重难点02八种二次函数实际问题(原卷版+解析)2

重难点02八种二次函数实际问题能力拓展能力拓展题型一：图形问题一、单选题1．（2022·河北邢台·九年级期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（

）A．7 B．8 C．9 D．10二、解答题2．（2021·四川绵阳·二模）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.(1)求养殖房的最大面积.(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？3．（2021·河南洛阳·九年级期末）如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)已知点M的坐标为，过点M作，垂足为N，若Q为直线上一动点，过点Q作交抛物线于点P，设点P的横坐标为m．①若以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求m的值；②填空：连接，．则Q点的坐标为（

）．4．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．(1)BC的长为米（用含x的式子表示）；(2)求这个花园的面积最大值．5．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图为函数F1：的图象，若F1和F2的图象关于坐标原点O（0，0）对称，F1的顶点A关于点O的对称点为点B．(1)求F2的解析式；(2)在F1的图象和直线AB围成的封闭图形上，求平行于y轴的线段的长度的最大值；(3)若F＝在F的图象上是否存在点C，使∠ABC＝45°，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·江苏·九年级专题练习）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段AB的长为4cm，点C是线段AB上一动点（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x（cm），两正方形的面积和为变量S（cm2），其中0＜x＜4．(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为(2)根据（1）中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律（写出一个结论即可）．AC的长x（cm）…0.511.522.533.5…两正方形的面积和S（cm2）…12.51088.512.5…变化规律为：8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．题型二：图形运动问题一、单选题1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（

）A．B．C．D．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（

）A． B．C． D．3．（2022·山东济宁·二模）如图，和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（

）A． B．C． D．二、解答题4．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D．(1)求二次函数解析式和一次函数解析式；(2)已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标；(3)记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围．5．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图像经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式．(2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达式．(3)有一条动直线，直线在AO之间移动（包括A，O两端点），直线交抛物线于点Q，当△QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值．6．（2022·吉林吉林·一模）如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点A运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为．(1)当点和点重合时，______；(2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；(3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值．7．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A和点C的坐标分别为和(1)求抛物线的函数表达式；(2)将线段CB绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，求线段AD的长；(3)点M是抛物线上位于第一象限图象上的一动点，连接AM交BC于点N，连接BM，当时，请直接写出点M的横坐标的值．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知抛物线C1是抛物线C：y＝(x﹣2)2向上平移1个单位长度得到，抛物线C1的顶点为Q．(1)求抛物线C1的函数解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，①如图1，过点P作直线l平行于x轴，与抛物线C1相交于点A，设点A的横坐标为m（m＜2），点B与点P关于直线x＝m对称，点D在抛物线C上，求当m为何值时，四边形PQBD是平行四边形？②如图2，直线y＝x+1与抛物线C1交于E，F两点，当△PEF的周长最小时，求S△PEF的值．9．（2022·山东·武城县教育教学研究中心一模）已知：如图，抛物线与x轴交于点和点，，满足，与y轴正半轴交于点C，且．(1)求此抛物线的解析式，直接写出抛物线的顶点D的坐标．(2)连接AD、BD，若把△ABD绕点B顺时针旋转90°，点D到达点，是否落在直线BC上，并说明理由．(3)若把抛物线向上平移个单位，再向右平移n个单位，若平移后抛物线的顶点仍在△BOC内部，求n的取值范围．(4)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形．如果存在，请写出点P的坐标，不存在请说明理由．10．（2022·重庆一中九年级期中）如图1，已知抛物线经过不同的三个点，，（点A在点B的左边）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，当点A位于x轴的上方，过点A作交直线于点P，以AP，AB为邻边构造矩形PABQ．求该矩形周长的最小值，并求出此时点A的坐标；(3)如图3，点M是AB的中点，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到新的抛物线．设新抛物线的顶点为D．点N是平移后的新抛物线上一动点．当以D、M、N为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出所有点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标过程写出来．题型三：拱桥问题一、单选题1．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④二、填空题2．（2022·浙江金华·九年级期末）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为______m．3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米三、解答题4．（2022·江苏泰州·九年级期末）校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为6m．(1)把该桥孔看作一个二次函数的图像，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；(2)施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，图中每个立柱之间距离相等，请你计算模型中左侧第二根立柱（AB）的高．5．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．6．（2022·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．7．（2022·全国·九年级课时练习）跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底、相距20cm，头顶离地175cm，相距60cm的双手、离地均为80cm．点、、、、在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底、两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底、时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．8．（2022·河南开封·二模）如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．(1)请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．(2)该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）．试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．9．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：x（米）012345678y（米）01.7533.7543.7531.750(1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．题型四：销售问题一、填空题1．（2022·浙江·九年级专题练习）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．二、解答题2．（2022·湖南长沙·八年级期末）年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．(1)求该店“冰墩墩”销量月到月的月平均增长率；(2)该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？3．（2022·河南南阳·九年级期末）甲、乙两家水果店经销同一种水果，采取不同的降价措施增加销售额，提高利润．(1)甲水果店原售价每千克20元，连续两次降价后每千克12.8元，每次降价的百分率相同．求每次降价的百分率；(2)乙水果店原来每千克盈利6元，每天可售出60千克．经市场调查发现，若每千克降价0.5元，日销售量将增加10千克．在进货价不变的情况下，乙水果店决定采取适当的降价措施增加销售盈利．乙水果店降价多少元时，每天销售这种水果获利最多？最多可获利多少元？4．（2022·辽宁盘锦·模拟预测）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123…x每天的销售量（千克）101214…

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？5．（2022·浙江湖州·九年级期末）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．(1)试写出y与x符合的函数表达式．(2)若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大利润？最大利润为多少？6．（2022·湖南长沙·九年级期中）虾在稻中游，稻在虾田长．稻虾种养田采取的是“稻虾轮作”模式某县依托湖乡优势，推广稻虾田综合种养模式，打造了一条完整稻虾产业链，为推进乡村振兴奠定了坚实的基础．到2022年初，稻虾种养田面积已由2020年初的40万亩增长到67.6万亩．(1)如果这两年该县稻虾种养田面积的年平均增长率相同，求这个增长率；(2)4月份稻田小龙虾蜂拥上市，某商家以每千克12元的价格购进，计划以每千克30元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知日销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，如图所示．该商家想要获得最大利润，每千克应降价多少元？7．（2022·全国·九年级专题练习）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？题型五：投球问题一、单选题1．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m二、填空题2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，物体从点A抛出，物体的高度y(m)与飞行时间t(s)近似满足函数关系式y=−(t−3)2+5．（1）OA=______．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是________．三、解答题3．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度，点E到篮球框正下方的距离，篮球框的垂直高度为．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到）（参考数据：）4．（2022·浙江·九年级专题练习）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（是物体离起点的高度，是初速度，是重力系数，取，是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上拋出．(1)球抛出后经多少秒回到起点？(2)几秒后球离起点的高度达到？(3)球离起点的高度能达到吗？请说明理由．5．（2022·山东青岛·二模）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮并命中。若球在运动员头顶上方0.25m处出手，球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度为3.5m，以水平地面为x轴，球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的直角坐标系．(1)写出球离地面的高度y（m）和水平距离x（m）之间的函数关系式．(2)球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？(3)在平常训练时，为了提高运动员投篮准确度，在点A和篮筐B之间设立笔直的线绳，以测试抛出篮球的高低，球在投出和到达篮筐前，与线绳之间的高度差的最大值是多少米？6．（2022·江苏扬州·二模）图，某体育休闲中心的一处山坡的坡度为1∶2，山坡上A处的水平距离，A处有一根与垂直的立杆．这是投掷沙球的比赛场地，要求人站在立杆正前方的山坡下点O处投掷沙球，沙球超过立杆的高度即为获胜．在一次比赛中，小林投出的沙球运动路线看作一条抛物线，沙球出手时离地面，当飞行的最大高度为时，它的水平飞行距离为；(1)求该抛物线的表达式，并在网格图中，以O为原点建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的大致图像；(2)小林这一次投掷沙球能否获胜？请说明理由．7．（2022·河北石家庄·一模）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线．(1)直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在上，其横坐标为14，轴，，．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．8．（2022·浙江台州·二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…(1)根据表中数据预测足球落地时，s=m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．题型六：喷水问题一、单选题1．（2022·全国·九年级专题练习）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）．A．9m B．10m C．11m D．12m二、填空题2．（2022·山东枣庄·九年级期末）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．3．（2022·全国·九年级课时练习）各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_______．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）三、解答题4．（2022·全国·九年级专题练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．(1)若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．6．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．(2)求出水柱最高点P到地面的距离．(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．7．（2022·山东德州·九年级期末）“五福齐临地，吉祥庆云城”，庆云县为丰富人民群众的业余生活，斥巨资修建了各种大小型广场数座，其中在县中心广场上建有直径为12m，且中心矗立雕塑的大型圆水池，水池最外围有四个喷头，喷出水柱的形状为抛物线，在距水池中心2m处达到最大高度为4m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池的中心雕塑顶端汇合，(1)求中心雕塑的高度；(2)若距池中心1米处置一盏高2.8米的亮化灯，则喷水时亮化灯是否会阻碍喷头喷出的水柱．8．（2022·全国·九年级）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为．（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？题型七：增长率问题一、单选题1．（2022·浙江·九年级专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)22．（2021·江苏·九年级专题练习）某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（

）A． B．C． D．二、填空题3．（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．4．（2022·全国·九年级课时练习）某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为______．5．（2022·广东珠海·九年级期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是________________．三、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？7．（2022·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？8．（2022·全国·九年级课时练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．销售单价(元3.55.5销售量(袋280120（1）请求出与之间的函数关系式；（2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？题型八：其他问题一、单选题1．（2022·浙江杭州·九年级期末）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（

）A．4 B．5 C．7 D．9二、解答题2．（2022·浙江杭州·九年级期末）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动．该物体初始速度为v0，加速度为a，加速时间t秒后速度为vt，由加速度定义可知：vt＝v0＋at，整个加速期的平均速度为．若v0＝3米/秒，a＝1米/秒2(1)求5秒加速期的平均速度？(2)设匀加速直线运动的路程为s，求s关于t的函数表达式（匀加速直线运动的路程＝运动时间×平均速度）．3．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y=kx+b(k>0)，y=(m>0)，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？4．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．5．（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）某商品的成本（单位：百元）由包装费和生产费两部分组成．其中当原料数量（单位：千克）低于4千克时，包装费（单位：百元）与原料数量之间的关系式为；当原料数量不低于4千克时，包装费全免．生产费（单位：百元）与原料数量之间的关系式为：．(1)当原料数量时，该商品的成本为：__________（百元）；当原料数量时，该商品的成本为：___________（百元）；（直接用含的式子表示）(2)若，求原料数量为多少千克时，该商品的成本最少？最少是多少百元？(3)若当原料数量低于4千克时，有且仅有唯一正整数使得该商品的成本不高于2百元，直接写出的取值范围．6．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．7．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．(1)c的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．8．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y关于x的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？9．（2022·河北承德·二模）在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线，已知绳子最低点距离地面米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示．(1)求立柱AB的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；(3)若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的距离．重难点02八种二次函数实际问题能力拓展能力拓展题型一：图形问题一、单选题1．（2022·河北邢台·九年级期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．【详解】解：当y=14时，，解得，，∴A（，14），C（，14），∴AC=．故选：C．【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键二、解答题2．（2021·四川绵阳·二模）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.(1)求养殖房的最大面积.(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？【答案】(1)108平方米(2)5种购买方案.小鹅05101520小鸡8073665952【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．（1）解：由题意得：S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，∴养殖房的最大面积为108平方米；（2）设买小鸡a只，小鹅b只，则5a+7b＝400，且a≥2b，∴a＝＝80﹣≥2b，则b≤，且b≥0，又∵a，b都为非负整数，∴b可为0，5，10，15，20，此时a对应为80，73，66，59，52，∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．3．（2021·河南洛阳·九年级期末）如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)已知点M的坐标为，过点M作，垂足为N，若Q为直线上一动点，过点Q作交抛物线于点P，设点P的横坐标为m．①若以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求m的值；②填空：连接，．则Q点的坐标为（

）．【答案】(1)(2)①或－4；②．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①由以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形可得MN＝QP，过点P作PH∥y轴交AC于点H，证明△AMN和△PHQ是腰相等的等腰直角三角形，则可得PH＝AM＝4，求出直线AC的解析式，可得P（m，），H（m，m＋6），根据PH＝4列方程求解即可；②连接MQ，CM，根据三角形外角的性质结合题意求出∠QMC＝∠MCA，可得QC＝QM，设点Q（x，x＋6），利用两点间距离公式列式求出x即可．（1）解：将点，，代入得：，解得：，故抛物线的解析式为：；（2）（2）①∵，，∴MN∥QP，∵以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴MN＝QP，∵，，∴OA＝6，OC＝6，∴△AOC是等腰直角三角形，即∠OAC＝∠ACO＝45°，∵，MN⊥AC，∴△AMN是等腰直角三角形，AM＝4，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则∠PHC＝∠ACO＝45°，∴△PHQ是等腰直角三角形，∴QH＝PQ＝MN＝AN，∴PH＝AM＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx＋6，代入A（－6，0）得：－6k＋6＝0，解得：k＝1，∴直线AC的解析式为：y＝x＋6，∵点P的横坐标为m，∴P（m，），H（m，m＋6），∴PH＝，解得：或－4；②如图，连接MQ，CM，∵∠MQN＝∠MCA＋∠QMC，，∴∠QMC＝∠MCA，∴QC＝QM，设点Q（x，x＋6），∵M（－2，0），C（0，6），∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形外角的性质，等角对等边以及勾股定理的应用等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，灵活运用各性质及数形结合的数学思想是解题的关键．4．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．(1)BC的长为米（用含x的式子表示）；(2)求这个花园的面积最大值．【答案】(1)（40-2x）(2)200平方米【分析】（1）由AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米可得答案；（2）根据矩形的面积公式得出y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，再利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由题意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米，所以BC的长为（40-2x）米，故答案为：（40-2x）；(2)解：设这个花园的面积为y平方米，由题意得：y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，∵-2＜0，∴当x=10时，y取得最大值，最大值为200，答：这个花园的面积最大值为200平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．5．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图为函数F1：的图象，若F1和F2的图象关于坐标原点O（0，0）对称，F1的顶点A关于点O的对称点为点B．(1)求F2的解析式；(2)在F1的图象和直线AB围成的封闭图形上，求平行于y轴的线段的长度的最大值；(3)若F＝在F的图象上是否存在点C，使∠ABC＝45°，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)yx2﹣x(2)2(3)存在C点，符合条件的C点坐标为（，）或（7，16）【分析】（1）设F1与x轴的交点为C和D，求出C点和D点坐标，然后求出C点和D点关于原点的对称点C'和D'，再求出B点的坐标，最后用待定系数法求出F2的解析式即可；（2）设AB上一点M，过M作y轴的平行线MN，交F1于点N，求MN的最大值即可；（3）分点C在F1图象段和在F2图象段两种情况分别求出C点的坐标即可．(1)设F1与x轴的交点为C和D，当（x+1）2+2＝0时，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴C（1，0），D（﹣3，0），∴C点关于原点的对称点C'（﹣1，0），D点关于原点的对称点D'（3，0），∵A（﹣1，2），∴A点关于原点的对称点B（1，﹣2），设抛物线F2的解析式为y＝ax2+bx+c，代入B点，C'点，D'点坐标得，，解得，∴F2的解析式为yx2﹣x；(2)设AB上一点M，过M作y轴的平行线MN，交F1于点N，设直线AB的解析式为y＝sx，代入A点坐标得s＝﹣2∴直线AB的解析式为y＝﹣2x，设M（m，﹣2m），则N（m，（m+1）2+2），∴MN（m+1）2+2﹣（﹣2m）m2+m（m﹣1）2+2，∴当m＝1时，MN有最大值为2，即平行于y轴的线段的长度的最大值为2；(3)存在C点，分C点在F1图象段和在F2图象段两种情况：①当C点在F1图象段时，作线段AB的垂直平分线PQ，且OP＝OB＝OQ，∴Q（2，1），P（﹣2，﹣1），连接PB并延长交F于点C，连接BQ并延长与F交于点C1设直线PB的解析式为y＝rx+t，∴，解得，即直线PB的解析式为yx，∴，解得（舍去），∴此时C（，），②当C点在F2图象段时，同理可得直线BQ的解析式为y＝3x﹣5，∴，解得（舍去），∴此时C（7，16），综上，符合条件的C点坐标为（，）或（7，16）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质是解题的关键．6．（2022·江苏·九年级专题练习）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)x的值为2m；(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而减少，∴当x=时，S有最大值，最大值为，即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段AB的长为4cm，点C是线段AB上一动点（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x（cm），两正方形的面积和为变量S（cm2），其中0＜x＜4．(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为(2)根据（1）中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律（写出一个结论即可）．AC的长x（cm）…0.511.522.533.5…两正方形的面积和S（cm2）…12.51088.512.5…变化规律为：【答案】(1)S=2x2-8x+16(2)8.5，10，当0＜x＜2时，S随x的增大而减小．【分析】（1）分别用x表示出两个正方形的面积，再写出此题结果；（2）按照（1）结果代入x的值进行计算，并找出其中的变化规律．(1)由题意得，S=x2-（4-x）2，整理得S=2x2-8x+16，故答案为：S=2x2-8x+16；(2)当x=1.5时，S=2×1.52-8×1.5+16=2×2.25-12+16=4.5-12+16=8.5，当x=3时，S=2×32-8×3+16=2×9-24+16=10，由表中数据可得，当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，故答案为：8.5，10，当0＜x＜2时，S随x的增大而减小．【点睛】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算、归纳．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．【答案】(1)；(2)(3)点Q的横坐标为，，，1．(4)G(-4+，0)．【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式求解即可；（2）如图，连接，令，求得点B的坐标，再根据各点的坐标确定OC、OB的长，然后再根据求解即可；（3）如图，作轴，交直线于点F，可得，即，进一步说明当最大时，最大．设，则，根据线段的核查运算求得PF的最大值；设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，∴，再分、、三种情况解答即可．(4)作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌CRH，△ITM≌△HWI.根据∆GLC≌∆CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT=IW，构建方程求得n的值．(1)解：∵抛物线经过点，∴解得∴该抛物线的函数表达式为．(2)解：如图，连接，令，∴．∴∵，∴．∴．∴．(3)解：如图1所示，作轴，交直线于点F，则．∴．∵是定值，∴当最大时，最大．设，∵，∴．设，则．∴．∴当时，取得最大值，此时．设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，∴，下面分三类情况讨论：若，如图2所示，过点P作轴于点，作交的延长线于点，则．∴．∴．∵，∴．∴．若，如图3所示，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，．∴．∴．∵，∴．∴．若，如图4所示，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则．∴．∴．∵，∴．∴．综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，，，1．图1

图2

图3

图4(4)如图，作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌∆CRH，△ITM≌△HWI.RH=OG=-n，CR=GL=OC=3，MT=IW，G(n，0)，H(3，3+n)，+n+3+3)∵TM=IM∴(n+3)2+2(n+3)-12=0，∴n1=-4+，n2=-4-(舍去)∴G(-4+，0)．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．题型二：图形运动问题一、单选题1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3两部分讨论，当0≤x≤2时，得到，由于当2＜x≤3时，四个选项图象相同，根据二次函数图象与性质即可求解．【详解】解：如图，当0≤x≤2时，作QD⊥BP，垂足为D，由题意得△BPQ是等边三角形，∴BD=BP=x，∴QD，∴，∴当0≤x≤2时，y是x的二次函数，且开口向上，对称轴为y轴，由于当2＜x≤3时，图象相同，∴A选项符合条件．故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，理解题意，分类讨论，得到y与x的函数关系式进而确定图象是解题关键．3．（2022·山东济宁·二模）如图，和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出A点之前和之后的面积表达式，发现都是二次函数，且之前是开口向上的二次函数，之后是开口向下的二次函数，再结合这两个函数图像得出答案．【详解】在A点之前（），FG扫过的三角形面积为：=在A点之后（），FG扫过的面积为：所以它的函数图形应该是：t在0~时，，a＞0，所以图像是开口向上的抛物线；t在~5时，，所以图像是开口向下的抛物线．故选A．【点睛】本题考查二次函数在求面积中的应用，根据条件写出各个阶段的面积表达式即可大致判断图像得出正确选项．二、解答题4．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D．(1)求二次函数解析式和一次函数解析式；(2)已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标；(3)记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围．【答案】(1)，(2)(-2，3)(3)，【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，进而可以求出点B的坐标，代入点B求一次函数解析式；（2）利用二次函数对称轴，可求出该二次函数的对称轴，根据函数的对称性即可求出点F的坐标；（3）根据一次函数平移的规律口诀（上加下减相对于b，左加右减相对于x），直线BE向上平移，当经过点A时为最小平移情况；当经过C时为最大平移情况；当经过抛物线顶点时即相切，恰有一个公共点，进而求出h的取值范围．（1）解：∵二次函数y=ax2-2x＋c经过点A(-3，0)，C(0，3)，则解得：∴二次函数解析式为∴把y=0代入即解得：或-3∴点B的坐标为（1，0）代入一次函数即解得：∴一次函数解析式为；（2）解：由题意得：二次函数的对称轴为∵点C与点F关于关于抛物线的对称轴对称∴点F的坐标为(-2，3)；（3）解：由题知，由函数平移规律可得：①当直线BE不与抛物线相切时，当一次函教向上平移h个单位后，新函数为当新函数经过点A时，为最小平移情况代入A(-3，0)得，解得：；当新函数经过点C时，为最大平移情况代入C(0，3)得，解得：∴h的取值范围为；②当直线BE与抛物线相切时，方程，即有两个相等的实数根∴△=0即解得：综上所述：h的取值范围为，．【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，解二元一次方程等知识，综合性强．解题的关键是平移后一次函数的图象与二次函数交点的讨论．5．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图像经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式．(2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达式．(3)有一条动直线，直线在AO之间移动（包括A，O两端点），直线交抛物线于点Q，当△QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A、点B坐标，将A，B点代入中，求b，c，即可求出抛物线解析式；（2）过点M作轴交AB于点P，故P点坐标为（m，），M点坐标为（m，），即可表示出MP的长，利用面积的和差即可得到答案，△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面积；（3）根据题意可知Q点横坐标为，由（2）可知，，再根据△QAB的面积是△QAO面积的2倍，得．即可求得a值．(1)解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，∴点A为（－3，0），点B为（0，6）．将A，B点代入中，得，解得故抛物线表达式为．(2)如图，过点M作轴交AB于点P，故P点坐标为（m，），M点坐标为（m，），∴．∵△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面积，∴．(3)根据题意可知Q点横坐标为，由（2）可知，∵△QAB的面积是△QAO面积的2倍，∴解得（舍）或或．【点睛】本题主要考查的二次函数的综合应用、解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式，用含m的式子表示出MP的长是解题的关键．6．（2022·吉林吉林·一模）如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点A运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为．(1)当点和点重合时，______；(2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；(3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值．【答案】(1)(2)当时，；当时，；当时，(3)【分析】（1）根据题意，求出，当时即可得出结论；（2）根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时，作图求解即可得到结论；（3）在（2）的分类讨论基础上，利用勾股定理求解即可．(1)解：在中，，，，，在上的速度为每秒4个单位长度，点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点A运动，设运动时间为秒，则，在中，，，，则，当点和点重合时，，即，解得，故答案为：；(2)解：如图①，当时，在中，，，∴，，∴，∴；如图②，当时，在中，，，∴，∵，∴，如图③，当时，在中，，，∴，∴；(3)解：如图①，当时，由（1）（2）知，，，取中点，连接，，，，开口向上，对称轴为，当时，有最小值，为；如图②，当时，由（1）（2）知，，，取中点，连接，，，，开口向上，对称轴为，，当时，有最小值，为；如图③，当时，由（1）（2）知，，取中点，连接，，开口向上，对称轴为，，当时，有最小值，为；，最小值为．【点睛】本题考查几何动点问题综合，涉及到特殊角直角三角形三边关系、勾股定理、矩形的性质，中点性质、二次函数性质、分类讨论思想等，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键．7．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A和点C的坐标分别为和(1)求抛物线的函数表达式；(2)将线段CB绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，求线段AD的长；(3)点M是抛物线上位于第一象限图象上的一动点，连接AM交BC于点N，连接BM，当时，请直接写出点M的横坐标的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）把A（-1，0），C（0，2）代入，求出a，c的值即可；（2）先求出点B的坐标，过点D作DE⊥y轴于点E，证明Rt△CDE≌Rt△BOC可求出点D的坐标，再根据两点间距离公式求出AD即可；（3）过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NG⊥x轴于点G，根据得AN=4MN，即AN:AM=4:5，运用待定系数法求出直线BC的解析式，设M（m，），N（n，），证明，得，代入相关数据求解即可．(1)∵抛物线经过点A（-1，0），C（0，2）∴解得，∴抛物线的解析式为：(2)对于，当y=0时，则解得，∴BO=4，B（4，0）∵C（0，2）∴OC=2过点D作DE⊥y轴于点E，如图，∴∵∴∵∴又CD=CB∴△CDE≌△BOC∴CE=BO=4，DE=CO=2∵CE=CO+OE∴OE=2∴D(-2,-2)又A(-1,0)∴(3)设直线BC的解析式为，把点B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为设M（m，），N（n，），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NG⊥x轴于点G，如图，则有：AG=1+n，AF=1+m∵∴AN=4MN，即AN:AM=4:5，由MF⊥x轴，NG⊥x轴得NG//MF∴∴∴①②由①得，③把③代入②得，整理得，解得：∵∴∴点M的横坐标为【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知抛物线C1是抛物线C：y＝(x﹣2)2向上平移1个单位长度得到，抛物线C1的顶点为Q．(1)求抛物线C1的函数解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，①如图1，过点P作直线l平行于x轴，与抛物线C1相交于点A，设点A的横坐标为m（m＜2），点B与点P关于直线x＝m对称，点D在抛物线C上，求当m为何值时，四边形PQBD是平行四边形？②如图2，直线y＝x+1与抛物线C1交于E，F两点，当△PEF的周长最小时，求S△PEF的值．【答案】(1)抛物线C1的函数解析式为：y＝(x﹣2)2+1；(2)①m＝；②S△PEF【分析】（1）根据平移性质即可得出抛物线C1的函数解析式；（2）①根据题意得：A（m，m2﹣4m+5），Q（2，1），由轴对称可得：B（2m，m2﹣4m+5），P（0，m2﹣4m+5），再根据平移即可得出D（2m﹣2，2m2﹣8m+9），将点D的坐标代入抛物线C的解析式，即可求得答案；②设直线y＝x+1与y轴交于点H，则H（0，1），通过联立方程组可得：E（1，2），F（4，5），如图2，作点E关于y轴的对称点E′（﹣1，2），连接E′F交y轴于点P，利用待定系数法可求得直线E′F的解析式为yx，进而得出P（0，），再利用S△PEF＝S△PFH﹣S△PEH即可求得答案．(1)解：∵抛物线C1是抛物线C：y＝（x﹣2）2向上平移1个单位长度得到，∴抛物线C1的函数解析式为：y＝（x﹣2）2+1；(2)①根据题意得：A（m，m2﹣4m+5），Q（2，1），∵点B与点P关于直线x＝m对称，∴B（2m，m2﹣4m+5），P（0，m2﹣4m+5），∵四边形PQBD是平行四边形，∴PD∥QB，PD＝QB，∴QB向左平移2个单位，向上平移（m2﹣4m+5﹣1）个单位得到PD，∴D（2m﹣2，2m2﹣8m+9），又∵点D在在抛物线C上，∴（2m﹣2﹣2）2＝2m2﹣8m+9，解得：m＝2或m＝2，∵m＜2，∴m＝2；②设直线y＝x+1与y轴交于点H，则H（0，1），∵直线y＝x+1与抛物线C1交于E，F两点，∴，解得：，，∴E（1，2），F（4，5），如图2，作点E关于y轴的对称点E′（﹣1，2），连接E′F交y轴于点P，设直线E′F的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线E′F的解析式为yx，令x＝0，得y，∴P（0，），∴S△PEF＝S△PFH﹣S△PEH（1）×4（1）×1．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、平移变换的性质，运用轴对称求三角形周长最小值等相关知识，难度适中．9．（2022·山东·武城县教育教学研究中心一模）已知：如图，抛物线与x轴交于点和点，，满足，与y轴正半轴交于点C，且．(1)求此抛物线的解析式，直接写出抛物线的顶点D的坐标．(2)连接AD、BD，若把△ABD绕点B顺时针旋转90°，点D到达点，是否落在直线BC上，并说明理由．(3)若把抛物线向上平移个单位，再向右平移n个单位，若平移后抛物线的顶点仍在△BOC内部，求n的取值范围．(4)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形．如果存在，请写出点P的坐标，不存在请说明理由．【答案】(1)，D（2，-1）(2)在，理由见解析(3)(4)存在，P1(2，3)，，，P4(2，2)【分析】（1）根据根与系数的关系求出关系式即可；（2）求出旋转后D1的坐标，BC的解析式，代入即可验证；（3）求出移动后有二次函数的表达式，进行判断求出n的取值范围；（3）分析出满足题意的所有情况并求出P的纵坐标值即可．(1)由题意得，x1，x2为方程的两个根∴x1＋x2＝4∵2x1＋x2＝5∴x1＝1，x2＝3∴A（1，0），B（3，0）∵OB＝OC∴C（0，3）代入点C坐标到函数解析式得c＝3，代入点A坐标到函数解析式得即，a＝1∴，D（2，-1）；(2)D1落在直线BC上由旋转得D1（2，1）设BC所在直线的函数解析式为代入点B、C坐标得解得：∴∴函数解析式经过点D1∴D1落在直线BC上(3)将变形得函数解析式平移之后得则顶点坐标为∵BC所在直线的函数解析式为∴当时，∴当时，顶点仍在内部∴；(4)由题意可设P（2，m），如图当时，；P1（2，）当时，；P2（2，3）当时，；P3（2，2）当时，；P4（2，）【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用、一次函数、等腰三角形的性质，正确求出二次函数表达式是解题的关键．10．（2022·重庆一中九年级期中）如图1，已知抛物线经过不同的三个点，，（点A在点B的左边）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，当点A位于x轴的上方，过点A作交直线于点P，以AP，AB为邻边构造矩形P