2025年高考数学复习大题题型归纳：圆锥曲线中的范围和最值问题（原卷）

专题12圆锥曲线中的范围和最值问题

一、椭圆中的范围和最值问题

1.已知椭圆C0+/=l(a>b>0)的左、右焦点分别为%,尸2，点B是椭圆c的上顶点，△BF1F2是等边三

角形，ABFR的内切圆的面积为泉

(1)求椭圆C的方程；

⑵已知7在无轴负半轴上且|。7|=4|。巳],过T的直线与椭圆交于M,N两点，求AMNF1面积的最大值.

2.已知点(一2,0)在椭圆。《+，=1((1>6>0)上，点用(皿3(机力0)在椭圆。内.设点以4B为C的短轴

的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点E,F,且瓦4,EB的斜率之积为-1

4

(1)求椭圆。的方程；

(2)记5aBME，SAAMF分别为△BME,△4MF的面积,若优€(—b,—1]U[1,百)，求爱丝的取值范围.

b^BME

3.已知椭圆此马+。=l(a>0)的一个焦点为F(—l,0),左、右顶点分别为4,B,经过点下的直线/与椭

a3

圆M交于C,D两点.

(1)当直线I的斜率为1时，求线段CD的长；

⑵记△力BD与A2BC的面积分别为Si和S2，求IS1-S2I的最大值.

4.已知椭圆a《+胃=1(口>8>0)的离心率为¥，点(言,1)在椭圆(：上.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点N(2,0)的直线与椭圆C交于4B两点，求S“oB的最大值.

5.已知椭圆务/=1(。>6>0)的焦距与短轴长相等，点时(一1,一争在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

⑵若P,Q为椭圆上两点，AOPQ是以PQ(斜率存在)为斜边的直角三角形(。为坐标原点)，求OP2+OQ2

的最大值.

6.已知F是椭圆。捺+，=l(a>b>0)的右焦点，。为坐标原点，M为椭圆上任意一点，|MF|的最大值为

2+亚当|OM|=|。/|时，AMOF的面积为

(1)求椭圆C的方程；

(2)力、B为椭圆的左、右顶点，点P满足而=3两，当M与4、B不重合时，射线MP交椭圆C于点N,直线4M、

BN交于点T,求N4TB的最大值.

7.已知％,尸2为椭圆C的左右焦点，且抛物线y2=4代X的焦点为尸2,又为椭圆的上顶点，AM/Fz的面

积为2遍.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵过点(0,1)的直线/与椭圆C交于H8两点，O为坐标原点，且赤=49(4>0),若椭圆。上存在一点

E,使得四边形ONED为平行四边形，求4的取值范围.

8.已知椭圆C0+?=l(a>b>0)的左、右顶点分别为a、M2,T为椭圆上异于叫、的动点，设直线

TMi、TM2的斜率分别为的、k2,且自•七=—；

4

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设动直线］与椭圆C相交于力、B两点，。为坐标原点，若瓦？•砺=0,△(MB的面积是否存在最小值？若

存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

9.已知椭圆l(a>b>0)的两焦点分别为％(一百,0),6(b,。)，N是椭圆E上一点，当4小4尸2=

狎，△?丁尸2的面积为何.

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线始的久-y+2/q=0(自>0)与椭圆E交于M,N两点，线段MN的中点为P,过P作垂直x轴的直线在

第二象限交椭圆E于点S,过S作椭圆E的切线％，%的斜率为心，求心-的的取值范围.

10.如图，已知半圆Cl：x2+y2=》2(yW0)与X轴交于/、2两点，与y轴交于E点，半椭圆。2：《+盘=1

(y>0,a>6>0)的上焦点为尸，并且AABF是面积为旧的等边三角形，将由Q、G构成的曲线，记为“厂

(1)求实数。、6的值；

(2)直线/：丫=&%与曲线性于河、N两点，在曲线厂上再取两点S、T(S、7分别在直线/两侧)，使得这

四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；

(3)设点K(O,t)(teR),P是曲线「上任意一点，求|PK|的最小值.

11.已知椭圆C京+石=l(a>b>0)过和孚)两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为4,B,当动点M在定直线x=4上运动时，直线则分别

交椭圆于两点尸和。，求四边形力PBQ面积的最大值.

12.已知椭圆E:5+，=l(a>b>0)的长轴长为4,上顶点P到直线/:乂+2y-6=0的距离为磐.

(1)求E的方程；

(2)直线丫=/^+家卜>0)与后交于4,B两点，直线P4PB分别交直线［于C,。两点，求|CD|的最小值.

13.已知P为椭圆C:=+『=1上一点，且点P在第一象限，过点P且与椭圆C相切的直线为

(1)若，的斜率为k,直线。P的斜率为k°p,证明：k•k°p为定值,并求出该定值；

⑵如图,PQ,RS分别是椭圆C的过原点的弦，过P,Q,R,S四点分别作椭圆C的切线，四条切线围成四边形

若kop-k()s=—三，求四边形4BCD周长的最大值.

16

14.已知椭圆C:5+,=l(a>b>0)的焦距为2加点(1,专在C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C与直线丫=/«+血,力0,瓶>与相交于不同的两点“、N,P为弦MN的中点，4为椭圆C的下顶

点，当APIMN时，求a的取值范围.

15.在平面直角坐标系xOy中，点3与点力(-1,1)关于原点。对称，尸是动点，且直线4P与AP的斜率之

积等于-g.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)求4P4B面积的最大值；

(3)记APAB的周长为加，求证：4V2<m<2(V6+V2).

二、双曲线中的范围和最值问题

16.已知双曲线。《-5=1。>0,6>0)的离心率为近，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

⑴求C的方程；

(2)设点4为C的左顶点，若过点(3,0)的直线/与C的右支交于P,Q两点，且直线力P,力Q与圆。:/+产=a2分别

交于M,N两点，记四边形PQNM的面积为Si，A4MN的面积为S2，求%勺取值范围.

17.设双曲线—，=l(a>0为>0)的左、右焦点分别为Fi，尸2，尸141=2西，且£的渐近线方程为y=±

X

2,

(1)求£的方程；

(2)过尸2作两条相互垂直的直线4和6，与E的右支分别交于4C两点和2,。两点，求四边形48CD面积

的最小值.

18.已知双曲线C：//=l(a>0">0)的左、右焦点分别为Fi、F2,焦距为4,右顶点为/,以/为

圆心，6为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R,S两点，且NWS=60。.

⑴求双曲线。的标准方程；

⑵已知点。是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，NF1Q七的角平分线记为/，

过点M做/的垂线，垂足为£,与双曲线右支的另一交点记为点N,求黑的最大值.

19.已知。为坐标原点，双曲线C：《—爰=l(m>0)的渐近线方程为y=±苧％.

(1)求C的标准方程；

⑵过点p(l,百)的直线/交C于跖N两点，交X轴于。点.若IPMHPNI=36,问tan/OPQ是否存在？

若存在，求出tan/OPQ的值；若不存在，请说明理由.

20.已知双曲线的:捺一/=1的离心率为VL点%(―c,0),F2(c,0)分别是其左右焦点，过点尸2的直线交

双曲线的右支于P,N两点，点P在第一象限.当直线为的斜率不存在时，\PA\=2V2.

(1)求双曲线的标准方程.

22

(2)线段P%交圆C2：(x+c)+y=4a2于点B,记APF2B,△AF2F1,APA%的面积分别为Si,S2,S,求酒+目

的最小值.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：5-，=1(a>0,6〉0)的右焦点为尸，离心率为2,且过

点P(2,3).

(1)求双曲线E的标准方程；

⑵设过原点。的直线匕在第一、三象限内分别交双曲线E于/,C两点，过原点。的直线G在第二、四象

限内分别交双曲线E于3,D两点,若直线过双曲线的右焦点R求四边形/BCD面积的最小值.

22.已知双曲线。5一5=1,(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(e,3),其中e为双曲线C的离心率.

(1)求C的标准方程；

(2)过点M(-2,0)且斜率不为0的直线/与C的左、右两支分别交于点4,8,点N在线段上，且需=需，P

为线段的中点，记直线OP,ON(。为坐标原点)的斜率分别为的，k2,求|自|+|七|的最小值.

23.双曲线C:5一，=1(£1>0">0)的左顶点为4焦距为4,过右焦点尸作垂直于实轴的直线交C于B、D

两点，且AABD是直角三角形.

⑴求双曲线C的方程；

(2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为口、k2,若的电=-2,求点2到直线MN的距离

d的取值范围.

24.已知力(一2,0),5(2,0),动点Q(x,y)关于%轴的对称点为Qi，直线AQ与BQi的斜率之积为—右

(1)求点Q的轨迹C的方程；

(2)设点P是直线x=1上的动点，直线PA,PB分别与曲线C交于不同于4B的点M,N,过点B作MN的垂线,

垂足为D,求|4D|最大时点P的纵坐标.

25.已知双曲线。经过点P(3,鱼)，它的两条渐近线分别为x+V^y=0和尤-百y=0.

⑵设双曲线。的左、右焦点分别为F1I2,过左焦点FI作直线/交双曲线的左支于43两点，求△ABF?周长

的最小值.

26.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲

22

线.已知椭圆的:?+患=1(0<b<2),双曲线C2是椭圆C1的“姊妹”圆锥曲线，/62分别为3,。2的离心率,

且0送2=半，点M,N分别为椭圆C1的左、右顶点・

4

⑴求双曲线。2的方程；

(2)设过点G(4,0)的动直线1交双曲线。2右支于4B两点，若直线的斜率分别为%M#BN.

(i)试探究施M与心〜的比值抖是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

kBN

(ii)求卬=+1心村的取值范围.

27.已知双曲线一，=1。>0,6>0)的焦距为4n，直线y=小刀与C交于4B两点，点P是C上异于4B

两点的动点，且直线P4PB的斜率之积为去

(1)求C的方程;

(2)已知M是直线x=2上的动点，过点M作两条倾斜角互补的直线分别交C于点S,7和点E,F,若|MS|.\MT\=

A\ME\'\MF\,求实数4的值.

28.在平面内，动点M(x,»)与定点尸(2,0)的距离和它到定直线=T的距离比是常数2.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若直线机与动点M的轨迹交于尸，0两点，且。P_LOQ(。为坐标原点)，求|OP『+|OQ『的最小值.

29.已知双曲线C:《一，=1((1>0为>0)过点(2,3),左、右顶点分别是4B,右焦点尸到渐近线的距离为国,

动直线=kr+m与以ZB为直径的圆相切，且i与C的左、右两支分别交于「Q(%2，y2)两点.

(1)求双曲线。的方程；

(2)记直线4P,BQ的斜率分别为的,k2,求产彳的最小值.

%2l

X1y,

：-彳))

GW13>0*0

30.我们把等轴双曲线的一部分/b与半圆。2：/+〉2=&2(>30)合成的曲线称

作，，异型，，曲线C,其中C1是焦距为2a的等轴双曲线的一部分，如图所示.

⑴求“异型”曲线c的方程；

⑵若P(O,p)(p>0),Q为“异数”曲线C上的点，求|PQ|的最小值；

(3)若直线=kx-1与“异形”曲线C有两个公共点，求k的取值范围.

三、抛物线中的范围和最值问题

31.在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点力(J，。)且与直线x=-：相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K,

尸是曲线K上一点.

⑴求曲线K的方程；

⑵过点A且斜率为k的直线/与曲线K交于5、C两点，若1〃OP且直线OP与直线x=1交于0点.求盟端

的值；

(3)若点D、£在y轴上，APDE的内切圆的方程为(无一+俨=1,求APDE面积的最小值.

32.曲线「:f=4刈第一象限内点/在「上，/的纵坐标是a.

⑴若/到准线距离为3,求a；

(2)若a=4,8在x轴上，中点在/上，求点3坐标和坐标原点。到距离；

⑶直线〃x=-3,令尸是第一象限：T上异于N的一点，直线为交/于。，“是尸在/上的投影，若点/满

足”对于任意尸都有旧QI>4”,求a的取值范围.

33.已知尸是抛物线。产=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线C于力、B两点，且吃+高=2.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若。为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线力。于点D,过点力作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,

4E的中点为G,求照的取值范围.

34.抛物线ad=2py(p〉0)的焦点为凡准线为I,点4在抛物线C上.已知以F为圆心，|凡4|(|/川>p)为半

径的圆F交/于P,Q两点，若乙PFQ=9(T,AAPQ的面积为VI

⑴求p的值；

(2)过点A的直线a交抛物线C于点B(异于点力)，交x轴于点M,过点B作直线a的垂线交抛物线C于点D,若

点4的横坐标为正实数如直线DM和抛物线C相切于点。，求正实数t的取值范围.

35.已知曲线「在x轴上方，它上面的每一点到点Q(0,2)的距离减去到无轴的距离的差都是2.若点分别

在该曲线「上，且点4c在y轴右侧，点B在y轴左侧，△力BC的重心G在y轴上，直线交y轴于点M且满足

3MMi<\BM\,直线BC交y轴于点N.记△ABC,△力MG,ACNG的面积分别为Si，S2，S3

⑴求曲线「方程；

(2)求怨步的取值范围.

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36.已知点”(0,1)和点N(xo,2)(为>0)之间的距离为2,抛物线C:产=2px(p>0)经过点N,过点M的直

线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,点E,F分别在直线N4NB上,且丽=4(流-丽),MO=n(NF-

丽)(。为坐标原点).

(1)求直线I的倾斜角的取值范围;

(2)求2+4的值.

x—sintH———

37.在直线坐标系久。y中国，曲线C的参数方程为4sint(1为参数且/：6(0,兀)),以坐标原点。

丫=而+焉

为极点，久轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，ae(0,£)且tana=[,直线I的极坐标方程为psin(。+a)=

m(m£R).

(1)求直线I的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

⑵若直线I与曲线C有公共点，求实数小的取值范围.

38.从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于

抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中.如

图，已知抛物线C:/=2py(p>1),从点(4,9)发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的。点，经过抛物

线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点(-1,5).

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知圆M:/+(y-3尸=4,在抛物线。上任取一点£,过点E向圆M作两条切线及4和即，切点分别

为4、B,求薛•丽的取值范围.

39.如图，已知点P(2,2)是焦点为尸的抛物线C：V=2px上一点，A,3是抛物线C上异于P的两点，且直

线E4,总的倾斜角互补，若直线以的斜率为k(lWk〈2).

(1)判断直线N2的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由;

(2)设焦点尸到直线的距离为d,求昌-岛的取值范围.

40.已知抛物线E:y2=2px(p>0)与双曲线挤-9=1的渐近线在第一象限的交点为P,且点P的横坐标

为3.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)点4、3是第一象限内抛物线E上的两个动点，点C(t,0)为x轴上的动点，若AABC为等边三角形，求实

数/的取值范围.

41.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C与直线光=