个初始价值，通常设置为0。迭代更新：对于每个状态s，计算新的价值V’(s)如下：V其中，Ps′|s,a是状态s在采取动作a后转移到状态s’的概率，收敛检查：当所有状态的价值更新变化小于一个阈值时，算法停止。3.1.3代码示例假设我们有一个简单的网格世界，其中每个状态可以向四个方向移动，但移动可能失败，导致留在原地。我们将使用Python和NumPy来实现价值迭代算法。importnumpyasnp

#网格世界参数

grid_size=4

actions=[(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)]#右、左、下、上

discount=0.9#折扣因子

epsilon=1e-5#收敛阈值

#状态转移概率和即时奖励

transition_prob=0.8#成功移动的概率

reward=-1#每个时间步的即时奖励

#构建状态转移矩阵和即时奖励矩阵

P=np.zeros((grid_size**2,len(actions),grid_size**2))

R=np.zeros((grid_size**2,len(actions),grid_size**2))

#填充状态转移矩阵和即时奖励矩阵

forsinrange(grid_size**2):

fora,actioninenumerate(actions):

fors_primeinrange(grid_size**2):

ifs_prime==s:#如果移动失败，留在原地

P[s,a,s_prime]=1-transition_prob

else:

#计算移动到s_prime的概率

x,y=divmod(s,grid_size)

x_prime,y_prime=divmod(s_prime,grid_size)

if(x_prime-x,y_prime-y)==action:

P[s,a,s_prime]=transition_prob

else:

P[s,a,s_prime]=0

R[s,a,s_prime]=reward

#初始化状态价值函数

V=np.zeros(grid_size**2)

#价值迭代

whileTrue:

delta=0

forsinrange(grid_size**2):

v=V[s]

V[s]=max(np.sum(P[s,a]*(R[s,a]+discount*V)forainrange(len(actions))))

delta=max(delta,abs(v-V[s]))

ifdelta<epsilon:

break

#输出最终状态价值函数

V=V.reshape((grid_size,grid_size))

print(V)3.1.4解释在上述代码中，我们首先定义了网格世界的参数，包括网格大小、动作、折扣因子和收敛阈值。然后，我们构建了状态转移矩阵和即时奖励矩阵，这些矩阵描述了在每个状态和动作下，转移到其他状态的概率和即时奖励。接下来，我们初始化状态价值函数，并开始价值迭代过程，直到状态价值函数的变化小于收敛阈值。最后，我们输出了最终的状态价值函数。3.2随机环境下的策略迭代策略迭代(PolicyIteration)是另一种用于解决随机环境下的动态规划算法，它通过迭代地评估和改进策略来找到最优策略。策略迭代算法首先从任意策略开始，然后交替进行策略评估和策略改进，直到策略不再改变。3.2.1原理策略迭代算法包括两个主要步骤：策略评估和策略改进。策略评估是计算给定策略下的状态价值函数，而策略改进是基于当前状态价值函数找到一个更好的策略。3.2.2内容初始化：选择一个任意策略π。策略评估：计算策略π下的状态价值函数Vπ策略改进：基于Vπ找到一个更好的策略π重复：用π′替换π3.2.3代码示例我们继续使用网格世界作为示例，但这次我们将实现策略迭代算法。importnumpyasnp

#网格世界参数

grid_size=4

actions=[(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)]#右、左、下、上

discount=0.9#折扣因子

epsilon=1e-5#收敛阈值

#状态转移概率和即时奖励

transition_prob=0.8#成功移动的概率

reward=-1#每个时间步的即时奖励

#构建状态转移矩阵和即时奖励矩阵

P=np.zeros((grid_size**2,len(actions),grid_size**2))

R=np.zeros((grid_size**2,len(actions),grid_size**2))

#填充状态转移矩阵和即时奖励矩阵

forsinrange(grid_size**2):

fora,actioninenumerate(actions):

fors_primeinrange(grid_size**2):

ifs_prime==s:#如果移动失败，留在原地

P[s,a,s_prime]=1-transition_prob

else:

#计算移动到s_prime的概率

x,y=divmod(s,grid_size)

x_prime,y_prime=divmod(s_prime,grid_size)

if(x_prime-x,y_prime-y)==action:

P[s,a,s_prime]=transition_prob

else:

P[s,a,s_prime]=0

R[s,a,s_prime]=reward

#初始化策略

policy=np.zeros(grid_size**2,dtype=int)

#策略迭代

whileTrue:

#策略评估

V=np.zeros(grid_size**2)

whileTrue:

delta=0

forsinrange(grid_size**2):

v=V[s]

V[s]=np.sum(P[s,policy[s]]*(R[s,policy[s]]+discount*V))

delta=max(delta,abs(v-V[s]))

ifdelta<epsilon:

break

#策略改进

policy_stable=True

forsinrange(grid_size**2):

old_action=policy[s]

policy[s]=np.argmax(np.sum(P[s,a]*(R[s,a]+discount*V)forainrange(len(actions))))

ifold_action!=policy[s]:

policy_stable=False

ifpolicy_stable:

break

#输出最终策略

print(policy.reshape((grid_size,grid_size)))3.2.4解释在策略迭代的代码示例中，我们首先定义了网格世界的参数，包括网格大小、动作、折扣因子和收敛阈值。然后，我们构建了状态转移矩阵和即时奖励矩阵，这些矩阵描述了在每个状态和动作下，转移到其他状态的概率和即时奖励。接下来，我们初始化了一个策略，并开始策略迭代过程。策略迭代包括策略评估和策略改进两个步骤，直到策略不再改变。最后，我们输出了最终的策略。通过这两个算法，我们可以有效地解决随机环境下的动态规划问题，找到最优策略和最优状态价值函数。4折扣因子与无限时间4.1折扣因子的概念在强化学习中，折扣因子（DiscountFactor）是一个关键概念，用于处理未来奖励的不确定性。它是一个介于0和1之间的值，通常表示为γ。折扣因子的作用是将未来的奖励折现到当前的价值，这是因为未来的奖励存在不确定性，即时的奖励通常被认为比未来的奖励更有价值。通过使用折扣因子，强化学习算法可以更合理地评估长期策略，而不仅仅是追求短期的高奖励。4.1.1折扣因子的数学表示假设一个智能体在时间t时获得的即时奖励为Rt，那么在时间t+n时获得的奖励Rt+n折现到当前的价值为4.1.2折扣因子的重要性长期规划：通过适当的折扣因子，智能体可以学习到需要长期投资才能获得高回报的策略。收敛性：在无限时间序列中，如果没有折扣因子，累积的奖励可能会无限增长，导致算法无法收敛。探索与利用：折扣因子还影响智能体在探索新策略与利用已知策略之间的平衡。4.2处理无限时间序列的动态规划在无限时间的强化学习问题中，智能体需要在没有明确结束状态的情况下做出决策。这种情况下，累积奖励的总和可能趋向于无穷大，因此需要使用折扣因子来确保累积奖励的有限性，从而使得动态规划算法能够收敛。4.2.1动态规划算法在无限时间序列中的应用动态规划算法，如值迭代（ValueIteration）和策略迭代（PolicyIteration），在处理无限时间序列时，通过反复更新状态值或策略，直到收敛。这里的关键是使用折扣因子来计算累积奖励的期望值，确保算法的稳定性和收敛性。4.2.2代码示例：值迭代算法下面是一个使用Python实现的值迭代算法示例，用于解决无限时间序列的强化学习问题。假设我们有一个简单的网格世界，其中智能体可以向四个方向移动，目标是到达一个特定的奖励状态。importnumpyasnp

#定义环境参数

grid_size=4

actions=['up','down','left','right']

rewards=np.zeros((grid_size,grid_size))

rewards[3,3]=1#目标状态的奖励

gamma=0.9#折扣因子

#初始化状态值

V=np.zeros((grid_size,grid_size))

#定义转移概率和奖励函数

deftransition(state,action):

ifaction=='up':

return(state[0]-1,state[1])

elifaction=='down':

return(state[0]+1,state[1])

elifaction=='left':

return(state[0],state[1]-1)

elifaction=='right':

return(state[0],state[1]+1)

returnstate#如果超出边界，保持原状态

defreward(state,action):

new_state=transition(state,action)

returnrewards[new_state]

#值迭代算法

whileTrue:

delta=0

foriinrange(grid_size):

forjinrange(grid_size):

v=V[i,j]

V[i,j]=max([reward((i,j),action)+gamma*V[transition((i,j),action)]foractioninactions])

delta=max(delta,np.abs(v-V[i,j]))

ifdelta<1e-4:#收敛条件

break

#输出最终状态值

print(V)4.2.3代码解释初始化：我们首先定义了网格的大小、可能的动作、奖励矩阵和折扣因子。状态值初始化：所有状态的初始价值设为0。转移函数和奖励函数：定义了智能体在执行动作后的状态转移规则和获得的即时奖励。值迭代：算法通过不断更新状态值直到收敛。对于每个状态，算法计算所有可能动作的折现累积奖励，并选择最大的值作为该状态的新价值。收敛条件：当所有状态的价值更新量小于一个阈值时，算法停止迭代。通过这个例子，我们可以看到折扣因子在处理无限时间序列问题中的重要性，它确保了算法的收敛性和智能体能够学习到长期的策略。5动态规划的局限性5.1动态规划对状态空间的要求动态规划算法在强化学习中是一种基于模型的方法，它要求环境的完整模型，包括状态转移概率和奖励函数。这种方法在状态空间有限且可以完全枚举的情况下非常有效，但在现实世界中，状态空间往往非常庞大，甚至可能是连续的，这使得动态规划的直接应用变得不切实际。5.1.1问题描述考虑一个简单的例子，假设我们正在设计一个智能体来玩一个棋盘游戏，如国际象棋。在这个游戏中，状态空间由所有可能的棋盘布局组成，这包括了所有可能的棋子位置和状态。由于国际象棋有64个格子，每个格子可能有多种状态（空、白棋、黑棋），状态空间的大小是巨大的。更进一步，如果棋盘游戏允许棋子有多种移动方式，状态空间的复杂度将呈指数级增长。5.1.2数学表示状态空间的大小可以用以下公式表示：S其中，S是状态空间的大小，N是状态的维度，si是第i维度的状态数量。在国际象棋的例子中，N=64，每个s5.2解决动态规划局限性的方法面对庞大的状态空间，直接应用动态规划算法变得不可行。为了解决这一问题，研究者们提出了多种方法来扩展动态规划的适用范围，包括但不限于：5.2.1状态抽象状态抽象是将复杂的状态空间简化为更小的、更易于处理的状态集合。例如，在棋盘游戏中，可以将相似的棋盘布局归为同一类，只保留类别信息，而不是每个布局的细节。这样，动态规划算法可以在抽象的状态空间上运行，大大减少了计算量。5.2.2价值迭代与策略迭代的改进价值迭代和策略迭代是动态规划的两种主要算法。在面对大状态空间时，可以采用近似动态规划的方法，如使用函数逼近来估计价值函数或策略，而不是存储每个状态的价值或策略。这包括使用神经网络或其他机器学习模型来逼近价值函数或策略函数。5.2.3蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的技术，它通过模拟大量的游戏或任务实例来估计状态价值和策略。这种方法不需要环境的完整模型，而是依赖于与环境的交互来学习。在状态空间非常大或连续的情况下，蒙特卡洛方法可以提供一个有效的解决方案。5.2.4时序差分学习时序差分学习（TemporalDifferenceLearning）结合了动态规划和蒙特卡洛方法的优点，它通过与环境的交互来学习，但同时使用了动态规划的思想来更新价值函数。时序差分学习在每次交互后都会更新价值函数，而不是等到整个序列结束，这使得它在处理大状态空间时更加高效。5.2.5深度强化学习深度强化学习结合了深度学习和强化学习，使用深度神经网络来逼近价值函数或策略函数。这种方法在处理高维状态空间和复杂任务时表现出了强大的能力，如AlphaGo和AlphaStar等项目。5.2.6代码示例：使用状态抽象简化状态空间假设我们有一个简单的环境，状态空间由两个连续变量组成，我们可以通过状态抽象来简化这个状态空间。importnumpyasnp

#定义状态空间的范围

state_space={

'x':(0,100),

'y':(0,100)

}

#定义状态抽象函数

defstate_abstraction(state):

#将连续状态空间离散化

x,y=state

x_discrete=int(x/10)

y_discrete=int(y/10)

return(x_discrete,y_discrete)

#创建一个状态

state=(23.5,67.2)

#应用状态抽象

abstracted_state=state_abstraction(state)

print("原始状态:",state)

print("抽象状态:",abstracted_state)在这个例子中，我们定义了一个状态空间，它由两个连续变量x和y组成，每个变量的范围是0到100。我们创建了一个状态抽象函数，它将连续的状态空间离散化，通过将每个变量除以10并取整，将状态空间简化为10×5.2.7结论动态规划算法在处理有限状态空间时非常有效，但在面对大状态空间或连续状态空间时，其直接应用变得不切实际。通过状态抽象、价值迭代与策略迭代的改进、蒙特卡洛方法、时序差分学习以及深度强化学习等方法，可以有效地解决动态规划的局限性，使其在更广泛的场景中得到应用。6动态规划在网格世界中的应用6.1网格世界简介网格世界(GridWorld)是一个常用于强化学习算法测试的环境，它将世界抽象为一个二维网格，每个网格单元可以是状态，智能体(agent)在网格中移动，通过学习最优策略来达到目标状态。网格世界中的状态、动作、奖励和转移概率都是明确的，这使得动态规划算法能够有效地找到最优策略。6.2动态规划算法原理动态规划算法基于贝尔曼方程(BellmanEquation)，通过迭代更新状态值函数或策略，最终收敛到最优策略。在网格世界中，动态规划算法可以分为两种：策略迭代(PolicyIteration)和价值迭代(ValueIteration)。6.2.1策略迭代策略迭代算法首先初始化一个策略，然后通过策略评估(PolicyEvaluation)和策略改进(PolicyImprovement)两个步骤迭代更新，直到策略不再改变。6.2.1.1策略评估策略评估的目的是计算给定策略下每个状态的值函数。在网格世界中，每个状态的值函数可以通过以下公式计算：V其中，Ps′|s,a是从状态s采取动作a转移到状态s′的概率，Rs,a,s′6.2.1.2策略改进策略改进的目的是基于当前的值函数找到一个更好的策略。在网格世界中，对于每个状态s，智能体选择能够最大化Vs6.2.2价值迭代价值迭代算法通过迭代更新状态值函数，直到收敛，然后从值函数中提取最优策略。在网格世界中，价值迭代的更新公式如下：V6.3代码示例下面是一个使用Python实现的网格世界中价值迭代算法的示例：importnumpyasnp

#定义网格世界

grid=np.array([

[0,0,0,1],#奖励1的状态

[0,9,0,-1],#奖励-1的状态

[0,0,0,0]

])

#定义转移概率和奖励

transitions={

(0,0):{(0,1):1.0,(1,0):0.0},

(0,1):{(0,2):1.0,(1,1):0.0},

#...其他状态的转移概率

}

rewards={

(0,0):0,

(0,1):0,

#...其他状态的即时奖励

}

#定义动作

actions=[(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)]#上、右、下、左

#定义折扣因子

gamma=0.9

#初始化值函数

V=np.zeros(grid.shape)

#价值迭代

whileTrue:

delta=0

foriinrange(grid.shape[0]):

forjinrange(grid.shape[1]):

v=V[i,j]

V[i,j]=max([np.sum([transitions[(i,j),a][(i2,j2)]*(rewards[(i2,j2)]+gamma*V[i2,j2])for(i2,j2)intransitions[(i,j),a]])forainactions])

delta=max(delta,np.abs(v-V[i,j]))

ifdelta<1e-4:#收敛条件

break

#提取最优策略

policy={}

f