第四章三角形B卷压轴题考点训练(原卷版+解析)

第四章三角形B卷压轴题考点训练1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．2．如图，中，点为的中点，的平分线与的中垂线交于点，连接，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，，则的长为_______．3．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________．4．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为_______________．5．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为________．6．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为___．7．如图，是等边三角形，点在边上（“点D不与重合），点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为边作作等边三角形，连接.（1）如图1，当的延长线与的延长线相交，且在直线的同侧时，过点作，交于点，求证：；（2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：；（3）如图3，当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想、、之间的等量关系，并说明理由.8．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）9．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N．（1）如图（1），若，，当绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM，MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．10．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．11．已知：为等边三角形，D为射线上一点，E为射线上一点，．(1)如图1，当点D为线段的中点，点E在的延长线上时，请直接写出、、之间的数量关系_________________________；(2)如图2，当点D为线段上任意一点，点E在的延长线上时，、、之间有何数量关系？请说明理由．(3)如图3，当点D在的延长线上，点E在线段上时，、、之间又有何数量关系？请说明理由．12．【问题情境】将一副直角三角尺和按图1所示的方式摆放，其中，，O是AB的中点，点D与点O重合，于点M，于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法：解：，理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线，∵∴CO是的平分线（依据1）∵，∴（依据2）(1)上述理由的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______；依据2：______．(2)你有与小丽不同的方法吗？请写出你的证明过程．(3)将图1中的沿着射线BA的方向平移至如图2的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线相交于点M，且，BC的延长线与DE相交于点N，连接OM，ON，如果，试判断线段OM，ON的数量关系和位置关系，并说明理由．13．在等腰中，，，点D在线段上，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．(1)依题意补全图1；(2)求证：；(3)点M为中点，射线交于点N，探究与的数量关系，并说明理由．14．阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．第四章三角形B卷压轴题考点训练1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【详解】解：连EF，GI，如图，∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．2．如图，中，点为的中点，的平分线与的中垂线交于点，连接，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，，则的长为_______．【答案】7.2【详解】连接AE、CE，如图：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，AD=CD，又∵BE平分∠MBC，EM⊥BM，EN⊥BC，∴EM=EN，∠M=∠ENC=90°，∴Rt△AME≌Rt△CNE（HL），∴AM=CN=2，同理可证，，，，故答案为：7.23．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________．【答案】2【详解】解：如图，延长BD到E，使DE=BD，连接AE，∵点D是AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案为：2．4．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为_______________．【答案】1【详解】解：在AE上截取EF=BE，连接CF，∵CE⊥AB，∴CE垂直平分BF，∴BC=FC，∴∠B=∠BFC，∵∠B=2∠BAC，∴∠BFC=2∠BAC，∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，∴∠ACF=∠BAC，∴AF=CF，过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，∵∠CAD=30°，∠N=90°，∴AC=2CN，∴AM=CN，∵∠ACD+∠BAC=60°，∴∠ACD=60°-∠BAC，∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，∴∠MAF=∠NCD，在△AFM和△CDN中，，∴△AFM≌△CDN（ASA），∴AF=CD，∵AB的长度比CD的长度多2，∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，∴BE=1，故答案为：1．5．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为________．【答案】【详解】证明：如图，过C作的延长线于点F，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴cm，∴cm．故答案为：36．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为___．【答案】6【详解】解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵点到直线的距离垂线段最短，∴，∴AC的最小值为6，故答案为：6．7．如图，是等边三角形，点在边上（“点D不与重合），点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为边作作等边三角形，连接.（1）如图1，当的延长线与的延长线相交，且在直线的同侧时，过点作，交于点，求证：；（2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：；（3）如图3，当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想、、之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）=+，理由见详解.【详解】（1）∵是等边三角形，，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴是等边三角形，∴DG=DC.∵是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，在∆GDE和∆CDF中，∵，∴∆GDE≅∆CDF(SAS)，∴；（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，∵是等边三角形，，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴是等边三角形，∴DG=DC.∵是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，在∆GDE和∆CDF中，∵，∴∆GDE≅∆CDF(SAS)，∴，∴（3）=+，理由如下：过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3，∵是等边三角形，，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，在∆GDE和∆CDF中，∵，∴∆GDE≅∆CDF(SAS)，∴=GC+CE=CD+CE.8．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）【答案】（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：如图1中．∵为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.9．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N．（1）如图（1），若，，当绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM，MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析；（3）补图见解析；；证明见解析．【详解】（1）．证明如下：如图，延长CB到E，使，连接DE．，．，．在和中，，，，．，，，．在和中，，，．，；（2）．证明如下：如图，延长CB到E，使，连接DE．，．，，．在和中，，，，．，，，，，，．在和中，，，．，；（3）补充完成题图，如图所示．．证明如下：如上图，在CB上截取BE=AM，连接DE．，，，．，．在和中，，，，．，，．在和中，，，．，．10．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见证明；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD，证明见详解．【详解】解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF∠BAD，∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE与△AFE中，，∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．11．已知：为等边三角形，D为射线上一点，E为射线上一点，．(1)如图1，当点D为线段的中点，点E在的延长线上时，请直接写出、、之间的数量关系_________________________；(2)如图2，当点D为线段上任意一点，点E在的延长线上时，、、之间有何数量关系？请说明理由．(3)如图3，当点D在的延长线上，点E在线段上时，、、之间又有何数量关系？请说明理由．【答案】(1)，见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【详解】（1）证明：如图1，∵是等边三角形，∴，∵点D为线段的中点，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：如图2，在上取，连接．∵，，∴为等边三角形，∴，，∵，即，∵，∴，∴，即，∵，，∴，即，在和，∴，∴，∴，∴；（3），理由如下，如图3，在上取，连接，，∵为等边三角形，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴．∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．12．【问题情境】将一副直角三角尺和按图1所示的方式摆放，其中，，O是AB的中点，点D与点O重合，于点M，于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法：解：，理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线，∵∴CO是的平分线（依据1）∵，∴（依据2）(1)上述理由的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______；依据2：______．(2)你有与小丽不同的方法吗？请写出你的证明过程．(3)将图1中的沿着射线BA的方向平移至如图2的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线相交于点M，且，BC的延长线与DE相交于点N，连接OM，ON，如果，试判断线段OM，ON的数量关系和位置关系，并说明理由．【答案】(1)依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），依据2为：角平分线上的点到角的两边距离相等．(2)见解析(3)

理由见解析【详解】（1）解：依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边