专题04点与圆之间的位置关系(原卷版+解析)

专题04点与圆之间的位置关系知识梳理：1.点与圆的位置关系d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r2、圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．3、三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．点与圆之间的位置关系例题讲解类型一：直接判断点与圆的位置关系【例1】若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定【例2】若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为(5，12)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是()A.在⊙P内B.在⊙P上C.在⊙P外D.无法确定【例3】在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_____；点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_______．【例4】⊙O的半径为2，圆心到点P的距离为d，且d是方程的根，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内部B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外部D．不能确定【例5】矩形ABCD中，AB＝10，BC＝42，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内 C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B、C均在⊙P内题型二：已知点与圆的位置关系确定半径等条件【例1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P．（1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围；（2）当点M在圆P上时，求CD的长；（3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围．【例2】在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为__________．【例3】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是．【例4】如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜10 B．2＜rC．10＜r＜13 D．【例5】在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2【例6】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是()A．3＜r＜4 B．3＜r＜5C．3≤r≤5 D．r＞4类型三：点到圆上的最值问题【例1】一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________【例2】已知点P到圆O的最小距离为a，最大距离为b，则圆O的半径为__．或【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为．【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．【例5】在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，求PF2＋PG2的最小值．类型四：利用三角形外接圆性质确定圆心【例1】如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为____．解：如图【例2】如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是____．（5，2）【例3】△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【例4】当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为．【例5】平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．【例6】如图，在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(－6，－4)，C(2，－4)．(1)求△ABC的外接圆的圆心M的坐标；(2)求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．类型五：计算三角形外接圆半径和相关度数问题【例1】小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.【例2】如图，△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A．110° B．125° C．135° D．140°【例3】一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．【例4】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π【例5】如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点（0，3）（1）求∠DAO的度数；（2）求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．【例6】在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为．．．类型六：外接圆相关知识点综合大题【例1】如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论.【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β.(1)当β＝36°时，求α的度数；(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.【例3】如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为，CD的长为．120°；．【例4】如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）课后练习题：1、已知⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．不能确定2、⊙O的半径是R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或在⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或在⊙O上3、P为⊙O所在平面一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为5，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．1或4D．2或84、已知⊙O和直线l，过圆心O作OP⊥l，P为垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，若⊙O的半径为5，OP＝4，判断A，B，C三点与⊙O的位置关系．5、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④6、如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为．8．已知直角三角形的两直角边的长分别为5cm和2cm，则它的外接圆半径为cm．9、在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内时，实数a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＞8 C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞810、在直角坐标系中，M（2，0），⊙M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与⊙M的位置关系．点P在圆外．11、如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm．（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？12、如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．（1）请完成以下操作：①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为；点（6，﹣2）在⊙D；（填“上”、“内”、“外”）∠ADC的度数为．专题04点与圆之间的位置关系知识梳理：1.点与圆的位置关系d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r2、圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．3、三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．点与圆之间的位置关系例题讲解类型一：直接判断点与圆的位置关系【例1】若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定【答案】C【解析】根据点与圆的位置关系d=4，r=5，d＜r，所以点在圆内。【例2】若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为(5，12)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是()A.在⊙P内B.在⊙P上C.在⊙P外D.无法确定【答案】B【解析】根据坐标公式结合勾股定理，OP=13，d=r，所以点在圆上。【例3】在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_____；点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_______．【答案】上；外；上【解析】∵⊙C的半径为2cm，而cm，cm，∴点A在⊙C上；点B在⊙C外；∵点C到AB的中点的距离等于，∴点C在以AB为直径的⊙O上．【例4】⊙O的半径为2，圆心到点P的距离为d，且d是方程的根，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内部B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外部D．不能确定【答案】B【解析】解方程的两根，得：x=4或﹣2所以d=4或﹣2(舍去)，当R=4，d=4时，点P在⊙O上【例5】矩形ABCD中，AB＝10，BC＝42，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内 C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B、C均在⊙P内【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝42，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝42，∴DP=AD在Rt△PBC中，CP=BP2+BC2=64+32=46，故选：A．题型二：已知点与圆的位置关系确定半径等条件【例1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P．（1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围；（2）当点M在圆P上时，求CD的长；（3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）取CD的中点P，连接MP，∵M为AB的中点，∴MP是梯形ABCD的中位线．∵，，∴，∵点M在圆P外，∴，即，∴；（2）∵点M在圆P上，∴，即，∴；（3）∵点M在圆P内，∴，即，∴．【例2】在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为__________【答案】【解析】如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，则，点B在圆C外，则，因而圆C半径r的取值范围为．【例3】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是．【答案】故答案为3＜r＜6；【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，∴AB＝6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，点B在圆A外，则r＜6，因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．【例4】如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜10 B．2＜rC．10＜r＜13 D．【答案】D．【解析】解：给各点标上字母，如图所示．∵AB=12+22AE=所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，这三个点只能为B、C、D点，∴5【例5】在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA=3OB=3∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴13＜∴r＝4符合要求．故选：B．【例6】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是()A．3＜r＜4 B．3＜r＜5C．3≤r≤5 D．r＞4【答案】B【解析】先由勾股定理算出BD=5，要确定点与圆的位置关系，主要根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断，所以保证A点在圆内，B点在圆外就满足题目条件，故选择B类型三：点到圆上的最值问题【例1】一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________【答案】3cm或8cm【解析】当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm．【例2】已知点P到圆O的最小距离为a，最大距离为b，则圆O的半径为__．【答案】或【解析】解：若点P在圆O外，则最大距离为PO﹢r（r为圆的半径），最小距离为PO﹣r，即PO﹢r=a，PO﹣r=b，相减得；若点P在圆O内，则最大距离为PO﹢r（r为圆的半径），最小距离为r﹣PO，即PO﹢r=a，r﹣PO=b，相加得.【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为．【答案】2【解答】解：如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∵AN＝NC，∴BN=12AC=52，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴52−12≤BE≤【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．【答案】7【解析】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN=1∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN=12AD=2，∴【例5】在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，求PF2＋PG2的最小值．【答案】10【解析】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连结MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝eq\f(1,2)DE＝2，∴NP＝MN－MP＝1，∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10，∴PF2＋PG2的最小值为10.类型四：利用三角形外接圆性质确定圆心【例1】如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为____．【答案】5【解析】解：如图分别作AB⊥BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则圆O即为过A、B、C三点的外接圆，由图可知：圆O还经过点D、E、F、G、H这5个格点【例2】如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是____．【答案】（5，2）【解析】解：作线段BC的垂直平分线，作AB的垂直平分线两条直线相交于点D∴D的坐标为（5，2）【例3】△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】A【解析】若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形；若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形；若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边．【例4】当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为．【答案】n≠﹣8．【解析】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，【例5】平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．【答案】不能【解析】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．【例6】如图，在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(－6，－4)，C(2，－4)．(1)求△ABC的外接圆的圆心M的坐标；(2)求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．【答案】（1）圆心M的坐标为(－2，－1)（2）4eq\r(6).【解析】(1)∵B(－6，－4)，C(2，－4)，∴线段BC的垂直平分线是直线x＝－2.∵A(2，2)，C(2，－4)，∴线段AC的垂直平分线是直线y＝－1，∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为(－2，－1)．(2)连接DM，过点M作MN⊥DE于N，则MN＝1.由题意得AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝10，易知DM＝eq\f(1,2)AB＝5，∴DN＝eq\r(MD2－MN2)＝2eq\r(6)，由垂径定理得DE＝2DN＝4eq\r(6).类型五：计算三角形外接圆半径和相关度数问题【例1】小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.【答案】（1）见解析（2）25π【解析】解：(1)用尺规作出△ABC中任意两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置.图略.(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝10米.∴△ABC外接圆的半径为5米.∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.【例2】如图，△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A．110° B．125° C．135° D．140°【答案】D【解析】解：∵△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠A＝140°【例3】一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．【答案】4或5【解析】解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，①当直角边分别为3，4时，斜边为：＝5，此时直角三角形外接圆的直径为5，②当直角边为3，斜边为4时，此时直角三角形外接圆直径为4．故答案为4或5．【例4】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π【答案】D【解析】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．【例5】如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点（0，3）（1）求∠DAO的度数；（2）求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．【答案】（1）30°（2）9π．【解析】解：（1）∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠AOD＝90°，∴∠DAO＝30°．（2）∵D的坐标是（0，3），则OD＝3，在直角△AOD中，OA＝OD•tan∠DAO＝3，AD＝2OD＝6，∴A的坐标是（3，0），△AOB外接圆的面积是9π．【例6】在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为．【答案】．【解析】解：如图以AB为边向外作等边三角形ABK，作△ABK的外接圆⊙O，连接OA，OB，过点O作OJ⊥AB于J，过点B作BH⊥AC于H．∵△ABK是等边三角形，∴∠K＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠K+∠APB＝180°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠C＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠PAB+∠ABP＝∠PAB+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠ABD，∴△BAD≌△ACE（ASA），∴AD＝EC，∵AC＝BC，∴BE＝CD＝6，∵S△BCD＝•CD•BH＝12，∴BH＝4，∴AB＝8，∵OA＝OB，OJ⊥AB，∴AJ＝JB＝4，∵∠OAB＝30°，∴OA＝，∴△APB的外接圆的半径为．类型六：外接圆相关知识点综合大题【例1】如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE.又∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE(SAS).(2)四边形BECD是菱形.证明：∵△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴AD＝BD＝CD.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD.∴四边形BECD是菱形.【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β.(1)当β＝36°时，求α的度数；(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.【答案】（1）α＝54°（2）α＋β＝90°.【解析】解：(1)连结OB，则OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠C＝36°，∴∠AOB＝72°.∴∠OAB＝eq\f(1,2)×(180°－∠AOB)＝54°，即α＝54°.(2)α与β之间的关系是α＋β＝90°.证明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠AOB＝180°－2α.∵∠AOB＝2β，∴180°－2α＝2β.∴α＋β＝90°.【例3】如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为，CD的长为．【答案】120°；．【解析】解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，∵AE为直径，∴∠ACE＝∠ABE＝90°，∵点D是△ABC高线的交点，∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，∴∠CFB＝∠CGA＝90°，∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠ADB＝∠FDG＝120°，∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，∴CE∥DB，CD∥EB，∴四边形CDBE为平行四边形，∴CD＝BE，∵＝，∴∠ACB＝∠AEB＝60°，∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ABE中，BE＝，∴CD＝BE＝．【例4】如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）【答案】见解析【解析】解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3，∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为；（3）法一：过O作OH⊥AD于H，如图：∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，∵F为DE的中点，∴CF＝DF＝DE＝a，∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝a+b，∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，∵AO＝OB，∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，在Rt△OHF中，FO＝＝b，∴CF+FO＝a+b．法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH为等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝b，∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F为AH中点，∵O为AB中点，∴FO＝BD＝b，∴CF+FO＝a+b．课后练习题：1、已知⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．不能确定【答案】见解析【解析】解：∵圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4）∴∵⊙A半径为5∴点P与圆心的距离等于圆的半径∴点P在⊙A上2、⊙O的半径是R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或在⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或在⊙O上【答案】D【解析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断，3、P为⊙O所在平面一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为5，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．1或4D．2或8【答案】C【解析】解：①点P在圆内；如图，∵AP=3，BP=5，∴AB=8，∴OA=4；②点P在圆外；如图，∵AP=3，BP=5，∴AB=2，∴OA=1．4、已知⊙O和直线l，过圆心O作OP⊥l，P为垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，若⊙O的半径为5，OP＝4，判断A，B，C三点与⊙O的位置关系．【答案】见解析【解析】解：∵OP⊥l，OP＝4，r＝5，∴Rt△PAO中，PA＝2，OA＝eq\r(22＋42)＝eq\r(20)＜5∴点A在⊙O内部；在Rt△BPO中，PB＝3，OB＝eq\r(32＋42)＝5，∴点B在⊙O上；在Rt△POC中，PC＝4，OC＝eq\r(42＋42)＝eq\r(32)＞5，∴点C在⊙O外．5、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A．【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平