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第=page11页,共=sectionpages11页2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、单选题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B={−2,−1,2,3},则A∩B=(
)A.{3} B.{0,l}
C.{−2,−1,2} D.{−2,−1,0,1,2,3}2.计算3+4i1−2i=(
)A.1−2i B.1+2i C.−1−2i D.−1+2i3.函数y=sinx+3cosx的最大值是A.1 B.6 C.2 D.4.已知双曲线C:x2a2−y2b2A.y=±3x B.y=±2x C.y=±13x5.已知平面向量a=(1,1),b=(x+1,y),则(
)A.“x=1,y=−2”是“a//b”的必要条件
B.“x=1,y=−2”是“a//b”的充分条件
C.“x=1,y=−2”是“a⊥b”的必要条件
D.“6.已知函数f(x)=ln(xA.f(x)是奇函数,不是增函数 B.f(x)是增函数,不是奇函数
C.f(x)既是奇函数,也是增函数 D.f(x)既不是奇函数,也不是增函数7.若(a+x)4的展开式中x的系数是−12,则A.1 B.12 C.−128.圆x2+(y+2)2=4与圆(x+2)2+(y−1)2A.2x−3y+2=0 B.3x+2y+2=0 C.3x+2y−2=0 D.2x−3y−2=09.已知x=π4和x=π2都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)A.4 B.2 C.1 D.110.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点到F的距离等于到直线x=−1的距离,则p=(
)A.2 B.1 C.12 D.11.正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上,O到该正四棱柱侧面的距离为12,则该正四棱柱的体积是(
)A.22 B.2 C.12.已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当0≤x≤1时,f(x)=x2+2x,则当2≤x≤3时,f(x)=A.x2+2x B.x2−2x C.二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。13.用1,2,…,9这9个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有______个.14.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=16,S15.不等式2|x|≤|x−2|的解集为______.16.函数f(x)=ex−2x17.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x−1)f(x+1)=x2+4x+3,f(1)=3,则f(9)=18.已知二面角α−AB−β的大小为90°,正方形ABCD在α内,等边三角形ABF在β内,则异面直线AC与BF所成角的余弦值为______.三、解答题:本题共4小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。19.(本小题15分)
已知△ABC中,A=π3,AC=ABtanB.
(1)求B;
(2)求sinA+sinB+sinC.20.(本小题15分)
在一个工作日中,某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个,该工人使用甲仪器的概率为0.6,使用乙仪器的概率为0.5,且不同工作日使用仪器的情况相互独立.
(1)求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率;
(2)记X为在100个工作日中,该工人仅使用甲仪器的天数,求E(X).21.(本小题15分)
记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=4,an+1=4(n+1)2n−1(Sn22.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,点A(−a,0),B(0,b),过F的直线x−y+1=0交C于B,P两点.
(1)求P的坐标;
(2)若点R(−2,参考答案1.C
2.D
3.C
4.A
5.D
6.C
7.C
8.D
9.A
10.A
11.B
12.B
13.280
14.−5
15.[−2,216.2−2ln2
17.11
18.219.解:(1)由AC=ABtanB,可得tanB=bc,
由正弦定理,可得sinBcosB=sinBsinC,
又B∈(0,π),sinB≠0,所以cosB=sinC,
由诱导公式,可得cosB=sin(A+B)=cos[π2−(A+B)],
所以B=π2−(A+B)+2kπ或B=(A+B)−π2+2kπ,k∈Z,
又A=π3,所以B=π12+kπ,k∈Z,
又B∈(0,π),故B20.解:(1)设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”,
则P(A)=0.6×0.5=0.3;
(2)因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6×(1−0.5)=0.3,
则X~B(100,0.3),
所以E(X)=100×0.3=30.
21.解:(1)证明:∵an+1=4(n+1)2n−1(Sn−1),
∴Sn+1−Sn=4(n+1)2n−1(Sn−1),
∴(2n−1)Sn+1−(2n−1)Sn=4(n+1)Sn−4(n+1),
∴(2n−1)Sn=(6n+3)Sn−4(n+1),
∴(2n−1)(Sn+1−1)=(6n+3)Sn−(6n+3),
∴(2n−1)(Sn+1−1)=3(2n+1)(S22.解:(1)因为直线x−y+1=0过焦点F和点B,
所以令y=0,得x=−1,即−c=−1,则c=1,
令x=0,得y=1,即b=1,
又a2=b2
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