2024-2025学年山东省日照市校际联考高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省日照市校际联考高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x|1<x<2，N=x|x<3，则M∩N=(

)A.x|x<2 B.x|x<3 C.x|1<x<2 D.x|1<x<32.下列函数既是幂函数，又在(−∞,0)上单调递减的是(

)A.y=−x B.y=x−2 C.y=(13.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，则“k=2”是“a1A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知sinA+cosB=23，cosA+sinB=1，则sin(A+B)=A.−518 B.49 C.−5.已知a=log63,b=sinA.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c6.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有A.(−∞,−2)∪(2,+∞) B.(−∞,−2)∪(0,2)

C.(−2,0)∪(2,+∞) D.(−2,0)∪(0,2)7.已知函数f(x)=sin4ωx2+cos4ωx2(ω>0)，对任意的实数a，f(x)A.1 B.2 C.3 D.48.数列{an}满足a1∈Z，an+1+an=2n+3，且其前A.99 B.103 C.107 D.198二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a，b，c，d∈R，则下列结论正确的有(

)A.若a>b，c>d，则ac>bd

B.若a<b<0，则a2>b2

C.若a>b>0，m>0，则b+ma+m>10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,−π2<φ<A.f(x)的表达式可以写成f(x)=2sin(2x−π4)

B.f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数

C.ℎ(x)=f(x)+1的对称中心(−π8+kπ11.已知函数f(x)=esinx−ecosx，其中A.f(x)在(0,π2)上是增函数

B.f(x)的图象关于点(π4,0)中心对称

C.f(x)在(0,π)上有两个极值点

D.若x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x2+1,x≤0log213.分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”(n∈N∗).规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是______.(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)

14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2b2=3a(a+c)，则sinC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足a1=2,an+1an=n+1n．

(1)求数列{a16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3,a=2．

(1)若sinB−sinC=12，求b；

(2)若17.(本小题15分)

已知函数f(x)=e−xln(x+m)．

(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当m≤2时，求证：18.(本小题17分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=3n2+5n，数列{bn}是等比数列，公比q>0，b1=6，b3=2a3+4．

(1)求数列{an}和{bn}19.(本小题17分)

已知定义域为D的函数y=fn(x)是关于x的函数，给定集合U且n∈U，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数.例如：定义域为R的函数fn(x)=nx，当U=N∗时，有f1(x)=x，f2(x)=2x，…，若存在非空集合A⊆U满足当且仅当n∈A时，函数fn(x)在D上存在零点，则称fn(x)是A上的“跳跃函数”．

(1)设U=Z，D=(−∞,2]，若函数fn(x)=2x−n2是A上的“跳跃函数”，求集合A；

(2)设fn(x)=4nx2−(6n+1)x，D=(1,+∞)，若不存在集合A使fn(x)为A参考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.D

6.B

7.B

8.B

9.BCD

10.AB

11.ABD

12.1213.12

14.(3+15.解：(1)由an+1an=n+1n，得an+1n+1=ann，

所以ann=an−1n−1=…=16.解：(1)因为A+B+C=π且A=π3，故B+C=23π，所以B∈(0,23π)，

代入可得：sinB−sin(2π3−B)=12，

因此sinB−32cosB−12sinB=12sinB−32cosB=12，

化简可得：sin(B−π3)=12，则cos(B−π3)=±32，

因为B∈(0,23π)，所以B−13π∈(−13π,13π)，

所以cos(B−π3)=3217.(1)解：当m=0时，f(x)=e−xlnx，

则f′(x)=−e−xlnx+e−xx=(1x−lnx)e−x，

又f(1)=0，f′(1)=1e，

所以切线方程为：y=1e(x−1)，即x−ey−1=0；

(2)证明：要证f(x)<1，即e−xln(x+m)<1，需证ln(x+m)<ex，

当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，

故只需证明ln(x+2)<ex，

令g(x)=ex−ln(x+2)，

则g′(x)=ex−1x+2在区间(−2,+∞)上单调递增，

又g′(−1)<0，g′(0)>0，

故g′(x)=0在区间(−2,+∞)18.解：(1)当n=1时，2S1=2a1=8⇒a1=4，

当n≥2时，2Sn=3n2+5n2Sn−1=3(n−1)2+5(n−1)，

所以an=Sn−Sn−1=3n+1，

显然a1符合上式，

所以an=3n+1，

由题意b3=2(3×3+1)+4=24=b1q2⇒q=2，

所以bn=b1qn−1=3⋅2n．

(2)(i)易知210=1024，211=2048>202419.解：(1)依题意，所求的A为使得fn(x)=2x−n2在(−∞,2]上有零点的全体n．

由于fn(x)=2x−n2在(−∞,2]上有零点，

等价于关于x的方程2x=n2在(−∞,2]上有解，

注意到当x∈(−∞,2]时，2x的取值范围是(0,4]，

故关于x的方程2x=n2在(−∞,2]上有解，

当且仅当n2∈(0,4]，从而所求A={−2,−1,1,2}．

(2)依题意，不存在集合A使f(x)为A上的“跳跃函数”，

当且仅当对任意的n∈U，fn(x)在D上都不存在零点．

这表明，全体满足条件的U的并集，

就是使得fn(x)在D上不存在零点的全体n构成的集合．

从而我们要求出全部的n，

使得fn(x)=4nx2−(6n+1)x在(1,+∞)上没有零点，

即关于x的方程4nx2−(6n+1)x=0在(1,+∞)上没有解，

该方程在(1,+∞)上可等价变形为4nx−(6n+1)=0，

当n=0时，方程恒无解，

当n≠0时，可变形为x=6n+14n，

即6n+14n≤1⇔2n+14n≤0⇒n(2n+1)≤0⇒−12≤n<0．

综上，使得fn(x)在(1,+∞)上没有零点的n构成的集合为[−12,0]，

故所求的集合为[−12,0]．

(3)首先用数学归纳法证明：对任意正整数n，有fn(x)=nx−(1−x)n．

当n=1时，有nx−(1−x)n=x−(1−x)=2x−1=f1(x)，故结论成立；

假设结论对n=k成立，即fk(x)=kx−(1−x)k，

则有：fk+1(x)=fk(x)+x(1−x)k+x

=kx−(1−x)k+x(1−x)k+x

=(k+1)x−(1−x)k+1．

故结论对n=k+1也成立．

综上，对任意正整数n，有fn(x)=nx−(1−x)n．

当n为奇数时，对x∈(