专题17圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题(原卷版+解析)2

专题17圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦模型、米勒最大张角（视角）模型、弧中点模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。【模型证明】方法1:补短法如图，延长DB至F，使BF=BA∵M是的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M、B、A、C四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵MB=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵MD⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截长法如图，在CD上截取DG=DB∵MD⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M是的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵MA=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。∵M是的中点∴MA=MC∵MD⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)∴AH=CD，MH=MD又∵MB=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下：证明：如图2，在上截取，连接，，和．∵是的中点，∴，∵，∴，∴，……任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________．变式1．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．【理解应用】（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______；【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；【变式探究】（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________．变式2．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，是的中点，过点作，垂足为，小明通过度量、、的长度，发现点平分折弦，即．小丽和小军改变折弦的位置发现仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得，……小丽则采用了“补短法”（如图3），延长至，使，……小明采用了“平行线法”（如图4），过点作，交圆于点，过点作，……(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，内接于（A、B、C均是格点），点A、D关于对称，连接并延长交于点，连接．①请用无刻度的直尺作直线，使得直线平分的周长；②求的周长．变式3．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC，…(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，则AE的长度为_________；(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB=8，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．模型2.米勒最大张角（视角）模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。【模型证明】如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。例1．（2022春·浙江金华·九年级校考开学考试）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB=_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为____米．变式1．（2022·全国·九年级专题练习）1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？变式2．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°，（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．变式3．（2022·山西·九年级期中）如图，是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，其顶点为.（1）求的值.（2）连结、，动点的坐标为.①当四边形是平行四边形时，求的值；②连结、，当取最大值时，求出此时点的坐标.

模型3.弧中点模型【模型解读】1）与垂径定理相关若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．2）与圆周角定理相关若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．3）垂径定理与圆周角定理结合如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．（1）求证：AC是的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②若的半径为3，BF=2，求AC的长．变式1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且．(1)求证：是的切线；(2)与的延长线交于点，若，，，求证：；(3)求的长．变式2．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．（1）求证：DH＝DB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长．变式3．（2023秋·山东德州·九年级校考期末）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．课后专项训练：1．（2022·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(

)A． B． C． D．2．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，是的外接圆，是的直径，D是的中点，连接交于点E，连接，且，若，则的长为（

）A．6 B． C． D．3．（2022·浙江温州·温州市第十二中学校考二模）如图是一个矩形足球球场，AB为球门，于点D，米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知米，米．则__________；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米，此时门将站在张角内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离__________米时，刚好能成功防守．4．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，是半的直径，点C是弧的中点，点E是弧的中点，连接交于点F，则________．5．（2022·河南三门峡·统考二模）阅读材料，并完成相应任务．问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；(2)如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______．6．（2022秋·九年级课时练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理：阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明，过程如下：证明：如图2所示，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴，任务：(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边内接于⊙O，，D为上一点，，于点E，请直接写出的周长．7．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）8.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）9．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．(1)求证：；(2)求的长．10.（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．专题17圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦模型、米勒最大张角（视角）模型、弧中点模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。【模型证明】方法1:补短法如图，延长DB至F，使BF=BA∵M是的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M、B、A、C四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵MB=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵MD⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截长法如图，在CD上截取DG=DB∵MD⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M是的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵MA=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。∵M是的中点∴MA=MC∵MD⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)∴AH=CD，MH=MD又∵MB=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下：证明：如图2，在上截取，连接，，和．∵是的中点，∴，∵，∴，∴，……任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________．【答案】(1)证明见解析(2)；；【分析】（1）在上截取，连接，，和，根据圆心角定理，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出结论；（2）过点作于点，于点，连接，根据线段之间的数量关系，得出，再根据垂径定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出到的距离是，再根据垂径定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出到的距离是，再根据勾股定理，计算即可得出的半径．【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．∵是的中点，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：如图，过点作于点，于点，连接，∵，，∴，∴，由（1）的结论，并结合图形，可得：，∴，解得：，∵，∴，∴，∴到的距离是，∵，，∴，∴，∴到的距离是，∵，，∴，∴的半径是．故答案为：；；．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、三线合一的性质、垂径定理、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．变式1．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．【理解应用】（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______；【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；【变式探究】（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）；（4）或【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可；（2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点；（3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到；（4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出．【详解】解：（1）是的切线，为切点，，，，，，，是折线段的中点，，故答案为：3；（2）证明：在上截取，连接、、、，点是的中点，，，，，，，，是折弦的中点；（3），理由如下：在上截取，连接、、、，点是的中点，，，，，，，，；（4）是的直径，，，，，当点在上时，如图5，，，过点作交于点，，，；当点在上时，如图6，，过点作交于点，，，；综上所述：的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．变式2．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，是的中点，过点作，垂足为，小明通过度量、、的长度，发现点平分折弦，即．小丽和小军改变折弦的位置发现仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得，……小丽则采用了“补短法”（如图3），延长至，使，……小明采用了“平行线法”（如图4），过点作，交圆于点，过点作，……(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，内接于（A、B、C均是格点），点A、D关于对称，连接并延长交于点，连接．①请用无刻度的直尺作直线，使得直线平分的周长；②求的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②【分析】（1）证，得到，再由待腰三角形“三线合一”性质得，即可得出结论（2）①作直径，交于H，连接交于G，过点G、H作直线l即可；②先由勾股定理，求得，再证，得，即可求得，从而得出，则，然后由由①可知周长，即可求解．【详解】（1）解：选小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得，证明：∵点M是的中点，∴∴，在与中，，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：①如图所示，直线l即为所作，理由：∵点A与点D关于对称，∴，，∴，即，∴F是的中点，∵，，∴，由（1）得平分折线，∴，∵，∴，∴，即l平分周长；②由题意可得：，，，由勾股定理，得，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，由①知周长【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，属圆的综合探究题目，熟练掌握相关性质与判定并能灵活运用是解题的关键．变式3．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC，…(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，则AE的长度为_________；(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB=8，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．【答案】(1)见解析(2)3(3)8+8【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE；（3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．又∵BA=GC，∠A=∠C，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，∴△DCF≌△DBA（SAS），∴DF=AD，又∵DE⊥AC，∴AE=EF，∵CF=AB=4，AC=10，∴AE=3；（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE=AB=4，则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．故答案为：8+8．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．模型2.米勒最大张角（视角）模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。【模型证明】如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。例1．（2022春·浙江金华·九年级校考开学考试）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB=_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为____米．【答案】

【分析】（1）证明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性质求出QD，过点B作BH⊥AQ于点H．利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得结论；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，根点O作OJ⊥NK于点J．解直角三角形求出NJ，NK，可得结论．【详解】（1）由题意，∠BQD=∠QAD，∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB•DA，∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如图，过点B作BH⊥AQ于点H．∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=，∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=，∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案为：；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，过点O作OJ⊥NK于点J．∵MN∥BH∴，∴BN==，∴NK=BN•sin∠QBD=×=，∵MN⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°，∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=，∴JN=ON•cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=，∴MN中点与AB的距离至少为米时才能确保防守成功．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．变式1．（2022·全国·九年级专题练习）1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？【答案】可以说明点M为所求的点，理由见解析；米【分析】连接AM，BM，OM，作OG⊥AB于G，连接OB，在直线EF找一点P，连接AP,BP,BP交于Q点，连接AQ，根据同弧所对的圆周角相等，此时视角最大，即点M为所求的点；要求EM的长，可以转化为求弦的弦心距．根据图中的数据可以求得该圆的半径是2米，然后根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接AM，BM，OM，作OG⊥AB于G，则AG=BG=1.5，连接OB，在直线EF找一点P，连接AP,BP,BP交于Q点，连接AQ，则，此时视角最大，即点M为所求的点；根据题意，得OM=BG+BE=1.5+2.2−1.7=2（米），在直角三角形OBG中，（米），即为这个人离雕塑底座的水平距离．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是添加辅助线，掌握勾股定理和垂径定理．变式2．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°，（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE∴，∴，∴，∴，∴当时，的值最大．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．变式3．（2022·山西·九年级期中）如图，是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，其顶点为.（1）求的值.（2）连结、，动点的坐标为.①当四边形是平行四边形时，求的值；②连结、，当取最大值时，求出此时点的坐标.

【答案】（1）；（2）①；②，.【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值；（2）①可先求得OB、OC和BE的长，再利用平行四边形的性质证明△QFC≌△BED，可证明FQ=2，可求得m的值；②记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N），连接OM、CM．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出sin∠CQO，可得出sin∠CQO的值随着OM的增大而减小，则可得与直线y=1相切，再结合勾股定理可求得Q点的坐标．【详解】解：（1）把代入，，解得.（2）①设抛物线的对称轴与轴交于点.∵，∴，则，.令得，；令得，，解得，.∴，，.（以下有两种方法）方法1：设直线与轴交于点，则，.当四边形是平行四边形时，，∴.∴.方法2：过作的平行线与直线相交，则交点必为，设直线与轴交于点，则.∵，∵.又∵，，∴.∴，，∴.②记的外心为，则在的垂直平分线上（与轴交于点）.连结、，则，，∴，∴的值随着的减小而增大.又∵，∴当取最小值时最大，即直线时，最大，此时，与直线相切，∴，又，∴，∴.根据对称性，另一点也符合题意.综上所述，，.【点睛】本题考查二次函数综合题，熟练掌握计算法则是解题关键.模型3.弧中点模型【模型解读】1）与垂径定理相关若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．2）与圆周角定理相关若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．3）垂径定理与圆周角定理结合如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．（1）求证：AC是的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②若的半径为3，BF=2，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②8【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等结合题目条件可进一步推出∠DBA=∠DAC，从而得到∠BAC=90°，即可得证；（2）①由圆周角定理得出∠BAE=∠DAE，由三角形的外角性质得出∠CAF=∠DBA+∠BAE，从而求出∠CFA=∠CAF，即可得出结论；②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可．【详解】（1）∵AB是的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵∠DEA=∠DBA，∠DAC=∠DEA，∴∠DBA=∠DAC，∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，∵AB是的直径，∠BAC=90°，∴AC是的切线；（2）①∵点E是的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵∠CFA=∠DBA+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∠DBA=∠DAC，∴∠CFA=∠CAF，∴CA=CF；②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，∵的半径为3，∴AB=6，在Rt△ABC中，CA2+AB2=BC2，即：x2+62=(x+2)2，解得：x=8，∴AC=8．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，以及三角形相关知识点，综合运用圆的相关定理和性质是解题关键．变式1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且．(1)求证：是的切线；(2)与的延长线交于点，若，，，求证：；(3)求的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线；（2）先根据平行线的性质得：∠BHC＝∠BDE＝90°．由垂径定理得AH＝CH，，由垂直平分线的性质得BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF＝2AF；（3）设AF＝x，则DF＝CF﹣CD＝2x﹣2，根据勾股定理列方程可解答．（1）证明：连接，如图1，∵四边形内接于，，∴是的直径，即点在上．∴．∴．∵．又∵，∴∠CED＝∠BDC∴，即．∴∵OD是的半径∴是的切线．、（2）证明：如图2，与交于点，∵，∴∴∴∴BD垂直平分AC∴，．∵，，∴．∴∴．（3）解：设，则CF＝2x，．在中，，∴．解得：，（舍）．∴．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝4是解本题的关键．变式2．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．（1）求证：DH＝DB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②DF＝．【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，进而判断出∠DHB=∠DBH，即可得出结论；（2）①先判断出OD∥AC，进而判断出OD⊥EF，即可得出结论；②先判断出△CDE≌△BDG，得出GB=CE=1，再判断出△DBG∽△ABD，求出DB2=5，即DB=，DG=2，进而求出AE=AG=4，最后判断出△OFD∽△AFE即可得出结论．【详解】（1）证明：连接HB，∵点H是△ABC的内心，∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，∴∠DHB＝∠DBH，∴DH＝DB；（2）①连接OD，∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC∴OD∥AC，∵AC⊥BC，BC∥EF，∴AC⊥EF，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；②过点D作DG⊥AB于G，∵∠EAD＝∠DAB，∴DE＝DG，∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，∴△CDE≌△BDG，∴GB＝CE＝1，在Rt△ADB中，DG⊥AB，∴∠DAB＝∠BDG，∵∠DBG＝∠ABD，∴△DBG∽△ABD，∴，∴DB2＝AB•BG＝5×1＝5，∴DB＝，DG＝2，∴ED＝2，∵H是内心，∴AE＝AG＝4，∵DO∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴，∴，∴DF＝．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB是解本题的关键．变式3．（2023秋·山东德州·九年级校考期末）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；（2）利用勾股定理求出的长，进而求出，证明；得到，则．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵圆心O在上，∴是的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）解：在中，由勾股定理得，∵，∴，∵为的直径，∴，在中，，即，∴；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∴，∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．课后专项训练：1．（2022·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，从而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性质列式可求BE的长度，从而可求得AE的长度．【详解】解：延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，如图，∵BC为⊙O的直径，MD⊥BC于点D∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM又∠BMF=∠FAB∴∠BFM=∠FAB∴∠BFE=∠FAB∵∠EBF=∠FBA∴△BFA∽△BEF∴即∴BE=∴AE=4-=故选：A．【点睛】本题考查垂径定理及三角形相似的判定和性质，解题的关键是准确做出辅助线，得出三角形相似．2．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，是的外接圆，是的直径，D是的中点，连接交于点E，连接，且，若，则的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】过点作于，由圆周角的定理和三角形的外角性质可证，可得，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求的长，由平行线分线段成比例可求的长，即可求解．【详解】解：连接，过点作于，是的中点，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，求出的长是本题的关键．3．（2022·浙江温州·温州市第十二中学校考二模）如图是一个矩形足球球场，AB为球门，于点D，米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知米，米．则__________；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米，此时门将站在张角内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离__________米时，刚好能成功防守．【答案】

【分析】根据题目构造相似三角形，通过相似的性质，即可求解；【详解】解：过点B作，，，，，，，，，，，故答案为：如图，作，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：.【点睛】本题主要考查锐角三角函数、相似三角形的应用，构造相似三角形并通过相似的性质求解是解题的关键．4．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，是半的直径，点C是弧的中点，点E是弧的中点，连接交于点F，则________．【答案】【分析】连接交于点H，根据点E是弧的中点，可得，从而证得，，进而得到，，设，则，，可得，即可求解．【详解】解：如图，连接交于点H，∵点E是弧的中点，∴，∵是半的直径，∴，∴，∴，，∴，，∵点C是弧的中点，∴，∴，设，则，，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，正确利用弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．5．（2022·河南三门峡·统考二模）阅读材料，并完成相应任务．问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；(2)如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______．【答案】(1)见详解(2)2【分析】（1）正确解读题意，证，即可证明；（2）根据（1）的思路即可求解；（1）解：在中∵点M是的中点在和中（2）如图，在BC上截取，连接MB，MA，MD，MC．在中∵在和中，故答案是：2．【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等，掌握相关知识，正确解读题意是解本题的关键．6．（2022秋·九年级课时练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理：阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明，过程如下：证明：如图2所示，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴，任务：(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边内接于⊙O，，D为上一点，，于点E，请直接写出的周长．【答案】(1)证明见解析；(2)的周长为【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出BE的长即可得出答案．（1）证明：如图2所示，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴，在和中，∴，∴．又∵，∴，∴；（2）解：如图3，截取，连接AF，AD，CD．则．∵是等边三角形，∴，在和中，∴，∴．∵，∴，则．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴的周长为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．7．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门A