2024年中考数学一轮复习：与圆有关的计算（练习）（解析版）

第28讲与圆有关的计算

目录

题型过关练N

题型01求正多边形中心角

题型02求正多边的边数题型12求某点的弧形运动路径长度

题型03正多边形与圆中求角度题型13求扇形面积

题型04正多边形与圆中求面积题型14求图形旋转后扫过的面积

题型05正多边形与圆中求周长题型15求圆锥侧面积

题型06正多边形与圆中求边心距、边长题型16求圆锥底面半径

题型07正多边形与圆中求线段长题型17求圆锥的高

题型08正多边形与圆的规律问题题型18求圆锥侧面积展开图的圆心角

题型09求弧长题型19圆锥的实际问题

题型10利用弧长及扇形面积公式求半径题型20圆锥侧面上的最短路径问题

题型11利用弧长及扇形面积公式求圆心题型21计算不规则面积

角

真即实战练、

题型过关练N

题型01求正多边形中心角

1.（2022•河北石家庄•统考二模）如图，边A8是。。内接正六边形的一边，点C在上，且8C是。。内

接正八边形的一边，若AC是。。内接正巩边形的一边，则w的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根据中心角的度数=360。一边数，列式计算分别求出NA02,N20C的度数，可得NAOC=15。，然

后根据边数〃=360。+中心角即可求得答案.

【详解】解：连接OC,

TAB是。。内接正六边形的一边，

ZAOB=360°4-6=60°,

•；2C是。。内接正八边形的一边，

.•.N3OC=360°+8=45°,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-45°=15°

."=360°T5°=24.

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中

心角的度数是解题的关键.

2.（2022•吉林长春•校考模拟预测）如图，正五边形A8CZJE内接于。。，点尸在阿上，则

度.

【分析】连接。C,OD.求出NC。。的度数，再根据圆周角定理即可解决问题.

【详解】如图，连接OC,OD.

五边形ABCDE是正五边形，

/.ZCOD=^=72°,

ZCFD=-ZCOD=36°,

2

故答案为：36.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

3.（2022•江苏扬州・扬州教育学院附中校考二模）如图，在正十边形力142444&46力7484940中，连接

【答案】54

【分析】设正十边形的圆心O,连接A?。、A4O,再求出/404,最后运用圆周角定理解答即可.

【详解】解：如图：设正十边形的圆心0,连接A70、A4O,

•.•正十边形的各边都相等

/A7OA4磊x360°=108°

.•.乙4"出=108°x|=54°.

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答

本题的关键.

题型02求正多边的边数

4.（2022・上海松江・统考二模）如果一个正多边形的中心角为72。，那么这个正多边形的边数是.

【答案】5

【详解】解：•••中心角的度数="，

n

-72°=—n,

n=5,

故答案为：5.

5.（2022•上海浦东新•统考二模）一个正〃边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则

【答案】6

【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程求

解即可.

【详解】•.,正”边形的一个内角和=Cn-2）-180°,

.♦•正〃边形的一个内角J"。”nEV，.

•.•正”边形的中心角=随，

n

180°x(n-2)36O°X2

nn

解得：n=6.

故答案为6.

【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法.

6.（2022•广东深圳.统考二模）一个正多边形内接于半径为4的。。，AB是它的一条边，扇形048的面积

为2兀，则这个正多边形的边数是.

【答案】8

【分析】设/4。8=〃。，利用扇形面积公式列方程与4=2兀，求出NAOB的度数，然后用360。-45。计算即

360

可.

【详解】解：设NAOB="。，

,扇形OAB的面积为2兀，半径为4,

."=45°,

；.360°+45°=8,

...这个正多边形的边数是8,

故答案为8.

【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形面积，圆心角，掌握正多边形与圆的性质，扇形面积公式，圆心角

是解题关键.

题型03正多边形与圆中求角度

7.（2022•山东青岛・统考二模）如图，五边形ABCDE是。。的内接正五边形，贝吐EBC的度数为（）

A.54°B.60°C.71°D.72°

【答案】D

【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出然后利用三角形

内角和求出NABE=[180。—乙4）=36。即可.

【详解】解：；五边形4BCDE是。。的内接正五边形，

ZA=ZABC=J（5-2）X180°=108°,AB=AE,

NABE=/AEB,

：.ZABE=^（180°-4力）=36°,

:.乙EBC=UBC-乙ABE=108°-36°=72°.

故选：D.

【点睛】本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握圆

内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键.

8.（2022•河北•模拟预测）如图，正六边形A8COEF内接于。。连接8D则的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】根据正六边形的内角和求得NBCD,然后根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】：在正六边形ABCDEP中，NgCD=♦-2）x180。=]2o。,BC=CD,

6

1

：.ZCBD^~（180°-120°）=30°,

2

故选A.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题

的关键.

9.（2022•河北保定.统考模拟预测）如图，点。是正六边形A8CDEF的中心，NGOK的两边OG,OK,分别与

AB,CB,相交于点M,N,当NGOK+乙4BC=180。时，下列说法错误的是（）

A.Z.GOK=60°B.MB+NB=DC

C-S四边形OMBN=^S正六边形4BCDEFD.NOMA与NONB相等

【答案】c

【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可.

【详解】解：如下图所示，连接。4OB,OC.

•・•点。是正六边形4BCDEF的中心,

OA=OB=OC,Z.FAB=/.ABC=I—v)=120°,^AOB=/.BOC=—=60°,AB=DC,S^0AB=

66

Z,正六边形488叱

180°-Zi4OB/A。180°-4BOC

Z.OAM=------------二60,乙OBN=60°.

22

・••Z-OAM=乙OBN.

•・•乙GOK+4ABC=180°,

4OMB+乙ONB=360°-(乙GOK+^ABC)=180°,乙GOK=180°―/.ABC=60°.

故A选项不符合题意.

•・・WMA+Z.OMB=180°,

・•・4。MZ=Z.ONB.

・•.△OAM=△OBN(AAS).

•*-Z-OMA=Z.ONB,MA=NB,SA0AM=S^0BN.

故D选项不符合题意.

•••MB+NB=MB+MA=AB=DC.

故B选项不符合题意.

^OMB+S&OBN=^AOMB+^AOAM=^AOAB-

•'•S四边形。MBN=SA04B=1S正六边形4BCDEF.

故c选项符合题意.

故选：C

【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关

键.

10.（2022.广西梧州.统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F,则回AFE的度数

为-.

【答案】72。

【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,然后利用三角形内角和定理

MZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=（180°-108°）+2=36。，最后利用三角形的外角的性质得到

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°.

【详解】•••五边形ABCDE为正五边形，

；.AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,

...NBAC=NBCA=NABE=NAEB=（180°-108°）+2=36°,

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°,

故答案为72°.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键.

题型04正多边形与圆中求面积

11.（2022・河北廊坊・统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张

保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面

积与折线4--C，扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）

A.3:1B.4:1C.5:2D.2:1

【答案】A

【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题.

【详解】解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点。作于点H,06_14产于点6,

根据题意，正六边形纸片边长为2a,即CD=2a,

/.OC=OD=CD=2a,

*：0H1CD,

：.CH=DH=-CD=a,

2

：.在Rt△0cH中，OH=VOC2-CH2=7（2a）2-a2=Wa,

同理，0G=y/3a,

2

SA℃D=三CD-OH=1x2axWa—V3a,

正六边形的面积=6x，X（2a）2=6V5a2,

•..将上面一张纸片六边形4B（切上午，沿水平方向向左平移a个单位长度,

又；GH=0G+0H=2岛，

阴影部分的面积=ax2V3a=2用a2,

二空白部分与阴影部分面积之比是=6V3a2:2V3a2=3:1.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了多边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平移变换等知识，解题关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

12.（2022.浙江宁波.统考二模）如图，正六边形A8CDEF中，点P是边4尸上的点，记图中各三角形的面积

依次为Si，S2，S3，S4，Ss，则下列判断正确的是（）

A.Si+S2=2s3B.Si+S4=S3C.S2+S4=2s3D.S】+S5=S3

【答案】B

【分析】正六边形4BCDEF中，点尸是边4F上的点，记图中各三角形的面积依次为SiSSSW，则有

$3=lSS.7si）l^ABCDEF,51+54=52+55=9s正六边形谢曲'由此即可判断♦

【详解】解：正六边形力BCDEF中，点尸是边力F上的点，记图中各三角形的面积依次为Si，S2，S3，S4，Ss，

则有S3=35lEAaB^BCDffF,S1+S4=S2+S5=5s正六边形ABCDEF，

S3=Si+S4=S2+S5,

故选：B.

【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

13.（2022•浙江杭州•杭州育才中学校考模拟预测）边长为。的正方形的对称轴有条，这个正方

形的外接圆的面积是.

【答案】41一

【分析】正方形的对称轴有4条，然后根据正方形的对角线长就是外接圆的直径求得外接圆的半径，从而

计算面积即可.

【详解】任何正方形的对称轴都有4条；

•正方形的边长为

.••正方形的对角线长为：V2a,

•••正方形的对角线是正方形的外接圆的半径，

正方形的外接圆的半径为日a，

2

二・正方形的外接圆的面积为：TCr2=71(9a)=■|兀。2.

故答案为：4,^na2.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是弄清正多边形的有关元素与圆的关系，如本题中

的外接圆的半径就是正方形对角线长的一半.

14.(2022咛夏银川•校考三模)如图，已知。。的内接正六边形2BCDEF的边心距。M是遍，则阴影部分

的面积是.

【答案】4it-6V3/-6V3+4兀

【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出NDOE=60°,进而得出△DOE是正三角形，由圆内接正六边形

的性质以及直角三角形的边角关系可求出半径。D,边长DE,再根据面积公式求出正六边形力BCDEF的面

积，最后由阴影部分的面积等于圆的面积减去正六边形4BCDEF,进行计算即可

【详解】解：如图，连接。D,0E,

•..六边形力BCDEF是0。的内接正六边形，

/.Z.DOE=—=60°

6

*：0D=OE

:•△OOE是正三角形，

;。。的内接正六边形4BCDEF的边心距。M是B，

：.0D=-^=2,即DE=0E=2,

sm60

,,SABCDEF=6xSADOE=6x-x2xV3=6V5

2

♦,S阴影部分=S圆一SABCDEF=nx2-6A/3=4K-6V3

故答案为4TT-6V3

【点睛】本题考查正多边形面积与圆面积的计算，掌握圆内接正六边形的性质以及圆的面积的计算方法是

解决问题的关键

15.（2022・四川成都•校考模拟预测）求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积.

【答案】它的内接正三角形的边长为20b，面积为300次

【分析】作正三角形关于。。的内接三角形，过点。作BC的垂线AD,垂足为。，连接。8,根据正三角

形的性质，得出NOBD=30。，再根据锐角三角函数的定义，得出BD的长，再根据垂径定理，得出BC=

2BD,从而求正三角形的边长，再根据锐角三角函数的定义，求出4。的长，进而得出其面积.

【详解】解：如图，作正三角形ABC关于O。的内接三角形，过点。作BC的垂线4D,垂足为D,连接。8,

••・半径为20的圆的内接正三角形,

0B=20,

AD1BC,

4D是NB4C的角平分线，

ABAD=30°,

又•:BO=OA,

•••Z.ABO=30°,

•••乙OBD=30°,

在RtA中，

BD=cos30°xOB=yx20=10圾

•••BD=CD,

：.BC=2BD=20V3,

AD=AB-sin60°=20V3x—=30,

.­"SAABC=gBC-AD=|x20V3x30=300V3,

.••它的内接正三角形的边长为20g,面积为3006.

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，根据正三角形的性质得出NOBD=30。是解题关

键.

题型05正多边形与圆中求周长

16.（2022・河北唐山•统考二模）如图，有公共顶点。的两个边长为5的正五边形（不重叠），以点。为圆

心，5为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的周长为（）

C.10兀D.IOTT+20

【答案】B

【分析】根据多边形的内角和求出正五边形的内角和，可求得每个内角的度数，则可求得阴影部分的度

数，再利用圆弧的周长计算公式即可求得答案.

【详解】解：正五边形的内角和为：（n-2）-180°=（5-2）x180°=540°,

•••每个角为540。+5=108°,

则图中阴影部分的度数为：360。一2x108。=144。，

则圆弧的长：—x2nr=—x2x5-Jr=4兀，

360360

蘑菇'’形图案的周长为：47T+4X5=4兀+20,

故选B.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆弧的周长计算，解题的关键是熟练掌握圆弧的周长计算公式.

17.（2022•江西吉安・统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动.小明看到黄金分割

比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一

般取0.618.特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接A8,AC,乙4cB的角平分线交边AB于点。，

则点D就是线段A8的一个黄金分割点，且已知2C=10cm,那么该正五边形的周长为()

25cmC.30.9cmD.40cm

【答案】c

【分析】证明BC=CD=AO=6.18(cm),可得结论.

【详解】解：由题意，点。是线段的黄金分割点,

.啕=。.618.

"."AB=AC=10cm,

.".AZ)=6.18(cm),

VZABC^ZACB=12°,CD平分/AC2,

ZACD=ZBCD=ZCAD=36°,ZCDB=ZCBD=12°,

：.BC=CD=AD=6AS(cm),

••.五边形的周长为6.18x5=30.90(cm),

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题.

18.(2022.云南昆明•统考二模)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又

割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边

数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，….边数越多割得越细，正多边形的周长

就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R,图1中

圆内接正六边形的周长L=6R,则兀。*=3.再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算

它的周长，下列结果正确的是()

A.l12=24/?sinl5°B.l12=24Rcosl5°

C.C=24Rsin30°D.l12=24Rcos30°

【答案】A

【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可.

【详解】解：：十二边形是正十二边形，

.•.乙46。47=30°,

：OM1442于〃，又。人6=。&，

：.Z-A6OM=15°,

正ri边形的周长=n-2Rsin^J

n

；•圆内接正十二边形的周长匕2=24Rsinl5。,

故选：A.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键.

19.(2022•浙江・统考二模)如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8如”，两脚8C=B£>=56切72,如图2

所示.当乙CBD=74。时:

图2图3

(1)求A离纸面C。的距离.

(2)用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长.(参考数据：sin37y0.60,COS37P0.80,

sin74°~0.96,cos74°~0.28,结果精确到0.1)

【答案】（l）52.8mm

（2）403.2mm

【分析】（1）连接CD,过点B点作BE1CD,垂足为E,根据等边三角形的性质求得NCBE=37。，解直角

三角形CBE,分别求得CE,BE,根据即可求解.

（2）根据正六边形的性质，正六边形的边长等于半径，等于CD的长，即可求得正六边形的周长.

【详解】（1）如图，连接CD,过点B点作BELCD,垂足为E,

AEJ

•・•BC=BD,

・•.CE=DE/CBE=UBE=三乙CBD=37°,

BE-BC-cos37°«56x0.80=44.8mm,

AE=AB+BE=8+44.8=52.8mm,

即A离纸面CD的距离为52.8mm.

（2）vCE=BC-sin370-56x0.60=33.6,

CD-2CE—67.2mm.

・••正六边形的边长等于外接圆的半径，则正六边形周长=6CD=6x67.2=403.2mm.

【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关

键.

题型06正多边形与圆中求边心距、边长

20.（2022•广东湛江•岭师附中校联考三模）半径为2的圆内接正六角形的边长是（）

A.1B.2C.V3D.2V3

【答案】B

【分析】根据正六边形的性质可知NCOD=60。，再根据等边三角形的判定与性质可知。C=OD=CD进而

即可解答.

【详解】解：如图，连接。C、OD,

•..正六边形ABCDEF内接于圆。，

:.乙COD=陋=60。，

6

VOC=OD,

△OCD是等边三角形，

：.OC=OD=CD,

VOC=OD=2,

：.CD=2,

故选B.

【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的

关键.

21.（2022・河南信阳・统考三模）如图1,动点尸从正六边形的A点出发，沿A—FTE-。―C以1cm/s的

速度匀速运动到点C,图2是点尸运动时，AACP的面积y（cn?）随着时间》Q）的变化的关系图象，则

正六边形的边长为（）

图I图2

A.2cmB.V3cmC.1cmD.3cm

【答案】A

【分析】如图，连接BE,AE,CE,BE交AC于点G,证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得

△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得的长即可.

【详解】】解：如图，连接BE,AE,CE,BE交AC于点G

由正六边形的对称性可得BE±AC,△ABC^/\CDE^△AFE

」.△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线

:动点P从正六边形的A点出发，沿A—FH—C以lcm/s的速度匀速运动

当点P运动到点E时4ACP的面积y取最大值3V3

设AG=CG=a(cm),贝!JAC=AE=CE=2a(cm),GE=y/3a(cm)

/.2axV3a-r2=3V3(cm)

a2-3

«=V3(cm)或a=-W(舍)

•.•正六边形的每个内角均为120°

ZABG=-xl20°=60°

2

，在放AABG中,禁豆〃60°

.V3_V3

**AB~2

•\AB=2(cm)

・•・正六边形的边长为2cm

故选:A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形AACE的边

长，是解题的关键.

22.(2022・四川达州•四川省渠县中学校考二模)如图，。。的内接正六边形的边长是6,则弦心距

是.

【答案】3V3

【分析】连接02、0C,过点。作0ML2C,交BC于点、M,证明△02C为等边三角形，根据等边三角形

的性质，得出BM=]BC=3,根据勾股定理得出0M=3旧即可.

【详解】解：连接02、0C,过点。作交BC于点如图所示:

六边形ABCDEF为圆内接正六边形，

.•.4800=2x360°=60°,

6

OB=OC,

・•.A0BC为等边三角形，

：・0B=0C=BC=6,

•••0M1BC,

：.BM=-BC=3,

2

.­-0M=y/OB2-BM2=V62-32=35

即弦心距是3百.

故答案为：3b.

【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握

等边三角形的判定和性质是解题的关键.

23.（2022.陕西西安•校考模拟预测）某正多边形的边心距遮，半径为2,则该正多边形的面积为.

【答案】6V3

【分析】根据题意画出图形，得出。E_LAB,0E=痘,。4=2,0A=0B,求出乙40B=2乙40E=

60。，得出正多边形是正六边形，然后求出结果即可.

【详解】解：如图所示：由题意可得，0E14B,OE=V3,OA=2,OA=OB,

贝IJCOSNAOE=y,

故NAOE=30°,

1

：.AE=-0A=1,

2

：.Z-AOB=2^AOE=60°,AB=2AE=2,

..360°「

•~-o,

60°

正多边形是正六边形，

则该正多边形的面积为：6x|x2x^^6V3,

故答案为：6V3.

【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，正多边形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明正多

边形是正六边形.

24.（2022•辽宁沈阳•统考二模）半径为6的圆内接正三角形的边心距为.

【答案】3

【分析】根据题意画出图形，连接。8、OC,作ODLBC于。，由含30。的直角三角形的性质得出。。即

可.

【详解】如图所示，连接。3、OC,作。。_LBC于O,

贝I|/ODC=90。,

"?ZBOC=-x360°=120°,OB=OC,

3

：.ZOBC=ZOCB=30°,

：.OD=-OB=-x6=3,

22

即边心距为3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是正

确作出辅助线，构造直角三角形来解答.

题型07正多边形与圆中求线段长

25.（2022•江苏徐州•徐州市第十三中学校考三模）如图所示的正八边形的边长为2,则对角线的长为

A.2a+2B.4C.2+V2D.6

【答案】A

【分析】标出点C,D,E,F,连接C。，连接AC,80交于点。过点E作EGLA8于G,过点尸作

H/LAB于根据正多边形和圆的性质，矩形的判定定理和性质确定NZMB=NABC=90。，根据多边形的

内角和定理确定/。4后=/4后尸=/咫。=135。，根据角的和差关系，平行线的判定定理确定EF||AB,根据

平行线的性质，矩形的判定定理和性质求出GH的长度，根据三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理

求出G4和HB的长度，最后根据线段的和差关系即可求出AB的长度.

【详解】解：如下图所示，标出点C,D,E,F,连接CZ）,连接AC,BD交于点O,过点E作EGLAB

于G,过点B作/田，于凡

E

根据图形可知直线AC和直线80是正八边形的对称轴.

...AC和8。是该正八边形外接圆的直径.

.•.AC=BD,点。为该正八边形外接圆的圆心.

OA=OB=OC=OD.

...四边形ABCD是平行四边形.

.,•四边形ABC。是矩形.

ZBAD=ZABC=90°.

•.•正八边形的边长为2,

：.AE=EF=FB=2,/.DAE=/.AEF=乙FBC=小也二）=135°.

8

ZGAE=ZDAE-ZDAB=45°,ZHBF=ZFBC-ZABC=45°.

ZAEF+ZGAE=180°.

：.EF||AB.

：.NEGH+NGEF=18。。.

•：EG2AB,FH±AB.

：.ZEGH=ZFHG=ZEGA=ZFHB=90°.

AZGEF=180°-ZEGH=90°,ZGEA=180°-ZEGA-ZGAE=45°,ZHFB=180°-ZFHB-ZHBF=45°,AE2=

GA2+GE2,FB2=HF2+HB2.

・•・四边形EGH尸是矩形，ZGAE=ZGEAfZHFB=ZHBF.

：.GH=EF=2,GA=GE,HB=HF.

：.22=GA2+GA2,22=HB2+HB2.

：.GA=V2,HB=V2.

：.AB=GA+GH+HB=+2.

故选：A.

【点睛】本题考查正多边形与圆的性质，多边形的内角和定理，矩形的判定定理和性质，平行线的判定定

理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键.

26.（2022・吉林长春.模拟预测）如图，正五边形A8CDE内接于。0,过点4作。。的切线交对角线。8的延

A.AEWBFB.AFWCDC.DF=AFD.AB=BF

【答案】C

【分析】连接。4OB.4D,根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判

断即可.

【详解】•••五边形4BCDE是正五边形，

.­.Z.BAE=/.ABC=NC=4EDC=NE=仁）尸。=108o,BC=CD,

-1

・•・乙CBD=4CDB=：x（180°-zC）=36°,

・•・^ABD=108°-36°=72°,

••・^EAB+乙ABD=180°,

・•・AEWBF,故A不符合题意;

•・・Z.F=Z.CDB=36°,

・・・AF\\CD,故B不符合题意；

连接过点A作1DF于点H,贝乙4HF=^AHD=90°,

•・•Z.EDC=108°,乙CDB=Z.EDA=36°,

・•.Z.ADF=108°-36°-36°=36°=乙F,

AAD=AF,故C符合题意;

连接。/、OB,

,・・五边形4BCDE是正五边形，

・•・乙AOB=警=72°,

0A=0B,

1

.­.乙OAB=Z.OBA=-（180°-72°）=54°,

•••凡4相切于。0,

.­./.OAF=90°,

.­.Z.FAB=90°-54°=36°,

•••/LABD=72°,

ZF=72°-36°=/.FAB,

：.AB=BF,故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等

知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键.

27.（2022.贵州贵阳・统考一模）如图，点P是正六边形48CCEF内一点,AB=4,当N&P8=90。时，连

接PD,则线段PD的最小值是（）

【答案】B

【分析】取A2中点G,连接过点C作于X,则2G=2,先求出80=4百，然后根据

ZAPB=90°,得到点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，则当。、尸、G三点共线时，0P有最小

值，由此求解即可.

【详解】解：取A3中点G,连接2。，过点C作于X,则BG=2,

六边形ABCDEF是正六边形，

:.乙BCD="-2)X180。=120。，CD=BC=AB=4,

6

：.BH=DH,^DCH=A.BCH=-^BCD=60°,

2

：.DH=CD-sinz£)C//=2V3,

：.BD=4V3,

ZAPB=90°,

.•.点尸在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，

...当。、P、G三点共线时，DP有最小值，

在RmBDG中，DG=y/BG2+BD2=2V13,

：.PD=DG—PG=2同一2,

故选B.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆外一点到圆上一点的最值

问题，确定当。、尸、G三点共线时，。尸有最小值是解题的关键.

28.(2022・陕西西安.陕西师大附中校考模拟预测)在正六边形A3C。所中，对角线AC,相交于点M,

【答案】2

【分析】根据多边形的内角和公式即可得出/ABC,NBCZ）的度数，再根据等腰三角形的性质证明=

CM,^.ABM=90。,设=a,贝!=a,则AM=2a,从而可得答案.

【详解】解：•六边形ABCDEF是正六边形，

AZBCD=ZABC=-（6-2）x180°=120°,AB=BC=CD,

6

:.NBAC=NACB=NCBD=NCDB1（180°-120°）=30°,

2

・•.CM=BMfZABM=90°f

设=af贝ljCM=a,

・•・AM=2BM=2a,

AM2a仁

•••—=——=2.

CMa

故答案为2.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角与外角以及等腰三角形的性质，含30。的直角三角形的

性质等知识，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键.

题型08正多边形与圆的规律问题

29.（2022•江苏扬州•模拟预测）如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的边

长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，..・・・，重复上述过程，经过2018次

后，所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（）

A.（a）2°】6倍B.（遮）2°17倍C.（遮）2°18倍D.（V2）2019{§

【答案】c

【分析】先根据正六边形的性质得出/I的度数，再根据AO=CD=BC判断出AABC的形状及N2的度数,

求出A2的长，进而可得出，经过2018次后，即可得出所得到的正六边形的边长.

【详解】•••此六边形是正六边形，

\'AD=CD=BC,

...△BCD为等边三角形，

：

.BD=2-AC,

：./XABC是直角三角形

XVBC=|AC,

Z2=30°,

：.AB=y/3BC=>j3CD,

同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（旧）2倍，

.••经过2018次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（百）2。18,

故选：C.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是熟知正多边形内角的性质及直角三角形的判定定

理，此题有一定的难度.

30.（2022•广东湛江.校考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形4BCDEF的中心与原点

。重合，AB||x轴，交y轴于点P.将△04P绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2023次旋转结束时，点

【答案】（-百,1）

【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后点的坐标即可.

【详解】解：：正六边形4BCDEF边长为2,中心与原点O重合，轴，

：.AP1,4。=2,^.OPA=90°,

OP=>JAO2-AP2=V3,

.•.第1次旋转结束时，点A的坐标为（8,-l）,

第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1,-8），

第3次旋转结束时，点A的坐标为（-百,1）,

第4次旋转结束时，点A的坐标为（1,旧），

二4次一个循环，

V20234-4=505……3,

.•.第2023次旋转结束时，点4的坐标为（-百,1）.

故答案为：（一百,1）.

【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化一旋转等知识，解题的关键是学会探

究规律的方法，属于中考常考题型.

31.（2022•广东•模拟预测）如图，边长为1的正六边形A2CDE尸放置于平面直角坐标系中，边AB在无轴

正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABC。跖绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60。，那么

经过第2025次旋转后，顶点。的坐标为（）

A.-V3）B.（-,--）C.（-V3,V3）D.

22222

【答案】A

【分析】如图，连接AD,BD.首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025+6=337…3,推出

经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的。3的坐标相同，由此即可解决问题.

【详解】解：如图，连接AD,BD.

在正六边形2BCDEF中，AB=1,AD=2,AABD=90°,

BD=y/AD2-AB2=V22-I2=V3,

在RtzlAOF中，AF=1,/.OAF=60°,

・•・^OFA=30°,

i1

・•・OA=-AF=

22

OB=OA+AB=

2

.•.D（|，圾，

•••将正六边形4BCDEF绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋转60。,

•••6次一个循环，

•••2025+6=337…3,

・••经过第2025次旋转后,顶点。的坐标与第三次旋转得到的。3的坐标相同，

•••。与/关于原点对称，

•■­03（—I,-V3）,

•••经过第2025次旋转后，顶点。的坐标（-|,-V3）,

故选:A.

可

【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律

的方法，属于中考常考题型.

题型09求弧长

32.（2022•山东枣庄•统考三模）一根钢管放在U形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm,若

乙4cB=60。，则劣弧的长是（）

0

A

A.871cmB.16ircmC.32ncmD.192Trcm

【答案】B

【分析】先利用v形架与圆的关系求出NC+NAO3=180。，由NC=60。，可求乙405=120。，由O8=24cm,

利用弧长公式求即可.

【详解】解：・・・AC与5c是圆的切线,

AOA±AC,OBLCB,

：.ZOAC=ZOBC=90°9

：.ZC+ZAOB=3600-ZOAC-ZOBC=360°-90°-90°=180°,

VZC=60°,

・•・ZAOB=180°-60°=120°,

O3=24cm,

,120X7TX24«/

人=-------=167rcm.

nES180

故选择B.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内

角和，弧长公式是解题关键.

33.（2023・甘肃天水・统考一模）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（至），点

。是这段弧所在圆的圆心，半径。/=90m,圆心角乙4。8=80。，则这段弯路（仙）的长度为（）

A.207rmB.307rmC.407rmD.507rm

【答案】C

【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（神）的长度.

【详解】解：：半径。4=90m,圆心角/AOB=80。，

••・这段弯路（河）的长度为：笔善=40兀（m）,

180

故选C

【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式/=黑.

180

34.（2022•广东中山•统考一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于

点A,B.若该圆半径是9cm,ZP=40°,贝必血8的长是（）

P

正面

图1图2

117

A.llTrcmB.—TTcmC.7TCcmD.-7rcm

22

【答案】A

【分析】如图，根据切线的性质可得NP40="B。=90。，根据四边形内角和可得的角度，进而可

得4MB所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解.

图2

•••PA,P8分别与力财8所在圆相切于点A,B.

•••Z.PAO=乙PBO=90°,

•••/尸=40°,

AAOB=360°-90°-90°—40°=140°,

,•,该圆半径是9cm,

AMB=360-140x9=llTTcm,

180n

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键.

35.（2023•湖北武汉•校考一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧

所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m,高为2bm,则改建后门洞的圆弧长是（）

A.ymB.yinC.竽mD.管+2）m

【答案】C

【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC,再利用矩形的性质证得ACOD是等边三角形，得到

ACOD=60%进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360。-60。=300。，利用弧长公式即可求解.

•."DC=90。，

；.BC是直径，

：.BC=VCD2+BD2=J22+（2V3）2=4,

•••四边形ZBDC是矩形，

・・.。。=。。=泗=2,

VCD=2,

：.OC=OD=CD,

•••△C。。是等边三角形,

AZ.COD=60°,

，门洞的圆弧所对的圆心角为360。-60°=300°,

.上一「上心l,t/Q300°7TX^BC3OO°7TX况4in

.•.改建后门洞的圆弧长是一2=—=—兀（m）,

lowloUJ

故选：c

【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关

键.

36.（2023•安徽合肥•统考一模）如图，点A,B,C,。在半径为5的。。上，连接力B,BC,CD,AD.若

ZXBC=108°,则劣弧4C的长为.

【答案】47T

【分析】先利用圆内接四边形的对角互补求出AD的度数，再利用圆周角定理求出入40C的度数，最后利用

弧长公式求解即可.

【详解】解：•四边形力BCD是圆内接四边形，AABC=108%

乙D=180°-/.ABC=72°,

：.^AOC=240=144°,

...劣弧力C的长为性竺丝=4兀.

180

故答案为：4兀.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长公式，熟练运用这些知识是解题的关键.

37.（2023•河北石家庄•校联考二模）如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为。的弓

形4MB,与桌面CD相切于点M,开口部分2B与桌面CD平行，测得开口部分48=40cm,MB=

20V5cm.（参考数据：tan26.5°左点sin30°=|）

CMD

(1)求弓形4MB的半径；

(2)求优弧4MB的长.

【答案】(1)25

(2)—

v718

【分析】(1)连接M。并延长M。交48