2024年中考数学一轮复习：圆的相关概念及性质（练习）（解析版）

第26讲圆的相关概念及性质

目录

题型过关练

型

题

01理解圆的相关概念

型

题

02圆的周长与面积相关计算

型

题

03圆中的角度计算

型

题

04圆中线段长度的计算

型

题

05求一点到圆上一点的距离最值

型

题

06由垂径定理及推论判断正误

型

题

07利用垂径定理求解

型

题

08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解

型

题

09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标

型

题

10利用垂径定理求平行弦问题

型

题

11利用垂径定理求同心圆问题

型

题

12垂径定理在格点中的应用

型

题

13利用垂径定理的推论求解

型

题

14垂径定理的实际应用

型

题

15利用垂径定理求取值范围

型

题

16利用弧、弦、圆心角关系判断正误

型

题

17利用弧、弦、圆心角关系求解

型

题

18利用弧、弦、圆心角关系求最值

型

题

19利用弧、弦、圆心角关系证明

型

题

20利用圆周角定理求解

型

题

21利用圆周角定理推论求解

型

题

已知圆内接四边形求角度

型22

题

利用圆的有关性质求值

型23

题

利用圆的有关性质证明

型

题24

利用圆的有关性质解决翻折问题

型

题25

利用圆的有关性质解决多结论问题

型

题26

圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距

型

题27

28圆有关的常见辅助线-遇到有直径时，常添加（画）直径所对的圆周角

真题实战练

题型过关练

题型01理解圆的相关概念

1.（2023・上海普陀・统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（）

A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等

C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴

【答案】D

【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；

B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；

D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大.

2.（2020•内蒙古乌兰察布•校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直

径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数

是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记

定理是解此题的关键.

①根据确定圆的条件进行解答即可；

②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可；

③根据垂径定理即可得出结论；

④根据三角形外心的性质可得出结论；

⑤根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；

②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；

③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；

⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误.

•••正确命题的个数为。个.

故选：A.

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的

外心的性质，难度不大.

3.（2023•江苏徐州•统考一模）下列说法中，正确的是（）

①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；

③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，

同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可.

【详解】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项

正确；

②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；

③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；

④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；

故选：A.

【点睛】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键.

4.（2023•福建泉州•南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，

这是因为（）

A.同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大

B.同一个圆所有的直径都相等

C.圆的周长是直径的兀倍

D.圆是轴对称图形

【答案】B

【分析】根据圆的特征即可求解.

【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去,

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键.

题型02圆的周长与面积相关计算

5.（2022•山西临汾.统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以

手掌推出光泽而得名.图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图.四边

形A8C。是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，夕寸角线的长为半径画弧，四条弧相交于

点。则图中阴影部分的面积为（）

A.2兀一4B.7T—2C.27rD.-71

【答案】A

【分析】由题意得半径为近，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可.

【详解】解：•••四边形ABC。是边长为2的正方形

正方形的对角线的长为2叵

.••半径为近

:阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积

♦,•阴影部分面积=%（V2）2-22=2TT-4

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则

图形面积之间的关系.

6.（2019・广东佛山・佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后

来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边

沿（）

图（1）图（2）

A.图（1）需要的材料多B.图（2）需要的材料多

C.图（1）、图（2）需要的材料一样多D.无法确定

【答案】C

【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可.

【详解】设大圆的直径是D,图（2）中三个小圆的直径分别为：di,d2,d3,

di+d2+d3=D

根据圆周长公式，得图（1）中，需要2兀D；

图（2）中，需要7TD+7rdi+7rd2+7rd3=7rD+兀（di+d2+d3）=2;rD

故选：C.

【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取兀，所有的直径之和是大圆的直径.

7.（2019•河北张家口・统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，己知半径为r的圆周长为a,且R-=1,

则半径为R的圆周长为（）

A.a+1B.a+2C.a+兀D.a+2n

【答案】D

【分析】根据半径为r的圆的周长表示出半径r.

【详解】•••半径为r的圆周长为a,

2nr=a,

•：R-r=1,

，R=l+r=l+六答

半径为R的圆周长为2兀•空吼a+2n,

27r

故选：D.

【点睛】此题考查圆的周长公式，熟记公式是解题的关键.

8.（2021•江苏宿迁・统考一模）一块含有30。角的三角板ABC如图所示，其中/C=90。，乙4=30。，BC=

3cm.将此三角板在平面内绕顶点/旋转一周.

（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；

（2）求出该图形的面积.

【答案】（1）画图见详解；（2）BC扫过的面积5国环==9兀.

【分析】（1）由三角板力BC可求AB=2BC=6cm,由勾股定理：AC=VAB2-BC2=V36-9=3V3,边BC在

平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示；

（2）BC扫过的面积S甄=加432-?MC2计算即可.

【详解】解：（1）•.•三角板ABC,ZC=90°,心力=30°,BC=3cm,

AB=2BC=6cm,

由勾股定理：AC=7AB2-BC2=V36-9=35/3,

边BC在平面内绕顶点4旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所

示：

22

(2)BC扫过的面积Sn=7tAB-nAC=367r-27TT=97r.

【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30。直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转图形方法，勾股

定理，30。直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键.

题型03圆中的角度计算

9.(2023•山东聊城・统考一模)如图，A8是。。的弦，OC_LAB,垂足为C,0D||AB,OC^OD,则上48。

95°C.100°D.105°

【答案】D

【分析】连接08,即得出08=0。，从而得出根据含30度角的直角三角形的性质结合

题意可判断NO8C=30。，再利用平行线的性质可得出NBOn=/O8C=30。，从而根据三角形内角和求出

ZOBD=ZODB=75°,最后由ZABD=ZOBC+ZOBD求解即可.

【详解】如图：连接OB,

A

D

：.OB=OD,

：.ZOBD=ZODB.

'：OC^-OD,

2

1

・•・OC=-OB.

2

•.*OC±ABf

nri

：.sin^OBC=-=

OB2

AZOBC=30°.

9COD||AB,

：.NBOD=NOBC=3。。,

：・/OBD=/ODB=75。,

：.ZABD=ZOBC+ZOBD=30o+75°=105°.

故选D.

【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三

角形内角和定理的应用.连接常用的辅助线是解题关键.

10.（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在。0中，48为直径，乙4。。=80°,点D为弦4?的中点，点E

为品上任意一点，贝此CED的大小可能是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【分析】连接OD、OE,先求出NCOD=40。，ZBOC=100°,设NBOE=x,则NCOE=10()o-x,ZDOE=100°-x+40°；

然后运用等腰三角形的性质分别求得NOED和/COE,最后根据线段的和差即可解答.

【详解】解：连接OD、OE

VOC=OA

.•.△OAC是等腰三角形

■：AAOC=80°,点D为弦AC的中点

AZDOC=40°,ZBOC=100°

设/BOE=x,则/COE=100°-x,ZDOE=100°-x+40°

VOC=OE,ZCOE=100°-x

ZOEC=180°~(100°-X)=40°+-

22

VOD<OE,ZDOE=100°-x+40°=140°-x

/.ZOED<180°~(140°~X)=20°+-

22

ZCED>ZOEC-ZOED=(40°+j)-(20°+|)=20。.

又ZCED<ZABC=40°,

故答案为C.

【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本

题的关键.

11.（2023・湖南湘西・统考模拟预测）如图，。。与△。4B的边力B相切，切点为8.将AOAB绕点B按顺时针

方向旋转得到△O'AB,使点。落在。。上，边4B交线段力。于点C.若乙4'=27。，则N0C8=度.

【答案】87

【分析】根据旋转对应边相等及半径相等得到等边△。8。，，得到旋转角为60。，然后利用三角形外角和定理

计算即可.

【详解】•・•△40B绕点B按顺时针方向旋转得到AOTTB,点。落在。。上，

•••乙4=乙4'=27°,OB=O'B,

连接。。'，

•••OB=00',

OO'B为等边三角形，

乙OBO'=60°,

△AOB绕点B按顺时针方向旋转了60。，

.­./.ABA'=60°,

AOCB="+^ABA'=27°+60°=87°.

故答案为：87.

【点睛】本题考查旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等.本题中利

用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键.

题型04圆中线段长度的计算

12.（2023・湖南益阳•统考二模）如图，在RtAABC中，NC=90。，点。在斜边AB上，以BD为直径的。。经

过边力C上的点E,连接BE,且BE平分乙4BC,若。。的半径为3,AD=2,则线段BC的长为（）

24

C.D.6

5

【答案】c

【分析】连接。已证明。EIIBC,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：连接。E,如图，

•「BE平分4ABC,

：.Z.OBE=乙CBE,

YOB=OE,

:•乙OBE=乙OEB,

：.Z.CBE=乙OEB,

：.OE\\BCf

△AOEABC,

.OE_AO

"・BC-ABf

•・・。。的半径为3,AD=2,

：.A0=40+0。=5,AB=A0+0B=8,

...D“C=-O-E-A--B=-3-X--8=——24,

AO55

故选：c.

【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

13.（2023・广东深圳•统考二模）如图，在中，=90。，点。在斜边48上，以为直径的。。经

过边/C上的点E,连接8E,且BE平分乙4BC,若。。的半径为3,AD=2,则线段的长为（）

B.8

【答案】C

【分析】连接。E,由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推出=得到OEIIBC,因止匕ZiZOE

〜AABC,得到4。：AB=OE：代入有关数据，即可求出的长.

【详解】解：如图，连接。E,

•••BE平分乙/BC,

•••Z.ABE=Z.CBE,

OE=0B,

•••Z.OEB=Z.ABE,

・•.Z.OEB=Z.CBE,

・•・OEWBC,

AOE〜△ABC,

40：AB=OE：BC,

・・・。。的半径为3,AD=2,

AO=AD+OD=2+3=5,AB=AD+BD=2+6=8,

•••5：8=3：BC,

24

**.BC=—.

5

故选：c.

【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形

的判定和性质.

14.（2022・湖北武汉.武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B,C,E共线，D,

C,G共线），若42=3,跖=2,点。在线段BC上，以。尸为半径作。。，点A,点厂都在。。上，则。。

的长是（）

BOCE

A.4B.V10C.V13D.V26

【答案】B

【分析】连接。4,OF,由题意得。4=OR设OC=x,由勾股定理得（久+2）2+22=（3-x）2+32,解答方

程可得0C的值，再运用勾股定理可得0。的长.

【详解】解：连接OA,OF,如图，

是半圆。的半径，

OA=OF,

:四边形4BC。、EFGC是正方形，

/.乙ABC=Z.DCB=乙FEC=90°,AB=BC=CD=3,CE=EF=2

设。C=%,

BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2,

在Rf△480和RMFO中,

AB2+BO2=AO2,OE2+EF2=OF2,

：.32+(3-x)2=AO2,(x+2)2+22=OF2,

'：A0=FO

：.32+(3-%)2=(x+2)2+22,

解得，x-1,即OC=1,

在放△DOC中，DO2=OC2+DC2,

OD=y/OC2+CD2=UM+32=g,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

题型05求一点到圆上一点的距离最值

15.（2023•湖北咸宁•统考二模）如图，正方形力BCD内接干圆。，线段MN在对角线8。上运动，若圆。的面

积为2it,MN=1,ZkAMN周长的最小值是.

【答案】4

【分析】由正方形的性质知点C是点A关于BD的对称点，过点C作C4IIBD,且使&1'=1,连接A4'交8。于

点N,取MN=1,连接AM、CM,则点M、N为所求点，进而求解.

【详解】解：。。的面积为2m则圆的半径为/，BD=2^2=AC,

由正方形的性质知点C是点A关于8。的对称点，

过点C作CAIIBD,且使C4'=l,

连接44交BD于点N,取MN=1,连接4M、CM,则点M、N为所求点,

理由：•••4CIIMN,且4C=MN,则四边形MCAN为平行四边形,

则AN=CM=4M,

故44MN的周长=AM+AN+MN=AA'+1为最小，

,•,正方形4BCD中AC1BD,

：.A'C1AC,

A'A=y/AC2+A'C2=(2A/2)2+I2=3,

则44MN的周长的最小值为3+1=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是解题的关键.

16.（2023•浙江嘉兴•统考一模）平面直角坐标系xoy中，O。的半径为2,点M在O。上，点N在线段。M上，

设。N=t（l<t<2）,点尸的坐标为（一4,0）,将点P沿。M方向平移2个单位，得到点P',再将点P'作关

于点N的对称点Q,连接PQ,当点M在。。上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为.（用含/的

【分析】根据题意作出点P'和点Q,连接P'M,PO,并延长P'M至点、B,使得P'M=BM,连接BQ并延长交P。

的延长线于点C,证明四边形P'PCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，求出PC和CQ的长度，根

解：根据题意作出点P'和点Q,如图，连接P'MF。，并延长P'M至点使得PM=连接BQ并延长交

P。的延长线于点C,

••・将点P'作关于点N的对称点Q,

：.P'N=NQ,

•••P'M=BM,

BQ=2MN=2X(OM-ON)=4-2t,且MN||8Q,

•••将点P沿OM方向平移2个单位，

•••P'PWOMWBQ,P'MWPO,

••・四边形P'PCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，

・•・将点尸沿OM方向平移2个单位，

P'P=BC=2,

•••QC=BC-BQ=2-(4-2t)=2t-2,

•••点P的坐标为(-4,0),

PC=P'B=2P'M=8,

由图得，PC-CQ<PQ<PC+CQ,

..PQ的最大值为PC+CQ=2t+6,PQ的最小值为PC-CQ=10-2t,

PQ长度的最大值与最小值的差为2t+6-(10-2t)=4t-4.

故答案为：4t—4.

【点睛】本题考查了圆的综合问题，主要考查了中位线的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定及性

质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键.

17.(2023•山东济宁•统考三模)如图，在RtAABC中，乙4BC=90。，AB=8,BC=6,。为线段力B上的

动点，连接CD,过点B作BE1CD交CD于点E,则在点。的运动过程中，求线段4E的最小值为.

【答案】V73-3/-3+V73

【分析】根据BE_LCD,得到NBEC=90。，进而得到点E在以BC为直径的圆上，设BC的中点为0,连接2。，

交O。于点心连接。瓦则：AE>OA-OE,当且仅当0,4,E三点共线时，AE取得最小值，即点E与点F重

合时，4E取得最小值，进行求解即可.

【详解】解：J.CD,

:.乙BEC=90°,

...点E在以BC为直径的圆上，

设BC的中点为0,连接4。，交。。于点F,连接。E,贝hAE>OA-OE,

.•.当且仅当0,4E三点共线时，4E取得最小值，此时点E与点F重合，

'：^ABC=90°,AB=8,BC=6,

/.OF=BO=3,AO=yjAB2+BO2=V73

.••4E的最小值为：XO-OF=V73-3；

故答案为：V73-3.

【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值.解题的关键是确定点E在以为直径的圆上.

18.（2023•安徽合肥•校联考一模）如图，在矩形4BCD中，AB=6,BC=4,P是矩形内部一动点，且满足

则线段BP的最小值是；当8P取最小值时，DP延长线交线段BC于E,贝UCE的长

为.

【答案】23

【分析】（1）如图，由NBCP=NPDC及=90。易证NCPD=90。，所以点尸在以CO为直径的圆上，连

接0B,交。。于P,此时BP长最小，根据勾股定理求解0B=5,进而求得BP为2；

（2）如图，作OF||BC交DE于F,由。C=。。可证。F=-CE,由4BPE-△OPF知些=—,从而解得CE=3.

2OFPO

解：・・•四边形4BCD矩形，

:.乙BCD=90°,

:•(BCP+乙DCP=90°

ZBCP=乙PDC,

・•・乙PDC+乙PCD=90°,

・•・Z.CPD=90°,

以CO为直径作。。，。。经过点P,连接08,交。。于P,此时PB长最小.

u：0B2=BC2+CO2=42+32,

・•.OB=5,

：.PB=OB-OP=5—3=2,

故答案为2.

(2)作OF||BC交DE于F,

■■■OC=OD,

DF=EF,

OF=-CE,

2

OF||BC

：.Z.PFO=乙PEB,乙POF=Z.PBE

:・&BPE〜XOPF

.BEBP

••1—•

OFPO

・4-CE2

••-j=一,

3

CE=3.

故答案3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和

性质；明确动点尸的轨迹，确定BP取最小值时点P的位置是解题的关键；求CE长的关键是利用矩形的性质

及（1）空的结论构造相似三角形求解.

题型06由垂径定理及推论判断正误

19.（2022・山东济宁•二模）如图，在O。中，是直径，CQ是弦，AB1CD,垂足为E,连接C。、AD.OD,

4BAD=22.5°,则下列说法中不正确的是（）

A.CE=EOB.OC=V2CD

C./-OCE=45°D.乙BOC=2乙BAD

【答案】B

【分析】由ABLCD,4B是。。的直径，得CE=DE,BC=BD,进而得出△OCE为等腰直角三角形，进

而得出NOCE=45。，OC=>/2CE,CE=OE,从而得出答案.

【详解】解：・.•4B±CD,AB是。。的直径，

CE=DE,BC=BD,

・•・乙BOC=2A.BAD=2X22.5°=45°,

OCE为等腰直角三角形，

AOCE=45°,OC=V2CF,CE=OE,

：.OC^—CD.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

20.（2022•河南许昌・统考一模）如图，是。。的直径，弦A8LCD于点E,则下列结论不一定成立的是

（）

A.AE=BEB.OE=DEC.AC=废D.AD=

【答案】B

【分析】根据垂径定理即可判断.

【详解】解：•••CD是。。的直径，弦48,CO于点E,

AE=EB,AC=RG,9=血

故选：B.

【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.

21.（2018•内蒙古包头•校联考一模）如图，已知AB是。。的直径，弦CDLAB于E,连接BC、BD、AC,

下列结论中不一定正确的是（）

A.ZACB=90°B.OE=BEC.BD=BCD.=Af

【答案】B

【分析】根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可.

【详解】：AB是。O的直径，

AZACB=90°,故A正确；

:点E不一定是0B的中点，

.•.OE与BE的关系不能确定，故B错误；

VAB±CD,AB是。O的直径,

：.BD=阮,

；.BD=BC,故C正确;

：.AD=AC,故D正确.

故选B.

【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的

关键.

题型07利用垂径定理求解

22.（2023・云南•模拟预测）如图，已知A8是。。的直径，CZ）是。。的弦，AB^CD.垂足为E.若AB=26,

CD=24,则NOCE的余弦值为（）

12

AB.D常

-i13

【答案】B

【分析】先根据垂径定理求出CE=^CD,再根据余弦的定义进行解答即可.

【详解】解：："是。。的直径，回CD

：.CE=\CD=12^OEC=^,OC^AB^,

CE12

AcoszOCE=—=—

OC13

故选：B.

【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答

此题的关键.

23.（2023・陕西西安•校考二模）如图，CD是圆。的弦，直径垂足为E,若48=12,BE=3,则

四边形的面积为（）

C.18V3D.72V3

【答案】A

【分析】连接OC,首先根据题意可求得OC=6,OE=3,根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理

即可求得CD的长，据此即可求得四边形AC8O的面积.

【详解】解：如图，连接0C,

\'AB=n,BE=3,

：.OB=OC=6,OE=3,

'：AB±CD,

：.在RtXCOE中，EC=VOC2-OE2=736—9=3日，

：.CD=2CE=6y/3,

四边形ACB。的面积-CD=|X12X6A/3=36V3.

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键.

24.（2022•北京丰台・统考一模）如图，。。的直径AB垂直于弦CQ,垂足为E,/CAD=45。,则/80C=

c

BEO

D

【答案】45

【分析】根据垂径定理可得△AC。是等腰三角形，ZBAC=22.5°,然后再利用圆周角定理可得NBOC=45。.

【详解】解：；。。的直径A2垂直于弦CD

：.CE=DE,

：.AB垂直平分CD

：.AC=AD

...△AC。是等腰三角形

11

，ZBAC=-ZCAD=-x45°=22.5°

22

，ZBOC=2ZBAC=45°,

故答案为：45.

【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质，关键是掌握垂直于弦的直径

平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.

25.（2023•新疆乌鲁木齐・统考一模）如图，已知A8是。。的弦，ZAOB=120°,OC±AB,垂足为C,OC

的延长线交。。于点D.若NAP。是他所对的圆周角，则/APO的度数是.

D

【答案】30。/30度

【分析】根据垂径定理得出进而求出/AO0=6O。，再根据圆周角定理可得

1

ZAPD=-ZAOD=30°.

2

【详解】VOC1AB,0。为直径,

・••肋=舫，

・•・ZAOB=ZBOD,

,/ZAOB=120°,

：.ZAOD=60°,

i

・•・ZAPD=-ZAOD=30°

29

故答案为：30。.

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键.

题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解

26.（2022•新疆乌鲁木齐•统考一模）如图，。。是△ABC的外接圆，2。是O。的直径，2。1匹于点反

（1）求证：乙BAD=ACAD-,

（2）连接B。并延长，交4C于点尸，交O。于点G,连接GC.若O。的半径为5,OE=3,求GC和。F的长.

【答案】（1）见详解；（2）GC=6,OF=^-

11

【分析】（1）由题意易得的=6,然后问题可求证；

（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有。E=1CG,OE〃CG,进而可得A/lOFCGF,

然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】（1）证明：是O。的直径，ADLBC,

:.呢=CD,

：./.BAD=乙CAD；

（2）解：由题意可得如图所示:

n

由（1）可得点E为BC的中点,

:点。是BG的中点，

：.0E=^CG,OE//CG,

：.△AOFCGF,

.0A_OF

*'CG~GF9

*：0E=3,

ACG=6,

・・・。。的半径为5,

AOA=OG=5,

,5_OF

・•6-GF9

【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形

中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

27.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖.已知△4BC是等边三角形,

。点是弧/C的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为.

【分析】如图，连接。40C,连接。。交/C于E,贝1J。。1AC,AE=CE,OD=OC=CD=OA,^OAE=

ADCE=30°,证明AAOE三ACDEISAS）,贝略少0£=S^DE，S阴影=S扇形和口=鬻，根据飞镖落在阴影

部分的概率为警，计算求解即可.

S。。

【详解】解：如图，连接。40C,连接。。交/C于E,

由题意知，。。1AC,AE=CE,WAE=(DCE=30°,

9：AD=CD,

：.Z.AOD=乙COD=60°,

*：OD=OC,

△c。。是等边三角形，

ACD=OA,

在AAOE和△COE中，

OA=CD

9：UOAE=(DCE=30°,

、AE=CE

：.△AOE=ACDF(SAS),

••S—OE=S^CDE，

,c—c—60—2

・•J阴影一J扇形zoo-WT，

2

Q60；rr

阴影=='

,SQQa?6'

...飞镖落在阴影部分的概率为:，

6

故答案为：

6

【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与

性质，扇形面积，几何概率等知识.解题的关键在于正确的表示阴影部分面积.

28.(2022•广东广州•统考一模)如图A8与圆O相切于A,3是圆。内一点，与圆相交于C.已知BC

=DC=3,OD=2,AB=6,则圆的半径为.

A

B

【答案】V22

【分析】连接2C并延长，交圆于R过。作连接4C,04AF，证明则可得

=BC,BF,进而求得。E=|,00=2,勾股定理求解即可.

【详解】解：连接BC并延长，交圆于R过。作OELBF连接4&。44尸

••,A4是圆。的切线，切点为A,

.­.Z.OAB=90°

/-OAC+/.CAB=90°

■■■AG=AC

1

•••Z-AOC=—Z-AFC

在△ZOC中，04=OC

・•・^AOC+2^0AC=180°

贝!J244FC+2404C=180°

・•.AAFC+^OAC=90°

•••Z-AFC=Z.CAB

又（B=2B

•••△ABCs&PBA

AB_BC

：'~FB=~AB

：・AB2=BC・BF,

•；BC=DC=3,AB=6,

：.BF=n,CF=9,

：3

.DE=-2,OD=2,

：.OE=70D2—DE2=4--=—,CE=2,

q422

OC=y/OE2+CE2=/-+—=V22.

\44

故答案为：V22.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，证明4序=3。8凡是解题的

关键.

29.（2022.广西钦州・统考一模）如图，在AABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,点。是AC边上一动点，

过点A作AE1BE交BD的延长线于点E,则差的最小值为.

【答案】3

【分析】连接OE,作EFLAC,垂足为点E先证明得出当点E是只中点时，EF的值最

大，则器值的最小，此时E,F,O共线.再进行计算即可.

DE

【详解】解：如图，设A3的中点为O,连接。£作M_L4C,垂足为点R

VZC=90°,AE1BE,

：.ZC=ZAEB=90°f

・・・A,B,E,。四点共圆,

ZC=NA仍=90。,ZEDF=ZBDC,

：・4EDFs丛BDC,

.BD_BC

**DE~EF'

当点E是此中点时，EP的值最大，则器值的最小，此时E,F,。共线.

DE

VAC=4,BC=3,

AB=732+42=5,

15

：.OE=-AB=-,

22

•：OE工AC,

：.AF=-AC=2,

2

：.OF=y/OA2-AF2=J(j)2-22=j,

53

：.EF=OE-OF=---=1,

22

.BDBC30

••==1=J,

DEEF1

.♦噂的最小值为3.

DE

故答案为：3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当0EL2C时，E尸有最大值

是解题的关键.

30.(2021・四川成都・统考二模)如图，在半径为3迎的。。中，A2是直径，AC是弦，。是4C的中点，AC

与8。交于点E.若E是8。的中点，则AC的长是.

【答案】8

【分析】连接交AC于凡根据垂径定理得出ODJ_AC,AF=CF,进而证得。尸=BC,根据三角形中

位线定理求得。/=部=打尸，从而求得BC=。尸=2鱼，利用勾股定理即可求得AC.

【详解】解：连接。。，交AC于尸,

•.,。是ac的中点,

：.OD±AC,AF=CF,

：.NDFE=90。,

'：OA=OB,AF=CF,

：.OF^BC,

,：AB是直径，

ZACB=90°,

在△£/£>和AECB中，

2DBE=4BCE=90°

乙DEF=乙BEC，

1.DE=BE

:.AEFDm/\ECB(A4S),

：.DF=BC,

：.OF^DF,

•：OD=3五,

：.OF=V2,

:.BC=26

在放“BC中，AC2=AB2-BC2,

：.AC=\lAB2-BC2=J(6V2)2-(2V2)2=8,

故答案为8.

【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及推论、全等三角形的判定、勾股定理、灵活应用性质及定理是

关键，熟练掌握垂径定理是重点.

题型09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标

31.(2022•山东淄博・统考一模)如图，在平面直角坐标系中，半径为5的OE与y轴交于点4(0,-2),B(0,4),

与％轴交于C,D,则点。的坐标为()

A.(4-2A/6,0)B.(-4+2旄,0)C.(-4+V26,0)D.(4-V26,0)

【答案】B

【分析】如图，作EF1CD于F,6"148于用，连接ED,由题意知M为4B中点，坐标为(0,1),在Rt△BEM

中，由勾股定理得EM='OB?-BM2,求出EM的值，进而得出E的坐标，在RtAEFD中，由勾股定理FD=

一上下2求出的值,进而可得。点坐标.

【详解】解：如图，作EF_LCD于F,于M,连接ED

由题意知M为A,B中点，坐标为(0,1)

•：OB=5,BM=3

在RtABEM中，由勾股定理得EM='OB2-BM?=4

\'EF=。"=1

4,1)

在Rt△EFD中，由勾股定理得FD=VFZ)2-EF2=V52-I2=2V6

.'.0(-4+276,0)

故选B.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识.解题的关键在于求出E的坐标.

32.(2021•浙江宁波•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，已知71(10,0),8(8,0),点C,D是以。力为直径的

半圆上两点，且四边形。CD8是平行四边形，则点C的坐标是()

A.⑵3)B.(2,4)C.(1,2)D.(1,3)

【答案】D

【分析】作MNLCD于点N,连接MC,作CELOA于点E,则四边形MNCE是矩形.根据垂径定理即可

求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角AMNC中，利用勾股定理求得的长，则C的纵坐标即可求

解.

【详解】解：作MNLC。于点N,连接MC,作CELOA于点E.

则四边形MNCE是矩形.

,点A的坐标是(10,0),点2的坐标是(8,0),

.•.。4=10,OB=8,

,/四边形OCDB是平行四边形，

:.CD=OB=8.

,:MN工CD于点、N,

11

・•・CN=DN=-CD=-OB=4.

22

•・•四边形MNCE是矩形，

；.EM=CN=4,

：.OE=OM-EM=5-4=1.

在直角△CMN中，CM=OM=5,MN=yJCM2-CN2=3.

:,CE=MN=3.

・・・C的坐标是：(1,3).

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常

用的解题方法.

33.（2017•山东临沂•校考一模）如图，已知。A在平面直角坐标系中，OA与x轴交于点B,C,与y轴交

于点D,E,若圆心A的坐标为（-4,6）,点B的坐标为（-12,0）,则DE的长度为（）

A.2V21B.4VHC.8D.16

【答案】B

【详解】连接AD,AB,再过点A作AN_LOB于N,AM_LDE于M.,则AMON是矩形,

•.•点A在第二象限，OA与x轴交于B（-12,0）点，A的坐标为（-4,6）,

.,.OB=12,ON=AM=4,AN=6,/.BN=8,

VANXOB,由垂径定理可知：AB=AD=V62+82=10,VAMXDE,

.*.DM=V102-42=2VH,.,.DE=2DM=4A/2T,故选B.

34.（2022.四川泸州•模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，点P是反比例函数y=>0）

图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为4、B,当弦4B的长等于24时，

点P的坐标为.

【答案】(应,3/)或(3a,迎)

【分析】当点P在直线y=x上方时，作PH1AB,利用垂径定理可得4H=V5,由勾股定理易得PH,作PM1%

轴交直线4B于点C,由PH可得CP,设。M=a,贝“CM=a,易得，P(a,a+2V2),因为P点在反比例函数

图像上，所以易得a(a+2a)=6可得a,易得P点的坐标，当点P在直线y=x下方时，利用对称性可得P点

的另一坐标.

【详解】解：当点P在直线y=x上方时，连接P4作PHLAB,

•••AH=V5,而PA=3,

PH=2.

作PM1x轴交直线4B于点C,

ZzCOM=乙PCH=45°,

J./-PCH=AHPC=45°,OM=CM,

：.PC=V2PW=2V2,

设。M=a,贝UCM=a,

P[a,a+2V2),

•点P是反比例函数y=g(x>0)图像上的一个动点,

a(a+2V2)=6,

■■■a—y/2,(负值舍去)

.­■P(V2,3V2),

当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P（3M&）.

故答案为：（V2,372）^（372,V2）.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与一次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的

辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得PC是解答此题的关键.

题型10利用垂径定理求平行弦问题

35.（2021.浙江衢州•校考一模）如图，已知AB是半圆。的直径，弦C£>=8.AB=10,则CO与

【答案】3

【分析】过点。作CD于连接OC,先利用垂径定理得到CH=4,然后在R3OCH中，利用勾股

定理即可求解.

【详解】解：过点。作于

*8=4,

在RtAOCH中，OH=A/52-42=3,

所以。与AB之间的距离是3.

故答案为3.

【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键.

36.（2022.黑龙江•统考一模）如图，矩形ABC。与圆心在上的。。交于点G,B,F,E,GB=5,E尸=4,

那么AD=

D

【分析】连接。尸，过点。作O//LER垂足为“，根据垂径定理，在△。郎中，勾股定理计算.

【详解】如图，连接OF,过点。作OHJ_EF,垂足为“，

：.OF=OB=~,