2023学年二轮复习解答题专题四十六：与运动问题有关的类比探究综合题(原卷版+解析)

2023学年二轮复习解答题专题四十六：与运动问题有关的类比探究综合题典例分析例.（2022金华中考）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形．（1）如图1，点G在上．求证：．（2）若，当过中点时，求的长．（3）已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？专题过关1.（2022长春中考）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．（1）点D到边的距离为__________；（2）用含t的代数式表示线段的长；（3）连结，当线段最短时，求的面积；（4）当M、、C三点共线时，直接写出t的值．2.（2022衡阳中考）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．（1）当点与点重合时，求的值；（2）当为何值时，与全等；（3）求与的函数关系式；（4）以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．3.（2022绵阳中考）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．4.（2022吉林中考）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．（1）当点在边上时，的长为；（用含的代数式表示）（2）当点落在边上时，求的值；（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．5.（2022青岛中考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：（1）当时，求t的值；（2）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2023学年二轮复习解答题专题四十六：与运动问题有关的类比探究综合题典例分析例.（2022金华中考）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形．（1）如图1，点G在上．求证：．（2）若，当过中点时，求的长．（3）已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？【答案】（1）见解析（2）或5（3）或或或【解析】【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；（2）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可；（3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，点E在线段上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可．【小问1详解】证明：如图1，∵四边形是菱形，∴，∴．∵FGBC，∴，∴，∴△AFG是等腰三角形，∴．【小问2详解】解：记中点为点O．①当点E在上时，如图2，过点A作于点M，∵中，，∴．∴，∵，∴，∴，∴．②当点E在上时，如图3，过点A作于点N．同理，，，∴．∴或5．【小问3详解】解：过点A作于点M，作于点N．①当点E在线段上时，．设，则，ⅰ）若点H在点C的左侧，，即，如图4，．∵，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的根，∴．∵，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的根，∴．ⅱ）若点H在点C的右侧，，即，如图5，．∵，∴，∴，∴，此方程无解．∵，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的根，∴．②当点E在线段上时，，如图6，．∴．∵，∴，∴，∴，此方程无解．∵，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的根，∵，∴不合题意，舍去；③当点E在线段上时，，如图7，过点C作于点J，在中，．，∴，∴，∵，∴，符合题意，此时，．④当点E在线段上时，，∵，∴与不相似．综上所述，s满足的条件为：或或或．【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．专题过关1.（2022长春中考）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．（1）点D到边的距离为__________；（2）用含t的代数式表示线段的长；（3）连结，当线段最短时，求的面积；（4）当M、、C三点共线时，直接写出t的值．【答案】（1）3（2）当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；（3）（4）或【解析】【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．【小问1详解】解：如图，连接DM，∵AB=4，，点M为边的中点，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即点D到边的距离为3；故答案为：3【小问2详解】解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，；当1＜t≤2时，点P在BD边上，；综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；【小问3详解】解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，∵作点A关于直线的对称点，∴A′M=AM=2，∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，∴，根据题意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；【小问4详解】解：如图，当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上，连接AA′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则AA′⊥PM，∵AB为直径，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如图，当点（）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，，过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB于点K，过点P作PT⊥AB于点T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵点H是的中点，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵MT+BT=BM=2，∴，∴，解得：；综上所述，t的值为或．【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．2.（2022衡阳中考）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．（1）当点与点重合时，求的值；（2）当为何值时，与全等；（3）求与的函数关系式；（4）以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．【答案】（1）（2）或（3）（4）【解析】【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可；（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；（3）利用面积公式计算即可，需要根据M在B点左边和右边分类讨论；（4）先确定E点的运动轨迹是一条直线，再根据求点运动路径的长．【小问1详解】与重合时，∵，∴，∴.【小问2详解】①当时，∵，∴，∵，∴，∴，∴.②当，∵，∴，∵，∴，∴，∴.∴或.【小问3详解】①当时，，∴，∴.②当时，∵，，∴，∴，∴.【小问4详解】连接.∵为正三角形，∴，在Rt△APE中，，∴为定值.∴的运动轨迹为直线，，当时，当时，∴的运动路径长为.【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．3.（2022绵阳中考）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．【答案】（1）；（2）y关于x的函数解析式为；当时，y的最大值为；（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析【解析】【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得，可得，根据题意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当时，E点在BD上，F点在AB上；当时，点E、F均在BD上，即可求解；（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解．【小问1详解】解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；【小问2详解】解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如图，过点E作交于H，∴，∴；∴当x＞0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当时，E点在BD上，F点在AB上，如图，过点E作交于N，过点D作交于M，则EN∥DM，根据题意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此时该函数图象的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，此时当x=2时，y有最大值3；当时，点E、F均在BD上，过点E作交于Q，过点F作交于P，过点D作DM⊥AB于点M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此时y随x的增大而减小，此时当时，y有最大值；综上所述：y关于x的函数解析式为当时，y最大值为；【小问3详解】解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：连接DH，如图，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此时，∵M是DF的中点，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．4.（2022吉林中考）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．（1）当点在边上时，的长为；（用含的代数式表示）（2）当点落在边上时，求的值；（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】（1）2x（2）1（3）【解析】【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．小问1详解】当Q点AC上时，∵∠A=30°，∠APQ=120°，∴∠AQP=30°，∴∠A=∠AQP，∴AP=PQ，∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，∴AP=2x，∴PQ=2x；【小问2详解】当M点在BC上，Q点在AC上，如图，在（1）中已求得AP=PQ=2x，∵四边形QPMN是菱形，∴PQ=PN=MN=2x，，∵∠APQ=120°，∴∠QPB=60°，∵，∴∠MNB=∠QPB=60°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△MNB是等边三角形，∴BN=MN，∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，∴x=1（s）；【小问3详解】当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），即x的取值范围为：，当M点刚好在BC上时，在（2）中已求得此时x=1，分情况讨论，即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，∵∠APQ=120°，∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，∵，∴∠MNB=∠QPN=60，∵∠B=60°，∴△ENB是等边三角形，同理可证明△MEF是等边三角形∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，∴BN=6-AN=6-4x，∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，∵MH⊥EF，∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，∴△MEF的面积为：，QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∵菱形PQMN的面积为，∴重叠部分面积为，当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，∵∠CPB=∠CBA=60°，∴△PBC是等边三角形，∴PC=PB，∵AP=PQ=2x，∴AP=PB=2x，∴AB=AP+PB=4x=6，则x=，即此时重合部分的面积