2024-2025学年重庆市西北狼联盟高二上学期入学联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市西北狼联盟高二上学期入学联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(x+1,−2)，b=(−2x,3)，若a//b，则实数xA.1 B.3 C.−3 D.−2.已知复数z=21−i(i是虚数单位)，则共轭复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，已知A′O′=B′O′=O′E′=C′E′=D′E′=π，则该图形的面积为(

)

A.4π2 B.π2 C.24.已知一组数据：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130.则这组数据的第25百分位数是(

)A.123 B.124 C.125 D.1265.若a，b，c，m，n为空间直线，α，β为平面，则下列说法错误的是(

)A.a//b，b⊥c，则a⊥c

B.m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

C.m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n

D.a，b是异面直线，则a，b在α内的射影为两条相交直线6.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，CF=13A.23 B.36 C.37.如图，一架高空侦察飞机以600m/s的速度在海拔16000m的高空沿水平方向飞行，在A点处测得某山顶M的俯角为45∘，经过15s后在B点处测得该山顶的俯角为75∘，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为(

)(A.2436m B.3706m C.3200m D.3146m8.如图，在▵ABC中，BD=23BC，E为线段AD上的动点，且CE=xCA+yA.8 B.12 C.32 D.16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1,x2A.若数据x1,x2,⋯⋯,xn的方差s2=0，则所有数据x1,x2,⋯⋯,xn圴相同

B.若数据x1,x2,⋯⋯,10.若向量a,b满足|a|=|A.a⋅b=−2 B.a与b的夹角为π3

C.a⊥(a−211.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD的长度是弧BC长度的3A.弧AD长度为32πB.曲池的体积为10π3

C.曲池的表面积为20+14πD.三棱锥A−CC1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是

．13.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为

．

14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP⋅AB的取值范围为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知复数z=a+bia∈R,b∈R满足z=2，(1)求复数z；(2)设z，z2，z−z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，若A点位于第一象限，求16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC=120°，点E，F分别是线段PA，AD的中点．(1)求证：PC//平面EBD；(2)若AB=2，求四棱锥P−DFBC的体积．17.(本小题12分)为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,1)，[1,2)，…，[8,9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a=b．(1)求直方图中a,b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．18.(本小题12分)

△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA−sinC=ba+c(sinB−sinC)．

(1)求角A；

(2)从三个条件：①a=3；②b=3；③△ABC的面积为3319.(本小题12分)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π(1)证明：CN⊥平面ABB(2)证明：平面AMB1⊥(3)若AA1=2AB，求二面角A−M参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.D

6.C

7.B

8.C

9.AC

10.BC

11.ACD

12.10

13.414.−8,24

15.解：(1)z=a+bia,b∈R则z2由题意得a2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=−1，所以z=1+i或z=−1−i．(2)因为A位于第一象限，所以z=1+i，z2z−z所以A1,1，B0,2，直线AC:x=1，所以且B到AC的距离为1；∴S所以S▵ABC

16.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，连接AC∩BD=O，连EO，如图，因四边形ABCD是菱形，则O是AC的中点，而E是PA的中点，则PC//EO，又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC//平面EBD．(2)在正▵PAD中，F是线段AD的中点，则PF⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PF⊂平面PAD，因此，PF⊥平面ABCD，且PF=在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，则∠BAD=60∘，▵ABD是正三角形，显然四边形DFBC是直角梯形，其面积为SDFBC所以四棱锥P−DFBC的体积V=1

17.解：(1)由频率分布直方图可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，又0.4a=b，则a=0.15，b=0.06，该市居民用水的平均数估计为：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02=4.07；(2)由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.04+0.08=0.12，则月均用水量不低于2吨的频率为：1−0.12=0.88，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：40×0.88=35.2(万)；(3)由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x(吨)，5<x<6，∴0.73+0.15(x−5)=0.85

，解得x=5.8(吨)，即标准为5.8吨．

18.解：(1)因为sinA−sinC=ba+c(sinB−sinC)，所以a−c=ba+c(b−c)，

得b2+c2−a2=bc，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)分三种情况求解：

选择①a=3，

因为A=π3,a=3，

由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23，

即△ABC的周长l=a+b+c=23sinB+23sinC+3=23sinB+23sin(2π3−B)+3=33sinB+3cosB+3=6sin(B+π6)+3，

因为B∈(0,2π3)，所以π6<B+π6<5π6,12<sin(B+π19.解：(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，

A则AA1⊥AC，AA1⊥AB，

所以∠BAC=π3，

因为AB=AC，所以因为N为AB的中点，所以CN⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，

因为AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB(2)证明：取AB1的中点D，连接DM，因为N为AB的中点，

所以DN//BB1，且又CM//BB1，且CM=12BB1所以四边形CNDM为平行四边形，

则DM/​/CN，由(1)知CN⊥平面ABB1A1，

则又DM⊂平面AMB1，

所以平面AMB1⊥(3)取BC的中点F，连接AF