北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x2-2x=0的根是（）A．x1=x2=0B．x1=x2=2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=-22．下列各组中的四条线段，能构成比例线段的是（）A．Icm，2cm，4cm，6cmB．2cm，4cm，0.4cm，7cmC．3cm，9cm，18cm，6cmD．3cm，4cm，5cm，6cm3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（）A．B．C．D．4．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根5．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（

）A．矩形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形6．小华、小强和小彬三位同学随机地站成一排做游戏，小华站在排头的概率是（

）A．B．C．D．17．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′O′．若点A的坐标是（﹣1，2），则点A′的坐标是（）A．（4，﹣2）B．（2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（﹣2，4）8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的周长是（）A．36B．24C．12D．69．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（）A．5B．2C．2D．410．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°二、填空题11．已知，则＝_____．12．两个相似三角形对应高的比为4：1，那么这两个相似三角形的面积比是___．13．若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为_______．14．在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是___．15．关于x的方程（m﹣3）x2+（2m﹣1）x+m2﹣9＝0的一个根是0，则m的值是___．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝___．三、解答题17．用公式法解方程：4x2－3＝12x.18．“一方有难，八方支援”．2020年初武汉受到新型冠状肺炎影响，沈阳某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A，B，C三名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉．用树状图或列表法求恰好选中医生甲和护士A的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CFBD交OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若DF＝2，CF＝3，求菱形ABCD的面积．20．沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆．（1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？（2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用辆．21．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．（1）求证：△DFC∽△EFB；（2）若DC＝6，BE＝4，DE＝8，求DF的长度．22．某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？（2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由．23．（1）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，EF⊥GH于P，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．①如图1，当a＝b时，线段EF与线段GH的数量关系是；②如图2，当a≠b时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（2）如图3，在四边形ABCD中，BC＝CD＝10，∠B＝∠ADC＝90°，AE⊥DF于P，点E，F分别在边BC，AB上，若，请直接写出AB的长．24．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【详解】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.2．C【解析】【分析】根据比例的基本性质，两条线段的乘积相等则能构成比例线段，否则不能．【详解】由于3×18=9×6，即C选项中四条线段能构成比例线段，其它选项中的四条线段不能构成比例线段．故选：C．【点睛】本题考查了比例线段，四条线段成比例线段，则其中两条线段的比与另两条线段的比相等，或者两条线段的乘积等于另两条线段的乘积．3．D【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．【详解】根据配方的正确结果作出判断：．故选D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．D【解析】【分析】求出方程的判别式即可判断．【详解】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．5．C【解析】【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．【详解】解：如图，根据题意得四边形是菱形，点分别是边的中点，∴，，，∴，∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C．【点睛】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．B【解析】【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果，小华站在排头的有2种，再根据概率公式求解即可.【详解】画树状图如下：总共6种排列结果，小华站在排头的有2种，所以小华站在排头的概率.【点睛】本题考查求概率，熟练掌握树状图法和列表法列举出所有等可能的情况数，再找到符合条件的情况数，是求概率的关键.7．B【解析】【分析】由题意知，只要把点A的坐标都乘以-2即可得到点A′的坐标．【详解】由题意知，点A′的坐标为（2，-4）故选：B．【点睛】本题考查位似图形对应点的坐标特征，若以原点为位似中心，且位似比为k，则对应点的坐标分别乘以-k即可．掌握这一特征是解题的关键．8．B【解析】【分析】证明△ABC是等边三角形，再求出AB=AC=2AO，故可求解．【详解】∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，AC=2AO=6∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=6∴菱形ABCD的周长为4AB=24故选B．【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、菱形的特点．9．A【解析】【分析】利用相似三角形的性质求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，∴∠EPB＝∠CFP，∴△EPB∽△PFC，∴＝，∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，∴BP＝PC＝，∴PE＝＝＝，PF＝＝＝，∴EF＝＝＝5，故选A．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和勾股定理,掌握相似三角形的性质列比例式及勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．11．3【解析】【分析】首先由，可设a＝2k，b＝k，然后将其代入，即可求得答案．【详解】解：∵，∴设a＝2k，b＝k，∴＝＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的化简求值，本题的关键是能利用设k法，设出未知数．12．【解析】【分析】利用相似三角形的性质知，若两个三角形相似，则面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，由此即可得到答案．【详解】解：因为相似三角形对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，又知对应高的比为，所以这两个相似三角形的面积比为：．故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的性质，牢记性质内容是解此类题的关键．13．6.5【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.【详解】解：因为直角三角形的两条直角边分别5和12，由勾股定理可得：斜边=，因为斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边中线=13÷2=6.5，故答案为：6.5.【点睛】本题主要考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是要熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.14．9【解析】【分析】由题意可得摸到一个黄球的概率为，把摸到黄球的频率作为摸到黄球的概率，即可求得m的值．【详解】由题意，摸到一个黄球的概率为则解得：m=9即m的值大约是9故答案为：9【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复的试验中，频率是一个比较稳定的值，它可以估计事件的概率．15．－3【解析】【分析】把方程的根代入方程中，得到关于m的方程，解方程即可．【详解】把x=0代入（m﹣3）x2+（2m﹣1）x+m2﹣9＝0中，得：m2﹣9＝0即m2=9解得：m=3或m=－3但当m=3时，一元二次方程的二次项系数m-3=3-3=0，不符合题意故m=3应舍去所以m=－3故答案为：－3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及解一元二次方程，掌握一元二次方程解的概念是关键．但要注意验证一元二次方程的二次项系数非零，切记．16．【解析】【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，同样的方法可得出，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：在矩形中，，，在和中，，，，即，，同理可得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．17．x1＝，x2＝.【解析】【分析】方程整理后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【详解】方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，b=﹣3，∵∆=144+48=192，∴x==，∴x1＝，x2＝．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解答本题的关键．18．【解析】【分析】利用树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出恰好选中医生甲和护士A的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中恰好选中医生甲和护士A的结果数为1，所以恰好选中医生甲和护士A的概率＝．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．19．（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠COD＝90°，即可得出结论（2）根据矩形与菱形的性质求出AC、BD，根据菱形的面积公式即可求解．【详解】证明：（1）∵CFBD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；∴OD＝FC，∵CFBD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．（2）∵四边形OCFD是矩形，DF＝2，CF＝3，∴OC=DF=2，OD=CF=3∵四边形ABCD是菱形∴AC=2OC=4，BD=2OD=6∴菱形ABCD的面积为．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．（1）25%；（2）12500【解析】【分析】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，根据等量关系：8月份租用单车次数×（1+增长率）2=10月份租用单车次数，即可列出一元二次方程，解方程即可；（2）根据：10月份租用单车次数×（1+月平均增长率）即可得11月份单车租用次数的辆数．【详解】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，则由题意可得：解方程，得：或（舍去）即该区单车租用次数的月平均增长率是25%；（2）（辆）即11月份单车次数租用12500辆；故答案为：12500．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系并列出方程是关键．21．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AECD，即可得出∠E＝∠CDF，进而利用两角对应相等的三角形相似得出即可；（2）由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，∴AECD，∴∠E＝∠CDF，∵∠DFC＝∠EFB，∴△DFC∽△EFB．（2）解：由（1）得：△DFC∽△EFB，∴，即，解得：DF＝．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．22．（1）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元；（2）商场日盈利不能达到3300元，理由见解析．【解析】【分析】（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可；（2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案．【详解】解：（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，∵清理商品库存，∴x＝25，答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元；（2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据题意得：（60﹣y）（40+2y）＝3300，整理得：y2﹣40y+450＝0，∵△＝1600﹣1800＝﹣200＜0，∴该方程无实数根，即商场日盈利不能达到3300元，答：商场日盈利不能达到3300元．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，正确假设未知数，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．23．（1）①相等；②不成立，；（2）20【解析】【分析】（1）①分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，则由四边形内角和可证得∠MGH=∠NFE，易得MH=EN，从而△HMG≌△ENF，从而可得EF=GH；②结论不成立；分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，则由四边形内角和可证得∠MGH=∠NFE，从而可得Rt△HMG∽Rt△ENF，根据相似三角形的性质即可得；（2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点N，过点A作BC的平行线交DN于点M，连接AC，则四边形AMNB是矩形；易得Rt△ABC≌Rt△ADC，则有AD=AB；由（1）知，设AD=AB=5a，则AM=4a，从而由勾股定理可得MD=3a，则DN=2a，CN=4a－10，在Rt△CDN中，由勾股定理建立方程即可求得a，进而求得AB的长．【详解】（1）①分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，如图∴∠AMH=∠END=90゜∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠A=∠B=∠D=90゜∴四边形AMHB、四边形AEND都是矩形∴MH=AB，EN=AD∴MH=EN∵GH⊥EF∴∠GPF=∠D=90゜∴由四边形内角和知，∠HGD+∠NFE=180゜∵∠MGH+∠HGD=180゜∴∠MGH=∠NFE在△HMG与△ENF中∴△HMG≌△ENF∴EF=GH故答案为：EF=GH；②结论不成立，；理由如下：分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，如图∴∠HMG=∠ENF=90゜∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=b，∠A=∠B=∠D=90゜∴四边形AMHB、四边形AEND都是矩形∴HM=AB=a，EN=AD=b

∵GH⊥EF∴∠GPF=∠D=90゜∴由四边形内角和知，∠HGD+∠NFE=180゜∵∠MGH+∠HGD=180゜∴∠MGH=∠NFE∴△HMG∽△ENF∴（2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点N，过点A作BC的平行线交DN于点M，连接AC，如图，则四边形AMNB是矩形∴MN=AB，AM=BN∵∠B=∠ADC=90゜，BC=DC，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC∴AD=AB由（1）知设AD=AB=5a，则AM=BN=4a，MN=AB=5a在Rt△AMD中，由勾股定理得：MD=3a∴DN=MN－MD=2a，CN=BN－BC=4a－10在Rt△CDN中，由勾股定理可得：即解得：a=4∴AB=5×4=20【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，感受从特殊到一般的研究方法，（2）中构造矩形AMNB是本题的难点，运用（1