2024-2025学年重庆市乌江新高考协作体高三（上）调研数学试卷（9月份）（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市乌江新高考协作体高三（上）调研数学试卷（9月份）（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=1−i，则|z2|=A.14 B.1 C.2 D.2.下列命题中的真命题是(

)A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.若a2=b2，则3.若向量a=(x,1)，b=(1,−1)，且a//(a+2A.5 B.2 C.2 4.以下关于统计分析的描述，哪一个是正确的？(

)A.样本均值越接近总体均值，样本的代表性越好

B.样本标准差越大，数据的离散程度越小

C.相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量的线性关系越弱

D.决定系数R2越接近15.已知双曲线C：x2a−y2b=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线CA.615 B.355 6.已知函数f(x)=asin2ωx+cos2ωx(ω>0)图象的对称轴方程为x=kπ+π4，(k∈Z).则f(aA.22 B.−22 7.三棱锥S−ABC的侧棱SA是它的外接球的直径，且SA=8，AB=1，BC=3，AC=13，则三棱锥S−ABC的体积为(

)A.353 B.352 C.8.已知在函数f(x)=ln(x+1),x≥0ax(x+b),x<0的图象上存在四个点A，B，C，D构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则一定有A.ab>1 B.f(−2)>0 C.f(x)>−12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设n∈N∗，曲线y=xn+1在点(1,1)处切线的斜率为kn，与x轴的交点为(xn,0)A.kn+yn=−1 B.yn10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x−1)2+y2=2A.当圆C1和圆C2存在公共点时，则实数a的取值范围为[−3,5]

B.△ABC1的面积最大值为1

C.若原点O始终在动弦AB上，则OA⋅OB不是定值

D.若动点P11.已知函数f(x)=|x2+1x−1|和A.若g(x)=0有两个相同的实数根，则函数y=cx+(b2−4c+1)经过一二四象限

B.f(x)的图象和一个以(1,0)为圆心，1为半径的圆没有交点

C.f(x)可以在−12≤x≤0时取到最小值22−2

D.若g(x)有两个不同零点，设这两个零点分别为x1、x2(x1在x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若S4nS13.若α∈(0,π2)，β∈(−π2,π14.对于两个事件M，N，若0<P(M)<1，0<P(M)<1，称P(M,N)=P(MN)−P(M)P(N)P(M)P(M−)P(N)P(N−)为事件M，N的相关系数.近日重庆酷暑难耐，小张、小李、小王、小刘四人计划周末去避暑，现有四个可出游的景点：南天湖、金佛山、仙女山和黑山谷，若事件M四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB−bcosA=b+c．

(1)求角A；

(2)若a=3，2sinC+sinB=62，求16.(本小题15分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+an=3．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn=−17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax+lnx−a(a∈R)，且f(x)≥0恒成立．

(1)求实数a的取值集合；

(2)证明：ex≥18.(本小题15分)

近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止．

(1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？

(2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？

(3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？19.(本小题17分)

已知Ω是棱长为2的正四面体ABCD，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的k阶等距平面，M为Ω的k阶等距集．

(1)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能值以及相应的α的个数；

(2)已知β为Ω的4阶等距平面，且点A与点B，C，D分别位于β的两侧.若Ω的4阶等距集为{b,2b,3b,4b}，其中点A到β的距离为b，求平面BCD与β夹角的余弦值．

参考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.BC

12.13

13.314.1915.解；(1)acosB−bcosA=b+c，

由正弦定理得：sinAcosB−sinBcosA=sinB+sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)，

即sinAcosB−sinBcosA=sinB+sin(A+B)，

所以sinAcosB−sinBcosA=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

所以−2sinBcosA=sinB，

因为sinB>0，

可得cosA=−12，

又因为0<A<π，

所以A=23π；

(2)2sinC+sinB=2sin(B+2π3)+sinB

=2(−12sinB+32cosB)+sinB

=3cosB=62，

可得cosB=22，

因为0<B<π，

16.解：(1)当n=1时，由a1+a1=3，解得a1=32，

当n⩾2时，Sn+an=3，Sn−1+an−1=3，

两方程相减得2an−an−1=0，

所以{an}是首项为32，公比为12的等比数列，

所以an=32n；

(2)由(1)知bn=−anlog2an+13=3n+32n，

所以Tn17.解：(1)因为f(x)=ax+lnx−a，

则f′(x)=a−1x(x>0)，

①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，

当x>1时，f(x)<f(1)=0，这与f(x)≥0矛盾，不合题意．

②当a>0时，

由f′(x)<0得0<x<1a，f(x)单调递减；由f′(x)>0得x>1a，f(x)单调递增，

∴x=1a时，函数f(x)取得唯一极小值即最小值．

又∵f(x)≥0且f(1)=0，

∴1a=1，解得a=1，故实数a的取值集合是{1}．

(2)由(1)可知：a=1时，f(x)≥0，即lnx≤x−1对任意x>0恒成立．

∴要证明：ex≥2+x2+(e−3)x+lnx，

则只需要证明ex≥1+x2+(e−2)x，

即ex−1−x2−(e−2)x≥0．

令ℎ(x)=ex−1−x2−(e−2)x，x>0，ℎ′(x)=ex−2x−(e−2)，

令u(x)=ex−2x−(e−2)，u′(x)=ex−2，

令u′(x)=ex−2=0，解得x=ln2．

当x∈(0,ln2)时，u′(x)<0，u(x)单调递减，

当x∈(ln2,+∞)时，u′(x)>0，u(x)单调递增．

即函数ℎ′(x)在(0,ln2)内单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增．

而ℎ′(0)=1−(e−2)=3−e>0，ℎ′(ln2)<ℎ′(1)=0．

所以存在x018.解：(1)先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有6名“麻瓜”，可得A64种不同的搜索方法，

再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有A42种搜索方法，

再排余下4个的搜索位置，有A44种搜索方法．

由分步相乘原理可得A64A42A44=103680种不同的搜索方法．

(2)由题意可得第5次搜索恰为最后一个“魔法师”，

则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现，

所以共有C41C61A44=576种不同的搜索方法．

(3)由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花．这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙．

同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中．因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况．

设an为经过n次传花后花在甲手上的线路数，其中a1=0．

则an+1为经过n+1次传花后花在甲手上的线路数，

所以an+a19.解：(1)①情形一：分别取AB，AC，AD的中点M，E，F，

由中位线性质可知DE=EF=22，

此时平面DEF为Ω的一个1阶等距平面，

b为正四面体高的一半，等于12×63×2=33，

由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面α平行于其中一个面，有4种情况；

②情形二：分别取AB，AC，CD，DB的中点P，Q，R，S，

将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，

则a为正方体棱长的一半，等于12，

由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，

这样的1阶等距平面α平行于其中一组异面直线，有3种情况，

综上，当a的值为33