2024年中考数学一轮复习：特殊四边形-矩形（讲义）（解析版）

第23讲特殊四边形■矩形

目录

题型14与矩形有关的规律探究问题

一、考情分析题型15与矩形有关的动点问题

题型16矩形与一次函数综合

二、知识建构题型17矩形与反比例函数综合

考点一矩形的性质与判定题型18矩形与二次函数综合

题型01利用矩形的性质求角度考点二矩形的折叠问题

题型02利用矩形的性质求线段长题型01与矩形有关的折叠问题

题型03利用矩形的性质求面积类型一沿对角线翻折（模型一）

题型04求矩形在坐标系中的坐标类型二将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型

题型05根据矩形的性质证明二）

题型06矩形的判定定理的理解类型三将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）

题型07添加一个条件使四边形是矩形类型四矩形短边沿折痕翻折（模型四）

题型08证明四边形是矩形类型五通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）

题型09根据矩形的性质与判定求角度类型六将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型

题型10根据矩形的性质与判定求线段长六）

题型11根据矩形的性质与判定求面积类型七将矩形翻折使其一个顶点落在一边上

题型12根据矩形的性质与判定解决多结论问（模型七）

题类型八其它

题型13与矩形有关的新定义问题

考点要求新课标要求命题预测

矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难

矩形的性>探索并证明矩形的性质定理.

度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中考还

质与判定>探索并证明矩形的判定定理.

将出现.其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而

矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需

矩形的折要加以重视.解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形

叠问题全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较

大.

矩形具仃平行四边形的所仃性质题型01利用矩形的性质求加度

题型02利用矩形的性质求线段长

知形的四个口都是直角题型03利用矩形的性质求面积

性质对角线q相平分n.相等题型04求矩形在坐标系中的坐标

题型05根据矩形的性质证明

知形既是中心对称图形，也是轴对称图形.题型06矩形的判定定理的理解

题型07添加一个条件使四边形是矩形

矩形的对称轴过矩形的对称中心.题型08证明四边形是矩形

有•个角是直角的平行四边形是矩形\题型09根据矩形的性质叮判定求角度

题型10根据矩形的性质与判定求线段长

矩形的性质判定对角线相等的平行四边形是矩形题型11根据矩形的性质与判定求面积

与判定题型12根据矩形的性质叮判定解决多结论问题

有一个角足一角的四边形是矩形题型13与矩形有关的新定义问题

特

若是.则需要再证明对角线相等或题型14与矩形有关的规律探.究问题

题型矩形仃美的动点问题

殊［解题思路］要语明•个四边形是矩形，行’个角是克角154

题型16矩形与•次函数综介

四首先要判断四边形是否为平行四边形若不易判断，则可通过证明有二个题型17矩形与反比例函数综合

力是直向来宜接证明题型18矩形与一.次函数综合

边

形

-对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形仝等，对应

边、对应角分别相等，找I。各相等的边或角：类型一沿对角线翻折（模型一）

矩类型二将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）

形折痕可看作角平分线（时称线段所在的白线与折痕的夹角相等）类型三将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）

类型四矩形短边沿折痕翻折（模型四）

解题思路折痕可看作垂直平分线（互相重介的两点之间的连线被折痕垂直平分）

类型人通过翻折将矩形两个顶点重合（模型石）

选择一个直角三角形（不找以折痕为边长的直角三角形），利用未知数表类型六将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）

矩形的

示共它直角一角形二边，通过勾股定理/相似二角形知识求解.类型七将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）

折叠问题类型八其它

7种模型展示（附求解过程）

考点一矩形的性质与判定

.夯基.必备基购识他理

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；

2）矩形的四个角都是直角;

3）对角线互相平分且相等；

4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有

两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.

【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.

2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.

矩形的判定：1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2）对角线相等的平行四边形是矩形；

3）有三个角是直角的四边形是矩形.

【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角

线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明.

易混易错

1.对于矩形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.有一个角是直角.

2.定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.

提升-必考题型归纳

题型01利用矩形的性质求角度

[例1]（2023•广东江门•统考二模）如图，在矩形4BCD中，对角线AC与8。相交于点。，已知NB4C=35。,

则NBOC的度数是（）

C.75°D.80°

【答案】B

【分析】根据矩形的性质，证出。力=。8,得出4。48=NAB。，再由三角形的外角的性质即可得出答案.

【详解】解：•••四边形是矩形,

OA=OC,OB=OD,AC=BD,

OA=OB,

•••^OAB=乙ABO=35°,

•••4BOC=2X35。=70°；

故选：B

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理；证出。4=OB是解题关键.

【变式1TX2022.安徽安庆・安庆市第二中学校考三模）如图，。是矩形4BCD的对角线交点，4E平分NB/W,

^AOD=120°,乙4E。的度数为()

C.25°D.30°

【答案】D

【分析】先根据矩形的性质和乙4。0=120。证明△84。是等边三角形，是等腰直角三角形，推出。8=

BE,再根据等腰对等角求出乙BE。，贝！U4E。=乙BEO-^BEA.

【详解】解：•・・四边形/BCD是矩形,

..OA=OB,乙ABC=乙BAD=90°,

•.乙BAO=Z.ABO,

.•Z.AOD=/.BAO+/.ABO=120°,

1

•・乙BAO=Z,ABO=-x120°=60°,

2

•.△BZ。是等边二角形.

••AB—OB,

・•ZE平分

i

•・/.BAE=-x90°=45°,

2

•.Z.BAE=Z.BEA=45°,

•.AB=BE,

•.OB=BE,

..乙BOE=乙BEO,

又「乙OBE=/.ABC-^ABO=30°,

•••乙BEO=：x(180°-30°)=75°,

・•.Z.AEO=乙BEO-^BEA=75°-45°=30°.

故选D.

【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，解

题的关键是证明484。是等边三角形.

【变式「2】(2023・山西大同・统考模拟预测)翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不

同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在

矩形ABCO中，IJ\\KLfEF\\GH,zl=Z2=30°,乙3的度数为(

p

/；77IC

图】图2

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】由矩形的性质可得AD=NC=90。，进而可得NHGC=乙1JD=60°；再根据三角形内角和定理可得

AGMJ=60°；然后再证四边形NUMU是平行四边形，由平行四边形的性质可得NVNU=NGM/=60。，最后

由对顶角相等即可解答.

【详解】解：如图：•••矩形ABCQ中，

:.乙D=“=90°,

VZ.1=42=30°,

:.乙HGC=AIJD=60°,

/.Z.GM]=60°,

'：IJ\\KL,EFWGH,

.,•四边形NUMU是平行四边形，

/.VNU=Z.GMJ=60°,

."3=A.VNU=60°.

故选D.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理

是解答本题的关键.

【变式1-3]（2023•重庆渝中・重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形4BCD中，点E为CD边的中点，连接4E,

过E作EF12E交BC于点F,连接4尸，若N82F=a,贝UNEFC的度数为（）

BFC

A.aB.45°+-C.45°--D.90°-a

22

【答案】B

【分析】延长ZE,交BC的延长线于点G,根据矩形的性质可得，/.BAD=AADC=ADCB=90°,ADWBC,

可证A4DEmAGCE(ASA),根据全等三角形的性质可得4E=GE,可知EF垂直平分4G,根据线段垂直平分

线的性质可得4F=GF,进一步可得NG=NF4E,根据2D||BC,可得NEME=NG,可表示出ACME的度数，

进一步可得NFEC的度数，再根据NFEC+NEFC=90。，可得NEFC的度数.

•••乙ECG=90°,

•••E为CD边中点，

•••DE—CE,

在△ZOE和△GCE中，

乙D=乙ECG

DE=CE,

Z-AED=Z.GEC

：.△ADE=△GCE(ASA),

•••AE=GE,

EF1AE,

・•・EF垂直平分/G,

・•.AF=GF,

Z.FAE=ZG,

U：AD\\BC,

・••Z-DAE=zG,

•••Z-DAE=Z.FAE,

•••Z-BAF=a,

CAL900-a

•••/-DAE=----,

2

•・•/.DAE+Z.AED=90°,/.AED+Z.FEC=90°,

90。一a

・•・乙FEC=/.DAE=把」，

•・•乙FEC+2EFC=90°,

.­.乙EFC=90°-=45°+

22

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

【变式「4】（2023•安徽合肥•校考三模）如图，a\\b,矩形2BCD的顶点B在直线a上,若41=34。，则N2的

度数为（）

A.34°B.46°C.56°D.66°

【答案】C

【分析】过点4作4E||a,利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可.

【详解】解：过点4作4E||a,如图，

•••Z.EAB=N1=34°.

•••a\\b,AE\\a,

AE\\b,

z2=Z.DAE,

••・四边形4BCD为矩形，

.­./.DAB=90°,

/.DAE=90°—Z.EAB=56°,

•••Z2=56°.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，过点4作2E||a是解题的关键.

题型02利用矩形的性质求线段长

【例2】（2022•安徽•合肥38中校考模拟预测）如图，矩形4BCD的对角线交于点。，EF经过点。且EF1BD,

EF分别与AD,BC交于点E,F,若48=2,BC=4,贝ME等于（）

【答案】A

【分析】连接BE,由矩形的性质可得OB=。£>,4D=BC=4,Z.BAD=90°,由线段垂直平分线的性质可

得BE=DE=4。一力E,由勾股定理可得(4—4E)2=22+4方，求解即可.

【详解】解：如图，连接BE,

••・四边形力BCD是矩形,

•••OB=OD,AD=BC=4,^BAD=90°,

EF1BD,OB=OD,

EF是BD的垂直平分线，

•••BE^DEAD-AE^4-AE,

在RtAABE中，BE2=AB2+AE2,

则(4-4E)2=22+AE2,

解得：AE=\,

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、线段垂直平

分线的性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

【变式2-1](2023•广西南宁•校考二模)在矩形2BCD中，AB=3,将A8绕点B顺时针旋转a(0。<戊<90。)

得到BE,连接。E,若DE的最小值为2,贝U8C的长为.

AD

BC

【答案】4

【分析】根据三角形不等式得到BE+DE>BD,当点B,点E,点。三点共线时，BE+DE取得最小值,

得到BD=5,根据勾股定理计算BC即可.

【详解】'：BE+DE>BD,

...当点2,点E,点D三点共线时，BE+OE取得最小值，

"：BE=AB=3,

的最小值为2,

：.BD=5,

:矩形4BCD,48=3,

：.AB=CD=3,/.BCD=90°

：.BC=7BD2一CD2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握两点之间线段最短，勾股定理是解题的关键.

【变式2-2］（2023•海南僧州•海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点

E为对角线BD上一点，连接4E,过点E作EF14E交BC于点F.连接4F交BE于点。，若力B=4E,则线

段AF与BD的位置关系为；BF的长为.

【答案】AF1BD-

4

［分析］先证Rt△ABF=Rt△4EF可得N82F=^EAF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得4尸1BD,

再由面积法可求40=杵的长，进而求得80=3再求得COSNCBD=襄=解=揶可解答.

55BDBF5

【详解】解：・・•四边形4BC0为矩形，

:•(ABC=乙BAD=90°.

VAB=3,AD=4,

：.BD=y/AB2+AD2="6+9=5.BC=AD=4,

VEFXAE,

AZ-AEF=90°.

在Rt△ABF和Rt△4E尸中，

(AB=AEf

kAF=AF,

：.△ABFW△/EF(HL).

：.^BAF=Z.EAF.

XVXB=AE,

：.AFLBD.

1i

：.-AB-AD=-A0,BD,

22

..八ABAD12

..Al)=---------=—

故答案为

4

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，

灵活运用相关判定、性质是解答本题的关键.

【变式2-3］（2023•浙江宁波•校考一模）如图，矩形48CD的两条对角线4C,8。相交于点0,OELAB,垂

足为E,尸是。。的中点，连接EF交。8于点P,那么警=____.

PD

DC

【答案】|

【分析】取。B的中点H,连接EH,根据矩形性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得EH=OH=

BH,AE=BE,根据4c可证得AOFP可求得OP=PH=OH,即可求解.

【详解】如图，取0B的中点H,连接EH,

•••4BCD是矩形,

0A=OB=0C=0D,

vOE1AB,点H为。8中点,

・•.EH=0H=BH,AE=BE,

・•・EH\\AC

・•・△OFPfHEP

EH_OP

：,~OF=~PH

・・•尸是oc的中点，

：,OF=-OC=-OB=EH,

22

1

AOP=PH=-OH

2

PB=3OP

.OP_i

“PB-3，

故答案为：

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

【变式2-4］（2022•陕西西安.高新一中校考模拟预测）如图，在矩形48CD中，AB=5,BC=4,E、F分

别是40、BC的中点，点P、。在EF上.且满足PQ=2,则四边形4PQB周长的最小值为.

【答案】12

【分析】因为PQ和48是定长，所以要使四边形”Q8的周长最小，只要4P+BQ最小即可，在2B上截取4M=

PQ,尸是BC的中点，所以点8关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点。，贝UCM即为4P+BQ的最小

值；

【详解】解：••・四边形4PQB周长=2P+PQ+QB+48,

VAB=5,BC=4,PQ=2,

四边形4PQB周长=AP+PQ+QB+AB7+AP+BQ,

要使四边形4PQB的周长最小，只要4P+BQ最小即可，

在48上截取4M=PQ,尸是BC的中点，所以点8关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点。，贝IJCM即

为4P+BQ的最小值，

•••BQ=CQ,

MB=3,BC=4,

在RtABCM中，由勾股定理得:

MC=、32+42=5,

Z.四边形4PQB周长=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ=7+5=12.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求4P+BQ的最

小值是解题的关键.

题型03利用矩形的性质求面积

【例3】（2023•福建泉州•统考模拟预测）如图，矩形4BC2中,E,F,G,”分别在AB,BC,CD,ZM上,

S.AE=^AB,BF=^BC,CG=）D,DH=^DA,若矩形A8CD面积为9,则四边形£TGH的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

-1-1__

【分析】设4E=a,BF=b,根据4E=豺8,BF=加，CG=/，。”/可知四=。。=3。，

BC=3b,AE=CG=a,BF=DH=b,BE=DG=2a,AH=CF=2b,从而得到^4EH的面积=△BEF

的面积=ACGF的面积=ADGH的面积=ab,再根据“矩形的面积是9”求出ab,从而得到四边形EFGH的面积

为9—4ab=5.

【详解】解：设=BF=b,

・・•四边形/BCD是矩形，

：.AB=CD,AD=BC,

1i

*：AE=-AB,BF=-BC,

33

'.AB=CD=3a,AD=BC=3b,

-1-1

XVCG=-CD,DH=-DA,

33

：.AE=CG=a,BF=DH=b,

：.BE=DG=2a,AH=CF=2b,

・•・△AEH的面积的面积=△CGF的面积=2kOGH的面积=ab,

=3a,AD=3b,

:矩形4BCD面积为9,

.".AB-AD=3a-3b=9ab=9,

.'.ab=1,

AE"的面积=△BEF的面积=△CGF的面积=△DGH的面积=ab,

：.四边形EFGH的面积=9-4ab=9-4=5.

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的性质和直角三角形的面积公式，掌握矩形的面积公式及合理设未知数列方程是解

题的关键.

【变式3-1］（2023•陕西渭南・统考二模）如图，AC是矩形4BCD的对角线，延长力B至E,使得黑=三连接

BE6

CE,若矩形力BCD的面积为20,则ABCE的面积为（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】C

【分析】先由矩形的性质求出S&4BC=白矩形.CD=1°，再根据磬=桨求解即可.

【详解】解：,矩形4BCD的面积为20,

..•SAABC=5s矩形4BCD=1。

••,矩形4BCD,

：.BCLAB

105

•・•S"BC_-AB9口pn口-_1,

S^BECBES&BEC6

•"△BEC=12，

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，得出受型=，是解题的关键.

SABECBE

【变式3-2］（2023•山西太原•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形04BC的顶点A和。分别落在y

轴与x轴的正半轴上，。4=6,OC=8.若直线y=2%+b把矩形面积两等分，则匕的值等于（）

A.5B.2C.-2D.-5

【答案】D

【分析】直线y=2x+b把矩形面积两等分，一定经过对角线中点，求出点的坐标，用待定系数法求解析式

即可.

【详解】解：•.•。力=6,0C=8,

所以A点坐标为(0,6),C点坐标为(8,0),

则AC中点坐标为(4,3),

因为矩形是中心对称图形，对称中心是对角线中点，

所以直线y=2x+b把矩形面积两等分，一定经过对角线中点，

代入解析式得，3=2x4+b,解得，b=-5；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质和求一次函数解析式，解题关键是明确平分矩形面积一定经过对角线中点，

再用待定系数法求解.

【变式3-3](2023•江苏常州•校考一模)如图，现将四根木条钉成的矩形框4BCD变形为平行四边形木框

A'B'C'D',且4。'与CD相交于CD边的中点E,若4B=4,BC=5,则原矩形4BCD和平行四边形49重

叠部分的面积是

【答案】10-2V3

【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：AD||BC||A'D',CD1BC,AB=CD=CDr=4,AD=BC=

A'D'=5,从而得出CD1A'D',根据中点的定义即可求出CE,然后根据勾股定理即可求出进而求出4E,

最后根据梯形面积公式进行求解即可.

【详解】解：•矩形木框4BCD变形为平行四边形木框4夕LZT

：.AD||BC||A'D',CD1BC,AB=CD=CD'=4,AD=BC=A'D'=5,

：.CD1A'D'

:点E为CO的中点，

：.CECD=2,

2

在Rt△中，根据勾股定理可得：ED'=y/CD'2-CE2=2痘,

：.AE=AD'_ED，=5_25

•c_c_CEQ4'E+BC)_5+5-2-*?_〕n_2、反

••J阴影7梯形BCE4'一2—一2—XZ—LU—"VJ

故答案为：10-2V3.

【点睛】此题考查的是矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质定理、平行四边形的

性质定理、用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

【变式3-4］（2023・湖南湘西•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,P是对角线"上一点,

AP=2,连接BD,则图中阴影部分的面积为.

【分析】作DEJ.2C于点E,作BFLAC于点R对角线4C与8。交于点O,根据勾股定理求出2C=5,则

OA^OC=I，进而得出0P=5PC=3,根据S-Dc=14C.£）E=.CD,得出DE=装，同理可得：

BF=―,最后根据S阴影部分=S^BOP+SADPC即可求解.

【详解】解：如图，作DE14C于点E,作BF12C于点凡对角线4c与BD交于点O,

四边形4BCD是矩形，

:.乙ABC=90°,

：.AB=DC=3,BC=AD=4,

：.AC=yjAB2+BC2=5,

15

：.0A=0C=-AC=-,

22

9CAP=2,

I.OP=OA-AP=

2

・・・PC=0P+0C=3,

yS^DC=lAC-DE=lAD-CDf

：.5DE=12,

17

：.DE=^-,

同理可得：BF=?

.c_cc_11121Q12_21

,,3阴影部分="BOP+、ADPC=2X2X~5~^2X^XV=-r,

所以图中阴影部分的面积为小

故答案为：---

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形四个角都是直角，矩形对角线互

相平分且相等，以及勾股定理内容.

题型04求矩形在坐标系中的坐标

【例4】(2023•河南驻马店•驻马店市第二初级中学校考二模)如图，矩形A8CD的顶点A,2分别在x轴、y

轴上，OB=4,OA=3,AD=10,将矩形力BCD绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2023次旋转结束

时，点。的坐标为()

A.(6,5)B.(5,6)C.(-6,-5)D.(-5,-6)

【答案】C

【分析】过点。作DTlx轴于点兀首先证明△4TDSABOA,利用相似三角形的性质求出点。的坐标，再

探究规律，利用规律解决问题即可.

【详解】解：如图，过点。作D7轴于点T.

V0A=3,0B=4,"08=90°,

•••AB=VOA2+OB2=V32+42=5,

•••/.ATD=Z.AOB=Z.BAD=90°,

•••/.DAT+乙BAO=90°,4BA。+^ABO=90°,

•••乙DAT=Z-ABO,

ATDBOA,

.AD_AT_DT

**AB~OB~OA1

10_AT_DT

,一=7=T

•••AT—8,DT=6,

OT=NT-04=8—3=5,

・・・0(-5,6),

,矩形ZBCD绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，

则第1次旋转结束时,点。的坐标为(6,5)；

则第2次旋转结束时,点D的坐标为(5,-6)；

则第3次旋转结束时,点。的坐标为(一6,-5)；

则第4次旋转结束时,点。的坐标为(一5,6)；

发现规律：旋转4次一个循环，

.­.2023+4=505...3,

则第2021次旋转结束时，点。的坐标为(-6,-5).

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规

律，总结规律.

【变式4-1](2023•天津河东•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形力BCD的顶点A在第一象限，8,

。分别在y轴上，。是BD的中点.若AB=。8=2百，则点C的坐标是()

A.(3,V3)B.(-3,-V3)C.(V3,3)D.(-V3,-3)

【答案】B

【分析】过点A作4F轴,垂足为尸，由四边形力BCD是矩形易证得△AOB是等边三角形，进而NAOF=30°,

解直角三角形得2F=CM-sinN力。F=g，OF=0A-cos30°=3,所以4(3,百)，由矩形是中心对称图形

知点A,点C关于原点对称，得点C(-3,-百).

【详解】：四边形4BCD是矩形

0A=0B

'：AB=0B=

：.0A=AB=OB=2V3,/-AOB=60°

过点A作轴，垂足为R

LA/3

OF=OA-cos30°=2y3X—=3

，点力(3,百)

•..点A,点C关于原点对称，

.•.点C(-3,-圾，

故选：B

【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质、解直角三角形，点坐标的含义；结合已知条件

构建直角三角形求解相关线段是解题的关键.

【变式4-2](2022•山东聊城•校联考一模)如图，已知矩形A02C的顶点。在坐标原点，点A的坐标是(一

2,1),点8的纵坐标是3,则点C的坐标是()

A.(,4)B.(-|,4)c.(—Q伺D.(-|,2V5)

【答案】A

【分析】作BDlx轴于点。，过点A作FE1为轴于点E,过点。作FG1y轴于点G,先通过角度等量代换

证明AE4。~RDOB,求出。。：=再证明ADB。a1^FAC,求出FC,AF,贝!|CG=OE-CF,EF=AE+FA,

由此可解.

【详解】解：如图，

作801%轴于点。，过点A作FE1%轴于点过点C作FGly轴于点G,

..•点A的坐标是（一2,1）,点8的纵坐标是3,

：.AE=1,0E=2,BD=3,

BD1%轴，FE1%轴，FG1y轴，

：.^AFC=乙OEA=乙BDO=90°,

四边形A03C是矩形，

：./.CAO=乙AOB=90°,

乙

：.Z.EAO+2LEOA=DOB+Z.EOA=90°f

C.Z.EAO=乙DOB,

：.LEAO〜ADOB,

即丝

AEOE12

：.OD=-.

2

•・•四边形AOBC是矩形，

：.AC=OB,

,：LEAO+Z-EOA=/.FAC+乙£;4。=90。，

：.Z.EOA=Z.FAC,

又•・•△瓦4。〜ADOB,

：.Z.EOA=乙DBO,

:•乙DBO=4FAC,

在ADB。和△凡4c中，

2DBO=/.FAC

（ODB=^CFA,

,AC=OB

：.LDBO="AC,

：.FC=OD=~,AF=BD=3,

2

31

：.CG=OE-CF=2--=-EF=ZE+FZ=1+3=4,

22f

・・,点。在第二象限,

・••点C的坐标是(―1,4).

故选A.

【点睛】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关键.

【变式4-3](2021•湖南株洲•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOC。沿直线AE折叠，折叠

后顶点。恰好落在边OC上的点尸处.若点。的坐标为(10,8),则点E的坐标为()

A.(10,3)B.(10,5)C.(6,3)D.(4,3)

【答案】A

【分析】根据折叠的性质得到AF=A。，所以在直角4人。/中，利用勾股定理求得。尸=6,然后设EC=x,则

EF=DE=8-x,B=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.

【详解】解：：四边形AOC。为矩形，。的坐标为(10,8),

：.AD=OC=\0,DC=AO=8,

•••矩形沿AE折叠，使。落在上的点尸处，

：.AD=AF=IO,DE=EF,

在RtA40尸中,0尸=>/4尸2-4。2=6,

.,.FC=10-6=4,

设EC=x,则Z)E=EF=8-x,

在RtLCEF中,E^2=EC2+FC2,

即(8—X)2=/+42,

解得x=3,即EC的长为3,

.,.点E的坐标为(10,3).

故选择4

【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股

定理构造方程是解题关键.

【变式4-4](2023•江西萍乡•统考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-jx+2分别与无轴、y轴

交于点A、B,点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的

坐标为

【答案】(4,2)或(3,—2)或(—4,—6)

【分析】分类讨论：①点M在x轴上；②点M在原点；③点M在y轴上,利用相似及平移规律即可求解.

【详解】解：直线y=—[x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,

当％=0时，y=2,y=0时，x=4,

•••人点坐标(4,0),2点坐标2(0,2),

分三种情况：

①点M在原点，矩形BAL4N中，如图，

4N

o\、「

BO=AN=2,BN=4。=4,

・••点N坐标为(4,2)；

②如图1,点M在%轴上，如图,

矩形BMM4中，0B1/M,

+(OMB=Z.OBM+/-OBA=90°,

C.Z.OMB=AOBA,

BOM~AAOB,

.BO_MO

**AO~BO

・n“八B。？

・・MO=----=1,

AO

M点坐标为(一1,0),

将点M向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点N,

N的坐标为(3,-2)；

②如图2,点M在y轴上，如图，

图2

矩形中，Q41MB,

由②同理可得：AMOA^AAOB,

.BO_AO

**AO~MO

an2

：.MO=—=8,

BO

M点坐标为(0,-8),

将点、M向左平移4个单位，向上平移2个单位得到点N,

N的坐标为1-4,-6),

•••点N坐标为(4,2)或(3,-2)或(―4,一6),

故答案为：(4,2)或(3,-2)或(-4,-6).

【点睛】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，