专题05相似三角形重要模型-(双)A字型与(双)8字型(原卷版+解析)

专题05相似三角形重要模型-（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔例1．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．

例3．（2023秋·江西上饶·九年级校联考期末）完成下列各题．(1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（），边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是mm．拓展应用：(2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边，如图2所示，求此时EF的长．

例4.（2022·上海九年级期中）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ例5.（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．例2．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长．例3.（2023·广东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．例4．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔2）两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.3）四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG例1.（2022·成都市九年级期中）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．例2．（2022•武汉模拟）在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．（1）如图1，若F为AC的中点，CE＝2BE，求的值；（2）如图2，设＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求证：PD＝PC；（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD＝QP，直接写出的值．例3.（2022·重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．课后专项训练1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，点G是的重心，连接、并延长分别交、于点D，E，连接，则．

4．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，中，，，点E是边上一点，且，连接，过点C作的垂线，垂足为F，交于点D，则的长为．5．（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为．

6．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在四边形中，，．点M在边上，且．点E，F分别在上，且，垂足为G，则的值为．

7．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值．问题：若时，值为___________；【操作探究】如图，在中，；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值．【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上的动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________．

8．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点F，交于点E，于点H，连接交于点D．(1)求证：；(2)若点D为的中点，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的长．9．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．(1)设的面积为，的面积为，且．①如图①，连接．若，求证：；②如图②，若，，求的值．(2)如图③，若，，，，直接写出的值．

10．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．11．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．12．（2022•绵阳市中考模拟）[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．13．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．14．（2023·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．（1）求HD的长；（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）15．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点，点在上，，分别交，于点和点，与相交于点G．(1)求证：；(2)若，求∠DBE的度数；(3)若H为中点，求的值．

16．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．

(1)求证：．(2)当，时，求的长．

专题05相似三角形重要模型-（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔例1．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解再证明可得【详解】解：＝，DE∥BC，故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．

【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，，可得，结合，从而可得结论；（2）由（1）可得，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】（1）解：∵，，，，∴，．∴，，∴，又∵，∴，∴．（2）由（1）可得，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键．例3．（2023秋·江西上饶·九年级校联考期末）完成下列各题．(1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（），边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是mm．拓展应用：(2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边，如图2所示，求此时EF的长．

【答案】(1)48(2)【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可；（2）由可得，，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可．【详解】（1）解：设正方形零件的边长为，∵，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，即，解得．故答案为48．（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得．答：的长为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．例4.（2022·上海九年级期中）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ【答案】（1）6；（2）见解析【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ同理可得：EPCQ=例5.（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，∴点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∵点D是边BC的中点，DF∥AB，∴点F是AC的中点，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，，∴，，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，，∴，∴；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．例2．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长．【答案】（1）①见解析；②；（2）或【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．【详解】（1）①由，得．由，得．因为是斜边上的中线，所以．所以．所以．所以．②若，那么在中，由．可得．作于H．设，那么．在中，，所以．所以．所以．（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，所以四边形是平行四边形．又因为，所以四边形是矩形，设，已知，所以．已知，所以．在和中，根据，列方程．解得，或（舍去负值）．②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．设，已知，那么．一方面，由，得，所以，所以，另一方面，由是公共角，得．所以，所以．等量代换，得．由，得．将代入，整理，得．解得，或（舍去负值）．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．例3.（2023·广东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∴，．又∵点是中点，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．例4．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②见解析【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论．(1)解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四边形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形状为等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案为：等腰三角形，．(2)①过点E作于点H，如图所示：∵AC，BD均是直线l的垂线段，∴，∵是等边三角形，且与重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，则，∴在中，由勾股定理得：．②连接，如图3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等边三角形，又∵是等边三角形，∴绕点D顺时针旋转后与重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔2）两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.3）四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG例1.（2022·成都市九年级期中）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【答案】见解析【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF例2．（2022•武汉模拟）在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．（1）如图1，若F为AC的中点，CE＝2BE，求的值；（2）如图2，设＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求证：PD＝PC；（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD＝QP，直接写出的值．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF＝BC，结合题意计算，得到答案；（2）过点D作DG∥BC交AC于H，交EF的延长线于G，根据平行线分线段成比例定理得到AH＝HC，证明△HFG∽△CFE，根据相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理证明结论；（3）连接DF交AE于M，设EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，根据平行线的性质得到＝，＝，解方程得到答案．【解答】（1）解：∵AD＝DB，AF＝FC，∴DF＝BC，∵CE＝2BE，∴CE＝BC，∴＝＝；（2）证明：如图2，过点D作DG∥BC交AC于H，交EF的延长线于G，∵AD＝DB，∴AH＝HC，设BC＝x，AC＝y，则CE＝mx，CF＝ny，∴FH＝x﹣ny，∵DG∥BC，∴△HFG∽△CFE，∴＝，∴＝＝，∴HG＝（﹣m）x，∵DH＝BC＝x，m+n＝4mn，∴DG＝DH+HG＝x+（﹣m）x＝mx，∴DG＝CE，∵DG∥BC，∴＝＝1，∴PD＝PC；（3）解：连接DF交AE于M，设EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，∵AD＝DB，AF＝FC，∴DF∥BC，∴＝，即＝，∴＝，∴DF∥BC，∴＝，即＝，∴＝，∴＝，整理得：x2+3x﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），∴＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，正确作出辅助线、掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．例3.（2022·重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,DB).又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BD).∴eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,DB)＋eq\f(BF,BD)＝eq\f(BD,BD)＝1.∴eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴，∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B选项正确，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求．故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．2．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值．【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，

在矩形，，∴，又∵，∴，∴∴，即，∵，∴，∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC，，∴m的最小值为．故选C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题．3．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，点G是的重心，连接、并延长分别交、于点D，E，连接，则．

【答案】【分析】根据三角形的重心的概念得到是的中位线，证明，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：点是的重心，、分别为、的中点，是的中位线，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的重心的概念、三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解题的关键．4．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，中，，，点E是边上一点，且，连接，过点C作的垂线，垂足为F，交于点D，则的长为．【答案】【分析】过点A作的平行线，延长，交的平行线于点G，易证，则可求出，，再证明，求出，最后证明，即可根据相似三角形性质求解．【详解】解：过点A作的平行线，延长，交的平行线于点G，∵中，，，，∴，根据勾股定理可得：

，，∵，∴，∴，即，解得：，则，∵，∴，∴，∴，解得：，同理可得：，∴，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例，正确画出辅助线，构造相似三角形．5．（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为．

【答案】6【分析】通过四边形为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．【详解】解：设与交于点M．

∵四边形是矩形，∴，∴，∵和分别是和的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．6．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在四边形中，，．点M在边上，且．点E，F分别在上，且，垂足为G，则的值为．

【答案】【分析】如图，过点C作于点N，延长交于点H,连接，则，即，，得到，进而得到，，再利用，得到，再由得到结论．【详解】如图，过点C作于点N，延长交于点H，连接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，设，则，在中，，即：，解得：，或，当时，，舍去，所以，∴，，∴，又∵∴，∴，即，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．故答案为：

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，能作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．7．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值．问题：若时，值为___________；【操作探究】如图，在中，；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值．【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上的动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________．

【答案】【问题发现】3；【操作探究】；【解决问题】．【问题发现】由，，得，，而，则，于是得到问题的答案．【操作探究】由，，可证明，，得，，因为，则，于是可推导出，所以；【解决问题】连交于点，在上截取，作于点，由菱形的性质得，，，可求得，再由，，证明，再证明，得，，则，由，，，得，则．【详解】解：【问题发现】于点，于点，，，，，，，，，，故答案为：3．解：【操作探究】对，证明：于点，于点，，，，，，，，，，，，，，，，，的值为定值，．解：【解决问题】如图3，连交于点，在上截取，作于点，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，于点，，，，，，，，，，，，故答案为：．

【点睛】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．8．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点F，交于点E，于点H，连接交于点D．(1)求证：；(2)若点D为的中点，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）如图，证明，，，可得．，从而可得结论；（2）证明．由（1）可得，可得，可得．设，再分别表示，从而可得答案；（3）由（2）可得，，证明，可得，则，，．证明，可得，证明，可得．结合，从而可得答案.【详解】（1）证明：如图，

∵的垂直平分，∴，，，∴．∵，∴，∴．（2）∵点D为的中点，∴，∴．由（1）可得，∴，∴，∴．设，∴．∵，∴，，∴，∴．（3）由（2）可得，，由（1）同理可得：，而，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，．同理可得，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．由（2）可得，∴，∴．又∵，∴．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质，并灵活运用是解本题的关键.9．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．

(1)设的面积为，的面积为，且．①如图①，连接．若，求证：；②如图②，若，，求的值．(2)如图③，若，，，，直接写出的值．【答案】(1)①见解析；②(2)【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论；（2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值．【详解】（1）解：①，，．，，即．又，，．如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．

，，又，，．又，，，，设，则，．（2）如答图（2），过点作，且，连接，，

则四边形为平行四边形．，．，，．又，，，即．，．，设，，则在中，．，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质．10．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴＝，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵＝，∴＝，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB＝＝＝25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P作PG⊥BC于G，∴∠BGP＝90°＝∠ACB，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBG，∴，∴，∴BG＝＝＜BC，∴点G在线段BC（不包括端点）上，②过点P作PG''⊥AC于G''，∴∠AG''P＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△APG''，∴，∴，∴AG''＝＝＜AC，∴点G''在线段AC（不包括端点）上，③过点P作PG'⊥AB，交直线BC与G'，交直线AC于H，∵∠APG'＝∠APH＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△G'BP，∴，∴，∴BG'＝＝15＝BC，∴点G'和点H都和点C重合（注：为了说明问题，有意将点G'和点H没画在点C处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．11．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（2）∵点是线段的中点，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．12．（2022•绵阳市中考模拟）[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）BE＝CG，理由详见解析；（3）．【分析】（1）①过点E作EI∥BC交AC于点I，证明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；②由等腰直角三角形的性质得出AI＝AE，由平行线得出＝＝，证出IC＝BE，由全等三角形的性质得出IG＝CG＝IC，即可得出结论；（2）作EI∥BC交AC于点I，由三角函数证出AE＝2IE，得出IE＝CF，证△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，求出＝，则＝＝，得出IC＝EB，即可得出结果；（3）作FP∥AB交AC于P，则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，则tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，证明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再证明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出结果．【详解】（1）证明：①过点E作EI∥BC交AC于点I，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠AIE＝∠BAC＝45°，∴AE＝EI，∵AE＝CF，∴CF＝EI，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中点；②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI＝AE，∴＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝BE，∵△EIG≌△FCG，∴IG＝CG＝IC，∴CG＝×BE＝BE；（2）解：BE和CG之间的数量关系为：BE＝CG；理由如下：过点E作EI∥BC交AC于点I，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，∴tan∠IAE＝＝＝，∴AE＝2IE，∵AE＝2CF，∴IE＝CF，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，即＝＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝EB，∵IG＝CG＝IC，∴CG＝BE，∴BE＝CG；（3）解：作FP∥AB交AC于P，如图3所示：则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和R