专题11压轴题(平行线的性质与判定提升题)(原卷版+解析)

11压轴题（平行线的性质与判定提升题）1．我们规定：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这个三角形为等角三角形．(1)如图1，∠ABC的角平分线交AC于D，交AB于E，①请在图1中依题意补全图形；②△BDE______等角三角形；(填“是”或“不是”)．(2)如图2，AF是∠GAC的角平分线，．判断△ABC是不是等角三角形，并说明理由．(3)如图3，BM，CM分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．2．已知BCOA，∠B＝∠OAC＝104°，试回答下列问题：(1)如图（1），求证：OBAC．(2)如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．(3)在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB：∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．3．如图，直线，直线和直线分别交于C，D两点，点A，B分别在直线上，点P在直线上，连结．(1)如图①若点P在线段上，，则的大小为__________度；(2)如图①若点P在线段上（不与点C，D重合），直接写出之间的数量关系；(3)如图②若点P在线段的延长线上或在其反向延长线上，写出之间的数量关系；画出图形，并说明理由．4．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程解：过点A作，∴．又∵∴解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．5．如图1，已知直线平行直线，点为直线上一点，点为直线上一点，且，点是直线上一动点，且点在点右侧，过点作交直线于点，连接．(1)若平分，请直接写出的度数；(2)作，交直线于点，平分．（说明：解答过程用数字表示角）①如图2，若点，都在点的右侧，求的度数．②在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由．6．如图，已知．(1)求证：；(2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数．7．问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当时，求证：．(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当则_______度，当时，则_______度，（用含x的代数式表示）操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．8．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．9．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．(1)求证：ABCD；(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，画出图形，并说明理由．10．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．(1)如图1，若GMGN，求∠AMG+∠CNG的度数；(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数？11．【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．(1)则∠P=______，∠E=______．(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．12．已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．13．阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）14．探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；15．如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．16．（1）如图①，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．证明：如图①过点E作EFAB．∴∠A＝∠1（

）∵ABCD（已知）EFAB（辅助线作法）∴CDEF（

）∴∠2＝∠DCE（

）∵∠AEC＝∠1+∠2∴∠AEC＝∠A+∠DCE（

）（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°（3）如图③，延长线段AE的延长线交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为．（请直接写出答案）17．【发现】如图，已知CD，直线AB，CD被EF所截．若EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；【变式】如图，已知，∠M＝∠N，求证∠1＝∠2；【拓展】如图，CD，∠1＝∠2，求证∠M＝∠N．18．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．解：过点A作DEBC．∵DEBC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有的功能．方法运用：如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB）解决问题：如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1=度．【拓展发现】①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______；②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______．19．已知：如图，，GH过点P．(1)如图1，若，，则______（直接写出结果）；(2)如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若，，求∠EPQ的度数；(3)如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．20．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．21．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作∵∵，∴∴∴∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若，，求；(2)如图，，BE平分，CF平分，，求．22．【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．23．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．24．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．①当NOEF，PMEF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．25．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝；(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系：；②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．(3)将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）：．11压轴题（平行线的性质与判定提升题）1．我们规定：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这个三角形为等角三角形．(1)如图1，∠ABC的角平分线交AC于D，交AB于E，①请在图1中依题意补全图形；②△BDE______等角三角形；(填“是”或“不是”)．(2)如图2，AF是∠GAC的角平分线，．判断△ABC是不是等角三角形，并说明理由．(3)如图3，BM，CM分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．【答案】(1)图见解析，是；(2)△ABC是等角三角形，理由见解析；(3)见解析【详解】（1）①如图所示：②∵，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴△BDE是等角三角形；故答案为：是．（2）△ABC是等角三角形，理由如下，∵，∴∠GAF=∠ABC，∠FAC=∠ACB，∵AF平分∠GAC，∴∠GAF=∠FAC，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等角三角形．（3）如图，过点M作，交AB边于点D，交AC边于点E，∵，∴∠DMB=∠MBC，∠EMC=∠MCB，∵BM，CM分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBM=∠MBC，∠ECM=∠MCB，∴∠DMB=∠DBM，∠EMC=∠ECM，∴△DBM和△ECM均为等角三角形．2．已知BCOA，∠B＝∠OAC＝104°，试回答下列问题：(1)如图（1），求证：OBAC．(2)如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．(3)在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB：∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．【答案】(1)见解析；(2)38°；(3)∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由见解析，比值为【详解】（1）解：∵BCOA，∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，∴∠A+∠O=180°，∴OBAC；（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=104°，∴∠BOA=76°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=38°；（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：∵BCOA，∴∠FCO=∠COA，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠FOC=∠FCO，∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB=1：2=．3．如图，直线，直线和直线分别交于C，D两点，点A，B分别在直线上，点P在直线上，连结．(1)如图①若点P在线段上，，则的大小为__________度；(2)如图①若点P在线段上（不与点C，D重合），直接写出之间的数量关系；(3)如图②若点P在线段的延长线上或在其反向延长线上，写出之间的数量关系；画出图形，并说明理由．【答案】(1)55(2)(3)点P在线段的延长线上时，点P在线段的延长线上时．证明见详解．【详解】（1）解：如图所示，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC=15°，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）由第一问可知：∠APG=∠PAC，∠BPG=∠PBD，∴（3）如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD，∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．4．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程解：过点A作，∴．又∵∴解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．【答案】(1)∠DAC；(2)，理由见详解；(3)【详解】（1）解：过点作，，，又，；故答案为∠DAC；（2）解：，理由如下：过点作，如图所示：，，，，，即；（3）解：如图，过点作，，，，，平分，平分，，，，，．5．如图1，已知直线平行直线，点为直线上一点，点为直线上一点，且，点是直线上一动点，且点在点右侧，过点作交直线于点，连接．(1)若平分，请直接写出的度数；(2)作，交直线于点，平分．（说明：解答过程用数字表示角）①如图2，若点，都在点的右侧，求的度数．②在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)①；②存在，【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．∴的度数为．（2）解：①∵平分，∴，∵，∴∴．∴的度数为．②存在．当时，，∵，∴，∴，∵，∴．∴的度数为．6．如图，已知．(1)求证：；(2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图，过点作，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴．7．问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当时，求证：．(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当则_______度，当时，则_______度，（用含x的代数式表示）操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)

70

；(3)，理由见解析【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴．∵，分别平分和，∴，，∴，∴．（2）解：∵，分别平分和，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．当时，则，当时，则；故答案为：，；（3）解：.理由如下：∵平分，∴，∵，∴，，∴．8．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析．【详解】（1）证明：如图，过点作，，，，．又，；（2）解：．理由如下：如图，过作，，，，，，．9．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．(1)求证：ABCD；(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，画出图形，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)；(3)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，∴ABCD；（2）作EPAB，FQAB，如图，又∵ABCD，∴ABCDEP，ABCDFQ，∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED，∴＝（3）∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠EBD，∵BI平分∠HBD，∴∠HBD＝2∠IBD，如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD−∠HBD，∠EBI＝∠EBD−∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵ABCD，∴∠BHD＝∠ABH，∴∠BHD＝2∠EBI，如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵ABCD，∴∠BHD＝180°−∠ABH，∴∠BHD＝180°−2∠EBI，综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI．10．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．(1)如图1，若GMGN，求∠AMG+∠CNG的度数；(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数？【答案】(1)90°；(2)96°；(3)50°【详解】（1）如图1，过G作GHAB，∵ABCD，∴GHABCD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GKAB，过点P作PQAB，设∠GND＝α，∵GKAB，ABCD，∴GKCD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GKAB，∠BMG＝32°，∴∠MGK＝∠BMG＝32°，∵MG平分∠BMP，∴∠GMP＝∠BMG＝32°，∴∠BMP＝64°，∵PQAB，∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵ABCD，∴PQCDGK，∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α，∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°；（3）如图3，过G作GKAB，过E作ETAB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GKAB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ETAB，∴∠TEM＝∠AME＝2x，∵CDAB，ABKG，∴GKCD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE∠CNG＝90°y，∵ETAB，ABCD，∴ETCD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠MGN＝105°，∴2（90°y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．11．【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．(1)则∠P=______，∠E=______．(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．【答案】(1)110°，55°；(2)∠E的度数为，∠E的度数为；(3)∠DEB=90°-∠P【详解】（1）如图1，过E作EFAB，而ABCD，∴ABCDEF，∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠ABE=∠ABP=25°，∠CDE=∠CDP=30°，∴∠BED=25°+30°=55°，同理：∠BPD=110°．故答案为：110°，55°；（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∴∠ABE=∠ABP=α，∠CDE=∠CDP=，∵ABCD，∴∠CDF=∠AFE=，∴∠E=∠AFE-∠ABE=，∵∠ABE与∠CDE的角平分线交于点E，∴∠ABE=∠ABE=，∠CDE=∠CDE=，∵ABCD，∴∠CDG=∠AGE=，∴∠E=∠AGE-∠ABE=，同理可得，∠E=，以此类推，∠E的度数为；（3）∠DEB=90°-∠P．理由如下：如图3，过E作EGAB，而ABCD，∴ABCDEG，∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，∴∠FDE=∠PDF=(180°-∠CDP)，∠ABQ=∠ABP，∴∠DEB=∠ABP+(180°-∠CDP)=90°-(∠CDP-∠ABP)，∵ABCD，∴∠CDP=∠AHP，∴∠DEB=90°-(∠CDP-∠ABP)=90°-(∠AHP-∠ABP)=90°-∠P．12．已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．【答案】(1)25°；(2)∠AMP＝；(3)∠QND＝2∠AMP．【详解】（1）解：过P作PEAB，∵ABCD，∴PECD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND），∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；故答案为：25°（2）过P作PFAB，∵ABCD，∴PFCD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND），∵∠QND＝，∴∠PNC＝＝90°－，∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝；即∠AMP＝；（3）过P作PFAB，∵ABCD，∴PFCD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）＝90°－，∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝．即∠QND＝2∠AMP．13．阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）【答案】(1)；(2)【详解】（1）如图1，过点作，

，

，，，，（2）过点E作EFAB，如图2，则∠BEF+∠EBA=180°，∴∠BEF=180°-∠EBA，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠EDC，∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．14．探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【详解】（1）解：如图①，过点E作EMAB，∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如图②，过点F作NFAB，∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如图③，过点G作GMAB，∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．15．如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．【答案】(1)∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由见解析；(2)∠BMC=∠DCM-∠ABM或∠BMC=∠ABM-∠DCM．【详解】（1）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下：如图，过M作MFAB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，又∵ABCD，∴MFCD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∵ABCD，∴MFCD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∵ABCD，∴MFCD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．16．（1）如图①，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．证明：如图①过点E作EFAB．∴∠A＝∠1（

）∵ABCD（已知）EFAB（辅助线作法）∴CDEF（

）∴∠2＝∠DCE（

）∵∠AEC＝∠1+∠2∴∠AEC＝∠A+∠DCE（

）（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°（3）如图③，延长线段AE的延长线交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为．（请直接写出答案）【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）70°【详解】（1）证明：如图①过点E作EFAB．∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等）∵ABCD（已知）EFAB（辅助线作法）∴CDEF（平行于同一直线的两条直线平行）∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）∵∠AEC＝∠1+∠2∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换）（2）证明：过点E作EFAB，如图所示，∵ABCD，∴EFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°；（3）同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE=360°，∴∠AEC=360°-∠A-∠DCE=360°-130°-120°=110°，∴∠MEC=180°-∠AEC=180°-110°=70°．17．【发现】如图，已知CD，直线AB，CD被EF所截．若EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；【变式】如图，已知，∠M＝∠N，求证∠1＝∠2；【拓展】如图，CD，∠1＝∠2，求证∠M＝∠N．【答案】【发现】EMFN；证明见解析；【变式】证明见解析；【拓展】证明见解析．【详解】解：EMFN；证明：∵ABCD，∴∠AEF＝∠EFD．∵EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠DFE，∴∠MEF＝∠NFE，∴EMFN；【变式】证明：∵∠AEF+∠EFC＝180°，∴ABCD，∴∠AEF＝∠DFE．∵∠M＝∠N，∴MEFN，∴∠MEF＝∠EFN，∴∠AEF-∠MEF＝∠EFD-∠EFN，即∠1＝∠2；【拓展】证明：如图，延长EM交CD于点P．∵ABCD，∴∠1＝∠EPD．∵∠1＝∠2，∴∠EPD＝∠2，∴MEFN，∴∠EMN＝∠N．18．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．解：过点A作DEBC．∵DEBC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有的功能．方法运用：如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB）解决问题：如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1=度．【拓展发现】①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______；②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______．【答案】解题反思：等角转化；方法运用：见解析；解决问题：15；拓展发现：①∠B+∠D=∠C；②∠B+∠D+∠C=360°【详解】解：解题反思：由题意知，平行线具有等角转化的功能，故答案为：等角转化；方法运用：过点C作CFAB，∵ABDE，∴ABCFDE，∴∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，∴∠D+∠BCD-∠B=180°；解决问题：由方法运用知，∠2+∠3-∠1=180°，∴∠1=∠2+∠3-180°=60°+90°+45°-180°=15°，故答案为：15；拓展发现：①由方法运用同理可得：∠B+∠D=∠C，故答案为：∠B+∠D=∠C；②由方法运用同理可得：∠B+∠D+∠C=360°，故答案为：∠B+∠D+∠C=360°．19．已知：如图，，GH过点P．(1)如图1，若，，则______（直接写出结果）；(2)如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若，，求∠EPQ的度数；(3)如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．【答案】(1)70°；(2)120°；(3)平行，理由见解析【详解】（1）解：，，，，故答案为：；（2）解：，，由（1）可得：；（3）解：．理由：，，，平分．，，，，．20．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．【答案】(1)，；(2)或；(3)6秒或秒【详解】（1）解：由题意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①当射线在内部时，如图2（1），；②当射线在外部时，如图2（2），，综上所述，的度数为或；（3）∵平分，∴，①如图3，，∵平分，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；②如图3（1），此时，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或秒．21．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作∵∵，∴∴∴∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若，，求；(2)如图，，BE平分，CF平分，，求．【答案】(1)；(2)【详解】（1）作，，如图，且∴∴，，∴，∵，∴；（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，∵平分，平分，∴，，∵∴∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．22．【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或【详解】解：（1）过点作，如图所示：，，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行同旁内角互补，，，，．（2），理由如下：如图所示，过作交于，，，，，；（3）当在延长线时，如图所示：过作交于，同（2）可知：，，；当在延长线时，如图所示：同（2）可知：，，．综上所述，与、之间的数量关系为：或．23．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析；(2)∠MAB﹣∠D＝90°；(3)∠MAB＝∠EMD；45【详解】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如图③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．24．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠E