2024年中考数学一轮复习：反比例函数的图象、性质及应用（讲义）（解析版）

第12讲反比例函数的图象、性质及应用

目录

考点三反比例系数k的几何意义

一、考情分析

题型01一点一垂线

二、知识建构题型02一点两垂线

考点一反比例函数的相关概念

题型03两点一垂线

题型01用反比例函数描述数量关系题型04两点两垂线

题型判断反比例函数

02题型05两点和原点

题型根据反比例函数的定义求字母的值

03题型06两曲一平行

考点二反比例函数的图象与性质考点四反比例函数与一次函数综合

题型01判断反比例函数图象题型01一次函数图象与反比例函数图象综

题型02反比例函数点的坐标特征合

题型已知反比例函数图象，判断其解析式

03题型02一次函数与反比例函数交点问题

题型由反比例函数解析式判断其性质

04题型03一次函数与反比例函数综合应用

题型05由反比例函数图象分布象限，求k值考点五反比例函数的实际应用

题型06判断反比例函数经过象限

题型01行程问题

题型已知反比例函数增减性，求参数的取

07题型02工程问题

值范围题型03物理问题

题型08已知反比例函数增减性，求k值题型04分段问题

题型由反比例函数的性质比较大小

09题型05几何问题

题型10求反比例函数解析式

题型11与反比例函数有关的规律探究问题

考点要求新课标要求命题预测

反比例函数是非常重要的函数，年年都

反比例函数相

>理解与掌握反比例函数相关概念.会考，总分值为15分左右，常考考点为：反

关概念

比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线

>能画反比例函数的图象,根据图象和表上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的

达式y=§(kRO)探索并理解k>0和交点问题以及反比例函数的应用与综合题

反比例函数的

k<0时图象的变化情况.等.其中前三个考点多以选择、填空题的形

图象与性质

>能根据已知条件确定反比例函数的表式出题，后三个考点则是基础解答题以及压

达式.轴题的形式出题.在填空题中，对反比例函

数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐

反比例系数k的

>理解与掌握反比例系数k的几何意义.渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一

几何意义

起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需

反比例函数与要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函

一次函数综合数为背景，考察一些新定义类问题.

综合反比例函数以上特点，考生在复习

反比例函数的

>能用反比例函数解决简单实际问题该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并

实际应用日多注意其与几何图形结合题的思考探究.

一般地，形如y=k/x（k为常数，kwO）的函数称为反比例函数.

xy=k(k，0、xy#O)

娜

反比例函数y=kx'(k*0)题型01用反比例函数描述数量关系

题型判断反比例函数

的相关概念02

等号左边是函数y,等号右边是一个分式题型03根据反比例函数的定义求字母的值

特征kwO

分母中含有自变量x,且指数为1

反比例函数的图象是双曲线，它的图象与x轴、y轴都

题型01判断反比例函数图象

题型02反比例函数点的坐标特征

一反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形题型03已知反比例函数图象，判断其解析式

在每个象限内，y题型04由反比例函数解析式判断其性质

k>0一、三象限随x的增大而减小题型05由反比例函数图象分布象限，求k值

题型06判断反比例函数经过象限

图象在每个象限内，

反y

反比例函数的题型07已知反比例函数增减性，求参数的取值范围

k<0二、四象限随x的增大而增大

比图象与性质题型08已知反比例函数增减性，求k值

题型09由反比例函数的性质匕俄大小

例反比例函数的图像关于直线y=土x成轴对

对称性称，关于原点成中心对称.题型10求反比例函数解析式

函题型11与反比例函数有关的规律探究问题

确定反比例函数解析式设、代、解、代

数

的

图题型01一点一垂线

题型02一点两垂线

象

题型03两点一垂线

六种模型［重难点］

性反比例其如

}题型04两点两垂线

的几何意义

质题型05两点和原点

题型06两曲一平行

及

应

涉及自变量只需观察一次函数的图象与反比例函数图象的部

用

取值范围分所对应的x的范围

k值同号，两个函数必有两个交点

题型01一次函数图象与反比例函数图象综合

反比例函数与从图象上看k值异号，两个函数可无交点，

题型02一次函数与反比例函数交点问题

一次函数综合

求一次函数与反比可有一个交点，可有两个交点题型03一次函数与反比例函数综合应用

例函数的交点坐标

一次函数与反比例函数的交点主要取

决于两函数所组成的方程组的解的情

从计算上看况

题型01行程问题

题型02工程问题

审、设、列、写、解:

1—反比例函数的实际应用题型03物理问题

题型04分段问题

题型05几何问题

考点一反比例函数的相关概念

—夯基•必备基础知识棉四__________

反比例函数的概念：一般地，形如y=£（忆为常数，kW0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以

写成xy=k（kWO、xy/O）、y=kx~r（kWO）的形式.

反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y,等号右边是一个分式；

②k。0；

③分母中含有自变量X,且指数为1.

易混易错

1.反比例函数y=（1不0）的自变量X的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数.

2.反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k,分母不能是多项式，只能是x的一次单项式.

3.反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.

题型01用反比例函数描述数量关系

【例1】（2023•山西忻州•校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上

的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即0人=尸2力2.如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不

变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力尸与力臂£满足的函数关系是（）

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.反比例函数关系D.二次函数关系

【答案】C

【分析】根据杠杆平衡条件：&刀=尸2乙2,并结合题意可得左侧月人是定值，从而进行判断.

【详解】由杠杆平衡条件：FJ1=F2L2,

•..铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F,

或调整钩码位置即改变力臂3确保杠杆水平平衡，

右侧力尸与力臂L的乘积是定值，即右侧力尸与力臂L满足反比例函数关系.

故选:C

【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键.

【变式1T】（2023•北京朝阳•统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：

①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边格

②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口几；

③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t.

其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

y

O\x

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y=51为常数，k手0）的式子

表示，由此逐项判断即可.

【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，

①矩形的面积=x-y,因此矩形的面积一定时,一边长y与它的邻边x可以用形如y=H0）的式子表示，

即满足所给的函数图象；

②耕地面积=S-n,因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口”可以用形如y=g（kK0）的

式子表示，即满足所给的函数图象；

③汽车的行驶速度=：,因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间/不可以用形如y=1（k70）的式

子表示，即不满足所给的函数图象；

综上可知：①②符合要求，

故选A.

【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义.

［变式「21（2022.北京海淀・北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：

水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，

那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时.现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，

浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（）

受水壶受水壶

A.一次函数B.二次函数C.反比例函数D.无法确定

【答案】A

【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可.

【详解】解：,•漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高

，浮子的高度与对应注水时间成正比

•••浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数

故选A.

【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题

的关键.

题型02判断反比例函数

【例2】（2023•湖北恩施•校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（）

A3n―3万3non

A.y=——B.y=—C.y=——D.3xy=2

:xJ2xzx-1J

【答案】c

【分析】根据反比例函数解析式y=3曲手0）判断求解.

【详解】解：根据反比例函数解析式y=§（kKO）,知

A.y=符合定义，本选项不符合题意；

_3

B.y=U=，，符合定义，本选项不符合题意；

y2xx

不符合定义，本选项符合题意；

C.Jy=x-l

2

D.3xy=2,得y=+符合定义，本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键.

【变式2-1］（2022•福建南平・统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（）

A.y=5%B.y=2x+3

4c

C.y=-D.y—x2+2x+1

【答案】c

【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断.

【详解】解：A.y=5%,是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

B.y=2x+3,是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

C.y==是反比例函数，图象是双曲线，故该选项正确，符合题意；

D.y=x2+2x+l,是二次函数，图象是抛物线，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式.

题型03根据反比例函数的定义求字母的值

【例3】（2022上•山东枣庄•九年级校考期末）已知函数y=（6+1）久病-5是关于x的反比例函数，则小的值

是.

【答案】±2

【分析】根据反比例函数的定义：形如y=为常数，kKO）的函数称为反比例函数，即可求出血的值.

【详解】函数y=（m+l）x/-5是关于久的反比例函数，

:•Tn+1H0,m2—5=-1,

Am=+2,

故答案为：±2

【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键.

【变式］（•江苏南京•校联考一模）已知反比例函数的图象经过点（）、Cm,n）,则的

3-12022JX1,3

值为.

【答案】3

【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得％及机w的值.

【详解】解：把点（1,3）代入y=2

JX

得仁3

故反比例函数的解析式为y=|

把点（机，n）代入y=：得"〃?=3故答案为：3

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本

题的关键.

【变式3-2］（2023•浙江杭州•校考二模）已知点4（-2,m-1）在反比例函数y=—|的图象上，则爪=—.

【答案】2

【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，"值.

【详解】解：：点4（—2,巾—1）在反比例函数y=—：的图象上，

—2x（jn-1）=-2,

m=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值心理解点坐标与解

析式的关系是解题的关键.

【变式3-3］（2022.黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=?的图象经过点

（-2,1）,则左的值是（）

A.1B.-2C.-1D.3

【答案】C

【分析】把点（-2,1）的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可.

【详解】解：•••反比例函数y=?的图象经过点（一2,1）,

1=—.解得k=-l.故选：C.

-2

【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键.

方法技巧

在反比例函数中，以0与X的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略厚0的

条件，从而得出错误答案.

考点二反比例函数的图象与性质

一夯基-必备基础知识梳理

一、反比例函数的图象与性质

1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两

个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

图象特征2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x,对称中心为原

点.

表达

Jy=-X（k为常数，k丰0）

式

K41r

图象

性k>0k<0

质经过一、三象限（x、y同号）二、四象限（X、y异号）

象限

增减在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

性

①图象关于原点对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（-a,-b）在双曲线的另一支上；

对称②图象关于直线7=无对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（b,a）在双曲线的另一支上；

性③图象关于直线y=-冗对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（-b,-@）在双曲线的另一支上.

即：反比例函数的图象关于直线y二土x成轴对称,关于原点成中心对称.

反比待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：

例函1）设反比例函数的解析式为y=g（k为常数，kWO）；

数解2）把已知的一对x,y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；

析式3）解方程求出待定系数k；

的确4）将所求的k值代入所设解析式中.

定方【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐

法标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

易混易错

1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”

这个前提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随X的增大而减小，但不能笼统地说当k>0

时，y随x的增大而减小.同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大.

2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置

和函数的增减性，也可以推断出k的符号。

3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的

两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）.

.提升-必考题型幽

题型01判断反比例函数图象

【例1】（2022•黑龙江绥化•校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长。与宽b之间关系的函数图

【答案】C

【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式即可

得到结论.

【详解】解：由长方形的面积公式得，a=［且b>0,

故C选项符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

【变式1T】式023•安徽亳州・统考三模)如图,在△力tc中,ABAC=20°,AB=AC=2,且始终保持NP4Q=

100°.设BP=X,CQ=y()

【答案】A

【分析】根据△力BC是等腰三角形，LBAC=20°,得到乙4BC=Z.XCB=80°,推出乙48P=乙4CQ=100°,

根据NP力Q=100。推出NP力B+ACAQ=80。，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得至!］乙4cB=

^CAQ+^AQC=80°,推出N4QC=NP4B,推出△力PB^AQAC,根据相似三角形的对应边的比相等，即

可求得x与y的函数关系式，即可进行判断.

【详解】中，Z.BAC=20°,AB=AC=2,

：.^ABC=AACB=80°

；.4ABP=AACQ=100°

又；KPAQ=Z.PAB+ABAC+ACAQ=100°

：.Z.PAB+乙CAQ=80°

,：z.ACB=4CAQ+乙4QC=80°

C./.AQC="AB

：.△APB八QAC

即。L

ACQC2y

则函数解析式是y=±

故选:A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外

角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键.

【变式1-2］（2023•河北沧州•统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AEA.BD,CF1BD,

垂足分别为E、F,已知4E=2,且NCBF=NE4F,设EF=X,BF=y,假设无、y能组成函数，则y与x

的函数的图象为（）

【答案】C

【分析】首先根据平行四边形的性质得到S-BD=SABCD，然后证明出△AEFSABFC,然后利用相似三角

形的性质求解即可.

【详解】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

,•SAABD=S&BCD）

,：AE1BD,CF1BD,

：.CF=2E=2,Z.AEF=乙BFC=90°,

VzCFF=Z.EAF,/.AEF=/.BFC,

/.△AEFBFC,

,EF_AE

“'CF-BF'

.,•一x=_一2,

2y

・4

与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出△力EF*BFC.

【变式「3】（2023•河南信阳・统考一模）参照学习函数y=（的过程与方法，探究函数y=*（久K2）的图象

与性质.

1357

X-2-10123456

2222

24424121

y=一-1-2■421

X3537253

212421

-1m-2-4■421

『—2~2-3332

(2)请画出函数y=2(%力2)的图象；

X—2

(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当久＜2时，y随x的增大而；(填"增大’或“减小”)

②y=瞑的图象是由y=:的图象向平移个单位长度而得到的;

③图象关于点中心对称.(填点的坐标)

【答案】⑴-1

(2)见解析

(3)①减小；②右;2；③(2,0)

【分析】(1)把x=］弋入函数y=羊2)即可解答；

(2)用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；

(3)数形结合，观察函数图象即可得到答案.

【详解】(1)解：把久=］弋入y=看，

得y=A-

—Z

2

・4

・・771=，

3

故答案为-g；

(2)函数图象如图所示：

(3)解：①当》<2时，y随x的增大而减小；

②y=£的图象是由y=|的图象向右平移2个单位长度而得到的；

③图象关于点(2,0)中心对称；

故答案为：①减小；②右；2；③(2,0).

【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得

到函数性质.

题型02反比例函数点的坐标特征

【例21(2023・广西北海•统考模拟预测)下列各点在反比例函数y=:图象上的是()

A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(-1,-2)

【答案】D

【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函

数图象上，反之则不在.

【详解】A.当x=—1时，丫=?=三=—2K2,故该选项不正确，不符合题意；

yX-1

B.当x=2时，y=2=；=i力—1,故该选项不正确，不符合题意；

JX2

C.当汽=1时，y=-=-=2^3,故该选项不正确，不符合题意；

yX1

C.当％=—1时，y=-=—=—2,故该选项正确，符合题意；

yx-1

故选：D.

【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键.

【变式2-1](2023•福建宁德•统考模拟预测)下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=(的图象上，

则不在这个函数图象上的点是()

A.(1,6)B.C.(-2,-3)D.(|,4)

【答案】B

【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于总所以判断点是否

在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与左相等就可以了.

【详解】解：A、fc=1X6=6,

B、k=—x12=-6,

2

C、k=(—2)x(—3)=6,

D、/c=-x4=6,

2

...不在这个函数图象上的点是(-(12),

故选：B.

【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于

比例系数.

【变式2-2］（2023•辽宁鞍山・统考一模）如图，直线y=fcx（fc>0）与双曲线y=：交于4,2两点,若4（2,m）,

B.(-2,-1)C.(—2,—2)D.(—1,—4)

【答案】C

【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可.

【详解】解：•.,直线y=>0）与双曲线y=［交于A,8两点,

.•.点A和点2关于原点对称，

把A（2,m）代入到y=£中得：m=^=2,

••.4(2,2),

B(-2,-2),

故选C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点8

关于原点对称是解题的关键.

【变式2-3】（2019・吉林长春•中考模拟）如图,函数y=|y==（x>0）的图象将第一象限分成了4

在B部分的是（）

4)C.(3,1)D.(4,3)

【答案】C

【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足对其变形，得2

XX

<xy<6,然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.

【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足三

XX

对其变形，得2Vxy<6.

选项A,(1,1),xy=l,不符合要求；

选项B,(2,4),,xy=8,不符合要求；

选项C,(3,1),xy=3,符合要求；

选项D,(4,3),,xy=12,不符合要求.

故选C.

【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的

关键.

【变式2-4](2023•陕西渭南•统考一模)已知正比例函数y=ax(a为常数，aH0)与反比例函数y=子的

图象的一个交点坐标为(1,m),则另一个交点的坐标为.

【答案】(一1,2)

【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称.

【详解】：已知正比例函数y=ax(a为常数，a丰0)与反比例函数y=子的图象的一个交点坐标为(1,巾)，

-2

・•・m=--=—2

1

交点坐标为(1,-2)

•••反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

.••另一个交点的坐标与点(1,-2)关于原点对称，

该点的坐标为(一1,2).

故答案为：(—1,2).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对

称是解题的关键.

【变式2-5](2022•福建漳州•统考模拟预测)已知直线y=2x与双曲线y=三相交于A,2两点.若点4(2,爪)，

则点8的坐标是.

【答案】(—2,—4)

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

【详解】解：将2(2,m)带入到y=2%中,得片4,贝必(2,4)

•..点A和点8关于原点对称

.•.点B坐标为(-2,-4).

故答案为:(—2,—4).

【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称.

【变式2-6](2022•陕西西安・交大附中分校校考模拟预测)已知直线尸质与双曲线厂管的一个交点的横坐

标是2,则另一个交点坐标是.

【答案】(-2,-4)

【分析】根据交点的横坐标是2,得到蜉=2匕求得左值，确定一个交点坐标为(2,4),根据图象的中

心对称性质，确定另一个交点坐标即可.

【详解】•••交点的横坐标是2,

解得仁2,

故函数的解析式为y=2x,

当x=2时，y=4,

交点坐标为（2,4）,

根据图象的中心对称性质，

,另一个交点坐标为（-2,-4）,

故答案为：（-2,-4）.

【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的意

义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键.

题型03已知反比例函数图象，判断其解析式

【例3】（2023・湖南娄底•统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量无，y之间关系的是（）

A.y=^B.|y|=j。广一三D.|y|=-i

【答案】B

【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断.

【详解】解：根据反比例函数的图象可得：

第一象限所对应的关系式为：y=~,第四象限所对应的关系式为：y=--，

・•.y与x的关系式为：1训=，

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象.

【变式3-1］（2023•江苏徐州・统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P（a,6）,若ab>0,则称点尸为“同号

点”.若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是.

【答案】丫=一工（答案不唯一）

'X

【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案.

【详解】解：：对于点尸（a,b）,若ab>0,则称点P为“同号点”.

而某函数图象上不存在“同号点”,

函数图象不在第一，第三象限,

其函数表达式可以是y=-3

故答案为：y=—1

【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是

解本题的关键.

题型04由反比例函数解析式判断其性质

【例4】（2023•山西晋城・统考一模）已知反比例函数y=则下列描述正确的是（）

A.图象位于第一、三象限

B.y随x的增大而增大

C.图象不可能与坐标轴相交

D.图象必经过点修，-j）

【答案】C

【分析】根据反比例函数y击0）的图象性质进行逐项分析即可作答.

【详解】解：A、••3=-々..《=-5<0,...函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；

X

B、—5<0,在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；

C、反比例函数丫=-：的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；

D、当”=|时，则y=?=—5x|=—三,.•.函数图象经过点（|,—5），故选项D不符合题意；

2

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数y=：供中0）的图象性质，当k>0,反比例函数经过第一、三象限；当k<0,

反比例函数经过第二、四象限；难度较小.

【变式4-1］（2022•江西九江•校考二模）关于反比例函数y=：（k于0）的图象与性质，下列结论中不正确的

是（）

A.该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.当k<0时，该函数的图象在第二、四象限

C.该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点

D.当k>0时，函数值y随K的增大而减小

【答案】D

【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可.

【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，y=g（k#0）的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形,

A正确，故不符合要求；

当k<0时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；

联立方程得，｛,—%,即公=攵％+6，整理得，kx2+bx-k=0,

vy=kx+bx

/.△=b2+4k2>0,

・,・该函数的图象与直线y=/c%+b有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；

当/c>0时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值y随％的增大而减小，D错误，故符合要求;

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式.解题的关键在于对知识的熟练

掌握与灵活运用.

题型05由反比例函数图象分布象限，求k值

【例5】（2023•贵州贵阳•校考一模）反比例函数y=”k±0）的图象如图所示，贝也的值可能是（）

【答案】C

【分析】根据图象，当％=-3时，y<3,则0>k>—9；当％=2时，y<—2,则k<—4,所以—9<k<—4,

即可求解.

【详解】解：由图可知：当％=-3时，0<y<3,即。<方<3,则0>k>-9,

当x=2时，y<-2,即^<一2,贝瞌<-4,

：.-9<fc<-4,

故选：C.

【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质.

【变式5-1］（2023•河北沧州•统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=g（k40）的图象如图所示,

则上的值可熊是（）

【答案】c

【分析】由题意可得：左的取值应该满足2<k<4,进而可得答案.

【详解】解：由题意可得：4的取值应该满足：（-l）x（-2）<k<2x2,即2<k<4,

所以人的值可能是3；

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出2<k<4是解题的关键.

题型06判断反比例函数经过象限

[例6]（2023・湖南郴州•模拟预测）已知反比例函数y=§（际0）,当均<%2<。时，为<先，则它的图象

一定在（）

A.一，三象限B.二，四象限C.一，二象限D.三，四象限

【答案】B

【分析】由反比例函数的增减性可判断解析式中的左值，再由左值可确定图象所在的象限.

【详解】解：..•反比例函数y=£（kH0），当％1<刀2<。时，71<72>

即当x<0时，y随x的增大而增大，故k<0,

,它的图象一定在二，四象限.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的增减性与参数h所在象限的关系，解题的关键是熟知反比例函数的相关

知识点.

【变式6-1]（2023・湖南永州•统考二模）当k>2时，反比例函数y=7的图象位于（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】B

【分析】求出k-2>0即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案.

【详解】解:-：k>2,

：.k-2>0,

反比例函数y=一的图象位于一、三象限，

故选B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=不0）的

性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象

限，在每一象限内，y随尤的增大而增大.

【变式6-2］（2023•上海奉贤・统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y=:的图象的是（）

【答案】C

【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断.

【详解】解：由