2024-2025学年河南省郑州市九师联盟高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州市九师联盟高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1−i)=i，则z−的虚部为(

)A.12 B.12i C.−2.已知集合A={x|x3−x−7≤0}，B={y∈N|y=−x2A.{0} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{0,1}3.(x−1x)A.−84 B.−28 C.28 D.844.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若圆E：A.233 B.2 C.25.已知a=(2,3)，b=(−4,λ)，若p：a与b的夹角是钝角，q：λ<83，则p是qA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在锐角△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=2，且sinA−sin(B−C)=sin2B，则△ABCA.33 B.23 C.7.已知圆锥的高与底面半径之和为3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为(

)A.25π B.(25+4)π8.已知函数f(x)=ex−1,x≥0,2x,x<0,，g(x)=kx−1，若关于x的方程f(x)=g(x)有2A.(e} B.[e,+∞) C.(−18,0)∪{e}二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数a，b，c满足a<b<c，ac<0，则(

)A.ab2<b2c B.110.已知函数f(x)=sin(2x−π3)，A.f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心

B.f(x)与g(x)的图象关于x轴对称

C.f(x)与g(x)的图象关于y轴对称

D.f(x)≥g(x)的解集为[11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱AA1的中点，Q为线段A.若A1QQC=2，则D1Q⊥AQ

B.若PE=573，则动点E的轨迹长度为23π9

C.若直线PE与平面BCC1B1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知样本数据：11，12，14，a，18(a∈N)的标准差为23，则a=______．13.A，B，C，D共4位同学报名参加学校组织的暑期社会实践活动，这次社会实践活动共有：交通安全宣传，防火知识宣传，防溺水安全教育，养老院志愿者服务，国情宣传教育5个项目，每人报且仅报其中一个项目.记事件M为“四名同学所报项目互不相同”，事件N为“仅有A报了防火知识宣传”，则P(M|N)=______．14.如图，已知抛物线E：x2=4y点P是E的准线l上一动点，过点P作E的两条切线，切点分别为M，N，点D为线段MN的中点，连接PD与E交于点G，在点G作E的切线与PM，PN分别交于点S，T，△PST，△PMN的面积分别记为S△PST，S△PMN，则S四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束.已知李明答对每道题的概率均为35，且每道题是否答对相互独立．

(1)求李明没通过面试的概率；

(2)记李明所答题目的数量为X，求X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+ax2−1x(a∈R)在x=1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≤−x2+bx恒成立，求整数17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为凸四边形，且PD=AD=CD=4，PA=PC=AC=42，AB=BC．

(1)证明：AC⊥PB；

(2)已知平面APC与平面BPC夹角的余弦值为75718.(本小题17分)

已知椭圆C：x24+y23=1，点A(m,0)(m>0)与C上的点之间的距离的最大值为6．

(1)求点A到C上的点的距离的最小值；

(2)过点A且斜率不为0的直线l交C于M，N两点(点M在点N的右侧)，点N关于x轴的对称点为T．

①证明：直线MT过定点；19.(本小题17分)

若数列{an}的相邻两项或几项之间的关系由函数f(x)确定，则称f(x)为{an}的递归函数.设{an}的递归函数为f(x)=−x2+x．

(1)若0<a1<1，an+1=f(an)(n∈N∗)，证明：{an}为递减数列；

(2)若an+1=f(an)+5参考答案1.C

2.B

3.D

4.B

5.A

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABD

11.ABC

12.20

13.3814.1415.解：(1)李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，

故所求概率为C31×35×(25)3+(25)3=112625．

(2)由题意得X的取值为X234P

94436所以E(X)=2×92516.解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x+2ax+1x2(x>0)，

因为f(x)在x=1处取得极值，

所以f′(1)=1+2a+1=0，解得a=−1，

此时，f′(x)=1x−2x+1x2=−2x3+x+1x2=(1−x)(2x2+2x+1)x2，其中2x2+2x+1>0恒成立，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+∞)，并且f(x)在x=1处取得极大值．

(2)f(x)≤−x2+bx，即b≥lnxx−1x2，

令g(x)=lnxx−1x2，则b≥g(x)max，g′(x)=1−lnxx2+2x3=1−lnx+2xx2，

令ℎ(x)=1+2x−lnx，则ℎ′(x)=−2x2−1x<0，

所以ℎ(x)在(0,+∞)17.解：(1)证明：因为PD=AD=4，PA=42，

所以PD2+AD2=PA2，所以PD⊥AD，

同理PD⊥CD，又AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABCD，

所以PD⊥平面ABCD，

因为AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，

连接BD，因为AD=CD，AB=BC，DB=DB，

所以△ADB≌△CDB，

所以∠ADB=∠CDB，

又AD=CD，由等腰三角形三线合一，得BD⊥AC，

因为BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

又PB⊂平面PBD，

所以AC⊥PB；

(2)因为AD=CD=4，AC=42，

所以AD2+CD2=AC2，

所以AD⊥CD，又PD⊥AD，PD⊥CD，故AD，CD，PD两两垂直，

故以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，

所以CP=(0,−4,4)，CA=(4,−4,0)，

由(1)知DB平分∠ADC，设B(a,a,0)，所以CB=(a,a−4,0)，

设平面ACP的法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅CP=0m⋅CA=0，即−4y1+4z1=0,4x1−4y1=0,

令x1=1，得y1=1，z1=1，

所以m=(1,1,1)，

设平面BCP的法向量为n=(x2,y2,z2)，

则n⋅CP=0,n⋅CB18.解：(1)设P(x0,y0)是椭圆C上一点，则x024+y023=1，所以y02=3−34x02，

所以PA|=(m−x0)2+y02=14x02−2mx0+m2+3=14(x0−4m)2−3m2+3(−2≤x0≤2)，

因为4m>0，所以当x0=−2时，|PA|max=m2+4m+4=6，

即m2+4m−32=0，解得m=4或m=−8(舍去)，

所以|PA|=14(x0−16)2−45，

所以当x0=2时，|PA|min=2，

即点A到C上的点的距离的最小值为2．

(2)①证明：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x−4)(k≠0)，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，T(x2,−y2)，

联立

y=k(x−4)x24+y23=1，消去y并化简得(3+4k2)x2−32k2x+64k2−12=0，

所以Δ=(−32k2)2−4(3+4k2)(64k2−12)=144(1−4k2)>019.解：(1)证明：若0<x<1，

显然f(x)=x(1−x)∈(0,1)，

又0<a1<1，所