第22章二次函数全章复习与测试(原卷版+解析)

第22章二次函数全章复习与测试【知识梳理】一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

3.抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，

故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．三、二次函数与一元二次方程的关系

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解

方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【考点剖析】一．二次函数的定义（共3小题）1．（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝2．（2022秋•普兰店区期末）是二次函数，则m的值是（）A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±13．（2023•海淀区校级模拟）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系二．二次函数的图象（共3小题）4．（2023•本溪二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．（2023•合肥模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（）A． B． C． D．​6．（2023•濉溪县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（）A． B． C． D．三．二次函数的性质（共4小题）7．（2023•天河区校级模拟）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2023•浠水县模拟）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}＝．下列判断：①P；②max；③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（）A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤9．（2023•临潼区三模）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞110．（2023•鲤城区校级模拟）若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（）A． B．m＜2 C．m＜﹣2或 D．四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）11．（2023•贵州）已知，二次数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2023•定西二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个五．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）13．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x•x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（）A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜314．（2023•温州模拟）已知二次函数上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝3+x2，则下列结论中正确的是（）A．若，则y1＞y2＞﹣1 B．若，则y2＞0＞y1 C．若x1＜﹣，则y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，则y2＞y1＞0六．二次函数图象与几何变换（共2小题）15．（2023春•金东区期末）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+216．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3七．二次函数的最值（共3小题）17．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣818．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．19．（2023•莒南县二模）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）20．（2023•永城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象经过点（﹣1，7）和（3，﹣1）．（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．（2）当m≤x≤m+2时，y有最小值﹣1，求m的值．21．（2023•佳木斯二模）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），C，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，若直线OP平分△OBC的面积，请直接写出点P的坐标．九．二次函数的三种形式（共3小题）22．（2022秋•黄石期末）已知y＝﹣x2﹣2x﹣2，其中x为实数，则y的取值范围是（）A．﹣1≤y＜0 B．y＜0 C．y≤﹣1 D．全体实数23．（2022秋•娄底期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣124．（2022秋•未央区校级期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3化成顶点式为．一十．抛物线与x轴的交点（共3小题）25．（2023•安顺模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|x2﹣4x﹣5|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：​①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．526．（2023•商南县校级模拟）过原点的抛物线C：y＝ax2+2ax（a＜0）与x轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求点A的坐标．（2）M（m，0）为x轴正半轴上一点，记抛物线C关于点M中心对称的抛物线C′，设抛物线C′与x轴的交点为E，F，点E在点F的左侧，抛物线C′的顶点为G．①当m＝1时，求点E与点F的坐标②在①的条件下，当S四边形ADFG＝12时，求抛物线C′的表达式．27．（2023•陇南模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察函数图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）28．（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：x3.233.243.253.26y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）29．（2022秋•龙沙区期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）一十三．二次函数的应用（共3小题）30．（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米31．（2023•长安区模拟）某体验馆建造了一幢“森林“主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．（1）若在抛物线上，求该抛物线表达式．（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的最大面积为多少？32．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．一十四．二次函数综合题（共4小题）33．（2023•内乡县三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，﹣2），点B为x轴上一点，进行如下操作：①连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N两点，过MN作直线l1；②过点B作x轴的垂线l2交直线l1于点P；③多次移动点B的位置，得到对应的点P，将这些点用平滑的曲线连接起来，发现该曲线为抛物线．（1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作出直线l1；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）设点P的坐标为（x，y），求点P形成抛物线的表达式；34．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）35．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．【过关检测】一、单选题1．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y22．抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（）A．y＝3x2+1 B．y＝3x2﹣1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3（x﹣1）23．已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（

）A． B． C． D．4．根据二次函数（，、、为常数）得到一些对应值，列表如下：判断一元二次方程的一个解的范围是A． B．C． D．5．对于函数，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、三、四象限C．当时， D．的值随值的增大而减小6．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经变换后得到抛物线y=x2+2，则这个变换可以(

)A．向左平移2个单位 B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位 D．向右平移2个单位7．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（

）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大8．已知A（m，），B（4，）为抛物线上的两个不同点，若＞，则可知m的取值范围为（）A．m＞4 B．m＜2或m＞4 C．m＜2 D．2＜m＜49．下列函数关系式中，一定为二次函数的是（）A．y=x+3 B．y=ax2+bx+c C．y=x2+2 D．y=x2+10．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（

）件．降价（元）日销量（件）A．1200 B．750 C．1110 D．1140二、填空题11．抛物线的图象的对称轴是________．12．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．13．已知一抛物线的形状与抛物线相同，顶点在（1，-2），则抛物线的解析式为__________．14．抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____．15．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为______．16．若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____．17．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．18．如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点P为第一象限抛物线上一点，且∠DAP=45°，则点P的坐标为______．三、解答题19．当时，求二次函数的最大值．20．写出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．(1)；(2)．21．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式．22．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场ABCD（篱笆只围AB、BC、CD三边），其示意图如图所示．（1）若矩形养鸡场的面积为92平方米，求所用的墙长AD．（结果精确到0.1米）【参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.24】（2）求此矩形养鸡场的最大面积．23．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．24．由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品，某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量台与销售单价元的关系式为(1)该公司每月的利润为元，写出利润与销售单价的函数关系式；(2)若要使每月的利润为元并且为了减少库存，销售单价应定为多少元？(3)求该公司每月的最高利润．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

第22章二次函数全章复习与测试【知识梳理】一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

3.抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，

故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．三、二次函数与一元二次方程的关系

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解

方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【考点剖析】一．二次函数的定义（共3小题）1．（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝【分析】利用二次函数的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．2．（2022秋•普兰店区期末）是二次函数，则m的值是（）A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1【分析】根据二次函数的定义即可求解．【解答】解：∵是二次函数，∴m2+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，∴m＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．（2023•海淀区校级模拟）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．【解答】解：y＝4t，属于正比例函数关系，S＝π（5﹣t）2，属于二次函数关系，故选：C．【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．二．二次函数的图象（共3小题）4．（2023•本溪二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．【解答】解：如图所示：抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，正确得出a，b的符号是解题关键．5．（2023•合肥模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（）A． B． C． D．​【分析】根据二次函数图象得出a＞0、b＜0，c＜0，再结合图象过点（1，0），即可得出ab＜0，c＝﹣a﹣b＜0，根据一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象经过的象限，此题得解．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象可知a＞0、b＜0，c＜0，∴ab＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b＜0，∴一次函数y＝abx﹣a﹣b图象经过第二2、三、四象限，不经过第一象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象和性质，二次函数图象和性质是解题的关键．6．（2023•濉溪县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案．【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出a＞0，c＜0．三．二次函数的性质（共4小题）7．（2023•天河区校级模拟）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，∴不经过第一象限．故选：A．【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．8．（2023•浠水县模拟）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}＝．下列判断：①P；②max；③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（）A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤【分析】①计算出三个数的平均数即可判断；②找出三个数中最大的数即可判断；③根据题意列出不等式组，解不等式组即可判断；④根据题意得出，解得x＝1，即可判断；⑤建立函数则y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x作出三个函数的图象，利用图象即可判断．【解答】解：①﹣，0，的平均数是，故①错误；②﹣3，﹣，﹣π三个数中最大的数﹣，故②正确；③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误；④P{2，x+1，2x}＝x+1，若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1，即，解得x＝1，故④正确；⑤作出y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象．由图可知max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为，故⑤正确；故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义是解题的关键．9．（2023•临潼区三模）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1【分析】利用对称轴公式求出对称轴，再根据开口方向和二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴当x≤1时，y随x的增大而减小，∵当x＜m时，y随x的增大而减小，∴m的取值范围是m≤1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2023•鲤城区校级模拟）若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（）A． B．m＜2 C．m＜﹣2或 D．【分析】利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即Δ＞0，且3m﹣1≥0，然后解不等式组即可．【解答】解：∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限，∴Δ＝（2）2﹣4（2m﹣1）＞0且2m﹣1≥0，解得．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）11．（2023•贵州）已知，二次数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点P（a，b）所在的象限．【解答】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，∴a＞0，x＝﹣＞0，∴b＜0，∴P（a，b）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及判断点所占的象限，解答本题的关键是根据二次函数的图象判断出a、b的符号．12．（2023•定西二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．五．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）13．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x•x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（）A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3【分析】由二次函数解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）；然后由二次函数解析式与一元二次方程的关系以及根的判别式得到a2﹣4b＞0；结合根与系数的关系知：x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b；最后根据限制性条件1＜x1＜x2＜3列出相应的不等式并解答．【解答】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次项系数1＞0，∴抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），1＜x1＜x2＜3，∴x＝1时，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，∴t＞﹣1．又对称轴x＝﹣，此时y＝b﹣＜0．∴a+b＜+a＝（a+2）2﹣1．∵1＜﹣＜3，∴﹣6＜a＜﹣2，∴﹣1＜（a+2）2﹣1＜3．综上所述，t的取值范围是﹣1＜t＜3．故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的根本依据．14．（2023•温州模拟）已知二次函数上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝3+x2，则下列结论中正确的是（）A．若，则y1＞y2＞﹣1 B．若，则y2＞0＞y1 C．若x1＜﹣，则y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，则y2＞y1＞0【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x＝﹣代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x1＝3+x2求解．【解答】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，当x1＝﹣时，x2＝﹣3﹣＝﹣，∴＝﹣2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，将x＝﹣代入y＝（x﹣1）2﹣1得y＝0，当x1＜﹣时，y2＞0＞y1，故选项A、C不符合题意，∵x1＝3+x2，∴x2＝x1﹣3，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1，y2＝（x1﹣4）2﹣1，当时，﹣＜x1﹣1＜0，﹣＜x1﹣4＜﹣3，∴﹣1＜（x1﹣1）2﹣1＜0，3＜（x1﹣4）2﹣1＜9，∴y2＞0＞y1．故选项D不符合题意，B符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．六．二次函数图象与几何变换（共2小题）15．（2023春•金东区期末）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．16．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．【解答】解：根据题意，﹣y＝2（﹣x﹣1）2+3，得到y＝﹣2（x+1）2﹣3．故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．七．二次函数的最值（共3小题）17．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【分析】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，∴二次函数对称轴为x＝﹣1．①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．综上分析，a的值为﹣8或1．故选：D．【点评】本题考查二次函数最值问题，确定对称轴，分类讨论最值情况是作出本题的关键技巧．18．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．【分析】（1）利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积即可；（2）根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S△PBQ＝BQ•PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2，解得t＝1或t＝2，∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2；（2）∵S＝﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣）2+（0≤t≤2），∵a＝1，∴t＝﹣＝s时，S有最小值，最小值为cm2．【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形和四边形的面积是解题关键．19．（2023•莒南县二模）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【分析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）根据题意，当﹣4≤x≤0时，抛物线开口向下，求得顶点坐标，当x＝﹣3时，y有最大值为6，当x＝0时，y有最小值为﹣3，即可求解；（3）①当﹣3＜m≤0时，②当m≤﹣3时，分类讨论，根据二次函数的性质，结合题意即可求解．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：；（2）由（1）得：该函数解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，6），∵﹣1＜0，∴抛物线开口向下，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6，当x＝0时，y有最小值为﹣3，∴最大值与最小值的差为6﹣（﹣3）＝9，（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小；当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4∴或（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）20．（2023•永城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象经过点（﹣1，7）和（3，﹣1）．（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．（2）当m≤x≤m+2时，y有最小值﹣1，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出其顶点坐标即可；（2）先根据抛物线的对称轴确定其增减性，然后分情况讨论：当m+2＜2，m＞2，m＜2＜m+2时分别判断即可得出m的值．【解答】解：（1）根据题意得，，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴其顶点坐标是（2，﹣2）；（2）由（1）知抛物线的对称轴是直线x＝2，开口向上，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，当m+2＜2，即m＜0时，当x＝m+2时y有最小值﹣1，∴（m+2﹣2）2﹣2＝﹣1，解得m＝﹣1或m＝1（舍去）；当m＞2时，当x＝m时y有最小值﹣1，∴（m﹣2）2﹣2＝﹣1，解得m＝3或m＝1（舍去）；当m＜2且m+2＞2，即0＜m＜2时y有最小值﹣2，不合题意，舍去；综上，m的值为﹣1或3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，分类讨论思想是解题的关键．21．（2023•佳木斯二模）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），C，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，若直线OP平分△OBC的面积，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据抛物线经过点A和对称轴可列出关于b，c的方程组，求出b，c的值，即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，故取BC的中点D，作直线OD，求出点D的坐标，进而求出直线OD的解析式，联立抛物线的解析式，即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（1，0）及对称轴x＝2代入y＝x2﹣bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）如图，连接BC，取BC的中点D，作直线OD与抛物线交于点P1，P2，令x＝0，则y＝3，∴点B的坐标是（0，3），∵点A（1，0），对称轴是直线x＝2，∴点C的坐标是（3，0），∴点D的坐标是，设直线OD的解析式为y＝kx，则，解得k＝1，∴直线OD的解析式为y＝x，∴，解得，，，∴，．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与正比例函数的交点问题，三角形的中线的性质，中点坐标的求法，熟练掌握这些知识是解题的关键．九．二次函数的三种形式（共3小题）22．（2022秋•黄石期末）已知y＝﹣x2﹣2x﹣2，其中x为实数，则y的取值范围是（）A．﹣1≤y＜0 B．y＜0 C．y≤﹣1 D．全体实数【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣2＝﹣（x2+2x+1）﹣1＝﹣（x+1）2﹣1，∴函数的最大值是﹣1，即y≤﹣1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及二次函数的性质，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．23．（2022秋•娄底期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】根据配方法求解可得．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤．24．（2022秋•未央区校级期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3化成顶点式为y＝（x﹣1）2+2．【分析】利用配方法求解即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．故答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点评】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方；熟记完全平方公式是解题的关键．一十．抛物线与x轴的交点（共3小题）25．（2023•安顺模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|x2﹣4x﹣5|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：​①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】将点（﹣1，0），（5，0）和（0，5）分别代入y＝|x2﹣4x﹣5|即可对结论①进行判断；观察函数的图象可知函数具有对称性，然后求出函数的对称轴即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，几次可对结论④进行判断；根据函数y＝|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点，y＝x+b与y＝x平行可分两种情况进行讨论：①y＝x+b经过点（﹣1，0），②y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．【解答】解：∵（﹣1，0），（5，0）和（0，5）满足函数y＝|x2﹣4x﹣5|，∴结论①正确；观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，故结论②正确；∵函数与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），且对称轴为x＝2，∴当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，故结论③不正确；∵当x＝﹣1或5时，y＝0，∴当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是0．故结论④不正确；∵函数y＝|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又∵y＝x+b与y＝x平行，∴当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：①y＝x+b经过点（﹣1，0），此时b＝1，②当y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一个交点时，则方程x+b＝﹣（x2﹣4x+5）有两个相等的实数根，将x+b＝﹣（x2﹣4x+5）整理得：x2﹣3x+b﹣5＝0，∴判别式Δ＝（﹣3）2﹣4（b﹣5）＝0，解得：．故结论⑤正确，综上所述：正确的结论是①②⑤．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点坐标以及增减性，解答此题的关键是正确理解函数y＝|x2﹣4x﹣5|与函数y＝x2﹣4x﹣5、y＝﹣（x2﹣4x﹣5）之间的关系．26．（2023•商南县校级模拟）过原点的抛物线C：y＝ax2+2ax（a＜0）与x轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求点A的坐标．（2）M（m，0）为x轴正半轴上一点，记抛物线C关于点M中心对称的抛物线C′，设抛物线C′与x轴的交点为E，F，点E在点F的左侧，抛物线C′的顶点为G．①当m＝1时，求点E与点F的坐标②在①的条件下，当S四边形ADFG＝12时，求抛物线C′的表达式．【分析】（1）由题意，令y＝0，然后解方程即可得抛物线与x轴交点的横坐标，进而判断即可得解．（2）①由题意，根据点关于点的对称性，利用中点坐标公式即可分别求出E、F两点的坐标．②根据题意，由抛物线C’与抛物线C关于点M对称，不妨设抛物线C’上任意一点坐标P’（x，y），再求出对称点P的坐标，然后代入抛物线C的解析式，进而利用条件，即可得解．【解答】解：（1）由题意，y＝ax（x+2），令y＝0，∴ax（x+2）＝0．∴x1＝0，x2＝﹣2．∴A（﹣2，0）．（2）①当m＝1时，M（1，0）．∴O（0，0）点关于M对称的点E（2，0）；A（﹣2，0）点关于M对称的点F（4，0）．②由题意，作出如下草图．A、F关于点M对称，D、G关于点M对称．∴AM＝FM，DM＝GM．∴四边形ADFG是平行四边形．∵当S四边形ADFG＝12时，∴S△ADF＝S四边形ADFG＝12＝6．∵S△ADF＝AF•DH＝6，AF＝6，∴DH＝2．∵A（﹣2，0），O（0，0），D为顶点，∴D（﹣1，2）．∴D关于点M的对称点G为（3，﹣2）．设抛物线C′上任意一点P'（x，y），∴P'关于点M（1，0）的P（2﹣x，﹣y）．∵P在抛物线C上，∴﹣y＝a（2﹣x）2+2a（2﹣x）．∴y＝﹣a（2﹣x）（4﹣x）．又G（3，﹣2）在y＝﹣a（2﹣x）（4﹣x）上，∴﹣2＝﹣a（2﹣3）（4﹣3）．∴a＝﹣2．∴抛物线C′的表达式为y＝2（2﹣x）（4﹣x），即y＝2x2﹣12x+16．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用．27．（2023•陇南模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察函数图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式．（2）观察图象即可解决问题；（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得．∴所求解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，故答案为x＜﹣1或x＞3．（3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．∵AC长为定值，∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，∵点A关于对称轴直线x＝1的对称点是（3，0），∴Q是直线BC与对称轴直线x＝1的交点，设过点B，C的直线的解析式y＝kx﹣3，把B（3，0）代入，∴3k﹣3＝0，∴k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，把x＝1代入上式，∴y＝﹣2，∴Q点坐标为（1，﹣2）．【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）28．（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：x3.233.243.253.26y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0.02，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y＝0.02，即这个数是ax2+bx+c＝0.02的一个根．ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26．故选：D．【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的是解题关键．一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）29．（2022秋•龙沙区期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为（300+20x），根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解．【解答】解：依题意，每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为W＝（60﹣x）（300+20x），故选：B．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．一十三．二次函数的应用（共3小题）30．（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【分析】根据正常水位时水面宽AB＝30米，求出当x＝15时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．【解答】解：∵AB＝30米，∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，当水位上升5米时，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此时水面宽CD＝20米，故选：A．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．31．（2023•长安区模拟）某体验馆建造了一幢“森林“主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．（1）若在抛物线上，求该抛物线表达式．（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的最大面积为多少？【分析】（1）根据已知条件用待定系数法求函数解析式即可；（2）分AD＝2和CD＝2两种情况讨论求出另一边长，用矩形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0），∵OE＝8米，∴﹣＝4，即b＝﹣8a①，∵（3，）在抛物线上，∴9a+3b＝②，把①代入②得：﹣15a＝，解得a＝﹣，∴b＝3，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+3x；（2）设隔离区的面积为S米2，①当AD＝2时，即y＝2，则2＝﹣x2+3x，解得x＝，∴CD＝8＝OE（不合题意）；②当CD＝2时，OD＝＝＝3，∴当x＝3时，y＝﹣×32+3×3＝，∴S＝×2＝（米2）．∴隔离区的面积为米2．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数的表达式．32．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．【分析】（1）由题意可知C2过点A（0，2）和点C（2，2.5），且﹣＝2，代入解析式可求得解析式；（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且C1经过点（0，2），设C1的解析式为y＝﹣x2+bx+c，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；（3）无人机的横坐标为x，根据题意列出不等式﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，求解即可．【解答】解：（1）由已知可得：C2过点A（0，2）和点C（2，2.5），设其解析式为y＝ax2+bx+c，代入两点，由C的横坐标为﹣＝2可得，，解得：，故C2的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）∵两条抛物线的形状相同∴设C1的解析式为y＝﹣x2+bx+c，已知C1经过点（0，2），故C1的解析式为y＝﹣x2+bx+2①，∵顶点的纵坐标相同，∴C1的顶点的横坐标为4b，代入①，可得：﹣•（4b）2+b•4b+2＝2.5，解得：b＝±1，故C1的解析式为y＝﹣x2+x+2②或y＝﹣x2﹣x+2③，由图可知C1的终点的横坐标小于0，而②中﹣＝4＞0不合题意，故舍去②，令将y＝0代入y＝﹣x2+x+2，解得x＝4﹣4，故B点的坐标为（4﹣4，0）．（3）设无人机的横坐标为x，由题意可得：﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，解得：x．【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．一十四．二次函数综合题（共4小题）33．（2023•内乡县三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，﹣2），点B为x轴上一点，进行如下操作：①连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N两点，过MN作直线l1；②过点B作x轴的垂线l2交直线l1于点P；③多次移动点B的位置，得到对应的点P，将这些点用平滑的曲线连接起来，发现该曲线为抛物线．（1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作出直线l1；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）设点P的坐标为（x，y），求点P形成抛物线的表达式；【分析】（1）根据题目中给出的作图步骤，利用直尺和圆规即可作出直线l1，（2）连接PA，过点P作PC⊥y轴于点C，由（1）可知l1为线段AB的垂直平分线，则PA＝PB，然后用点P，A的坐标分别表示出线段PA，PC，AC，再利用勾股定理即可得出点P形成抛物线的表达式．【解答】解：（1）（2）连接PA，过点P作PC⊥y轴于点C，由（1）可知：l1为线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵点P的坐标为（x，y），点A（0，﹣2），∴PB＝PA＝|y|，PC＝|x|，AC＝|﹣2﹣y|，在Rt△APC中，由勾股定理得：PA2＝AC2+PC2，即：（|y|）2＝（|﹣2﹣y|）2+（|x|）2，整理得：，∴点P形成抛物线的表达式为：．【点评】此题主要考查了基本尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握线段的垂直平分线的作法，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．34．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是①②④．（填写正确的序号）【分析】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③由y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．【解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故①正确；②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故③错误；④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故④正确．故答案为：①②④．【点评】此题属于二次函数综合题，综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．35．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可；（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，把点A（3，0）代入，得：9a+9＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：y＝8，∴B（1，8）设直线A′B的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴y＝2x+6，令x＝0，得y＝6，∴P点的坐标为（0，6）；（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），当0＜b≤4时，得：﹣62+12b+b﹣1≥9，解得：，∴≤b≤4，当4＜b＜6时，由b﹣4＞6﹣b，得：b＞5，∴﹣62+12b+b﹣1≥9，∴5＜b＜6；由b﹣4≤6﹣b，得：b≤5，∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得：，∴4＜b≤5；∴当4＜b＜6时，都成立；当b≥6时，得：∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得：，∴b≥6都成立；综上所述，b的取值范围为．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．【过关检测】一、单选题1．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2【答案】B【分析】结合图象和解析式，利用二次函数的性质解决问题．【详解】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大.∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析