专题04与高中数学知识衔接问题(原卷版+解析)

2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）专题04与高中数学知识衔接问题1.阅读理解：已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．设B（m，n），则m，n满足的等式是（）A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9 C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝92.（2022黑龙江绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．3．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．04.（2022湖南娄底）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（）A.5 B.2 C.1 D.05．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？6．阅读下面材料：我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算．例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：d＝＝＝＝根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．7．已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．8.（2021四川凉山）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．9.我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0,4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．(1)求圆C的标准方程；(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）专题04与高中数学知识衔接问题1.阅读理解：已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．设B（m，n），则m，n满足的等式是（）A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9 C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9【答案】D【解析】根据中点坐标公式求得点B的坐标，然后代入a，b满足的等式．∵点A（﹣3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，∴m＝，n＝．∴a＝2m+3，b＝2n．又a，b满足等式：a2+b2＝9，∴（2m+3）2+4n2＝9．故选：D．【点评】考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式，难度不大．2.（2022黑龙江绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．【答案】【解析】根据代入进行计算即可．====．故答案为：．【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．3．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．4.（2022湖南娄底）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（）A.5 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】通过阅读自定义运算规则：，再得到再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．，故选C【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键．5．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？【答案】见解析。【解析】（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．（2）∵a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……∴an＝a1+（n﹣1）d故答案为：n﹣1．（3）根据题意得，等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2（n﹣1），则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．6．阅读下面材料：我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算．例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：d＝＝＝＝根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．【答案】见解析【解析】（1）∵3x﹣y+7＝0，∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．∵点Q（﹣2，2），∴d＝＝＝．∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0的距离为；（2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2，在直线y＝﹣x上任意取一点P，当x＝0时，y＝0．∴P（0，0）．∵直线y＝﹣x+2，∴A＝1，B＝1，C＝﹣2∴d＝＝，∴两平行线之间的距离为．7．已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．【答案】见解析。【解析】（1）由边角关系式可求解；（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长．解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝，∴b＝2；（2）∵＝，∴＝，∴sinB＝，∴∠B＝60°，∴tanB＝＝，∴BD＝CD，∵AC2＝CD2+AD2，∴196＝CD2+（10﹣CD）2，∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），∴CD的长度为8米．8.（2021四川凉山）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．【解析】（1）直接根据定义计算即可；（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga（M•N）＝logaM+logaN和loga＝logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log5（125×6÷30），计算可得结论．解：（1）log232＝log235＝5，log427＝log335＝3，log76＝log774＝0；故答案为：5，8，0；（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠2，N＞0）；（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝5．9.我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0,4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．(1)求圆C的标准方程；(2)试判断直线AE与圆C的位置关