2024-2025学年高中数学第五章数列测评课后习题含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q=()A.32 B.C.5-12解析由题意知an=an+1+an+2=anq+anq2,即q2+q-1=0,解得q=5-12(负值舍去),答案C2.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()A.8 B.-8C.±8 D.以上选项都不对解析∵a2+a6=34,a2·a6=64,∴a42=64,且a2>0,a6>0,∴a4=a2q2>0(q为公比),∴a4=答案A3.(2024全国Ⅱ卷)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最终一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块解析由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×262×9=3402.故选C答案C4.已知等差数列{an}中,a1>0,前n项和是Sn,且S14=S8,则当Sn取得最大值时,n为()A.8 B.9 C.10 D.11解析∵S14=S8,∴a9+a10+a11+a12+a13+a14=3(a11+a12)=0.∵a1>0,∴d<0,∴a11>0,a12<0,∴n=11.答案D5.已知数列{an}满意a1=1,an+1=an+2n,则a10=()A.1024 B.2048C.1023 D.2047解析因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a10=a10-a9+a9-a8+…+a2-a1+a1=29+28+…+2+1=1-2101-答案C6.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=(A.15 B.19 C.21 D.30解析由S3=a22,得3a2=a22,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列可得S22=S1·S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=2n-1,答案B7.(2024北京卷)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项解析由题意可知,等差数列的公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,则其通项公式为an=a1+(n-留意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<…,且由T5<0可知Ti<0(i≥6,i∈N),由TiTi-1=ai>1(i≥7,i∈N)可知数列{由于a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故数列{Tn}中的正项只有有限项:T2=63,T4=63×15=945.故数列{Tn}中存在最大项,且最大项为T4.故选B.答案B8.设数列{an}满意an+1=-2an,a1=1,数列{|an|}的前n项和为Sn,则S2021=()A.22021-1 B.22022-2C.22020-1 D.1-22021解析(方法一)由an+1=-2an,可得an+1又a1=1,所以an=(-2)n-1,所以|an|=|(-2)n-1|=2n-1,所以S2024=1-220211-2=22024(方法二)由an+1=-2an,可得an+1又a1=1,所以an=(-2)n-1,所以S2024=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2024|=(a1+a3+a5+…+a2024)-(a2+a4+a6+…+a2024)=1-410111-4-(-2)(1-41010)1-4=1答案A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2024宁阳第四中学高二期末)等差数列{an}是递增数列,满意a7=3a5,前n项和为Sn,下列选择项正确的是()A.d>0B.a1<0C.当n=5时,Sn最小D.Sn>0时,n的最小值为8解析由题意,设等差数列{an}的公差为d,因为a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,则a1<0,故A,B正确;因为Sn=d2n2+a1-d2n=d2n2-7d由n=--7d2nd=72可知,当n=3或n=4时,令Sn=d2n2-7d2n>0,解得n<0或n>7,即Sn>0时,n的最小值为8,故故选ABD.答案ABD10.(2024江苏高二期末)设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列论断中正确的有()A.当n=15时,Sn取最大值B.当n=30时,Sn=0C.当d>0时,a10+a22>0D.当d<0时,|a10|>|a22|解析因为S10=S20,所以10a1+10×92d=20a1+20×192d,解得a1=-29对选项A,因为无法确定a1和d的正负,所以无法确定Sn是否有最大值,故A错误;对选项B,S30=30a1+30×292d=30×-292d+15×29d=0,故B正确.对选项C,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2-292d+15d=d>0,故C正确.对选项D,a10=a1+9d=-292d+182d=-11a22=a1+21d=-292d+422d=13因为d<0,所以|a10|=-112d,|a22|=-132|a10|<|a22|,故D错误.故选BC.答案BC11.(2024山东济南高二期中)已知各项均为正项的等比数列{an},a1>1,0<q<1,其前n项和为Sn,下列说法正确的是()A.数列{lnan}为等差数列B.若Sn=Aqn+B,则A+B=0C.Sn·S3n=SD.记Tn=a1·a2·…·an,则数列{Tn}有最大值解析由题可知,an=a1qn-1,Sn=a1对于A,lnan=lna1qn-1=lna1+(n-1)lnq,lnan+1=lna1qn=lna1+nlnq,lnan+1-lnan=lnq,A正确;对于B,Sn=a1(1-qn)又Sn=Aqn+B,则A+B=-a11-q对于C,Sn=a1(1-qn)Sn·S3n=a1S2n=a1S2明显Sn·S3n≠S2n2对于D,Tn=a1·a2·…·an,由于数列a1>1,0<q<1,故数列为单调递减数列,总存在从某一项起先使得ak=a1qk-1∈(0,1),故Tk-1=a1·a2·…·ak-1有最大值,故D正确.故选ABD.答案ABD12.(2024山东试验中学高三月考)记数列{an}的前n项和为Sn,若存在实数H,使得对随意的n∈N+都有|Sn|<H,则称数列{an}为“和有界数列”.下列说法正确的是()A.若{an}是等差数列,且公差d=0,则{an}是“和有界数列”B.若{an}是等差数列,且{an}是“和有界数列”,则公差d=0C.若{an}是等比数列,且公比|q|<1,则{an}是“和有界数列”D.若{an}是等比数列,且{an}是“和有界数列”,则{an}的公比|q|<1解析对于AB选项分析如下:若{an}是等差数列,则Sn=na1+n(n-1)d2=d2n对于A选项,当d=0时,Sn=na1,若a1≠0,依据一次函数的性质可知,此时不存在符合题意的H.所以A选项错误.对于B选项,{an}是“和有界数列”,而Sn=d2n2+a1-d2n,若d≠0,依据二次函数的性质可知,此时不存在符合题意的H,故d=0.所以B选项正确.对于CD选项分析如下:若{an}是等比数列,则Sn=a1(1-qn)1对于C选项,若|q|<1,则|Sn|=a11-q-a11-q·qn<a11-q+a11-qqn<2a11-q,对于D选项,若{an}是等比数列,且{an}是“和有界数列”,q的取值可能为-1,此时|Sn|≤|a1|,所以存在实数H,使得对随意的n∈N+,都有|Sn|<H.所以D选项错误.故选BC.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024浙江宁波高二月考)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.

解析由题意,可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),故有3a1+2d=0,又因为2a1+a2=1,即3a1+d=1,所以d=-1,a1=23答案23-14.(2024吉林长春高三模拟)数列{an}满意a1=3,且对于随意的n∈N+,都有an+1-an=n+2,则a39=.

解析因为an+1-an=n+2,所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,…an-an-1=n+1(n≥2),上面n-1个式子左右两边分别相加,得an-a1=(n即an=(n所以a39=40×412=820答案82015.(2024兰州市其次中学高二月考)正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an2+an(n∈N+),设cn=(-1)n·2an+12Sn,则数列{c解析正项数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=an2+an(n∈N+则2Sn+1=an+12+an+②-①得2an+1=an+12-an整理得an+1-an=1,当n=1时,2S1=a12+a1,解得a1所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.则an=1+n-1=n,所以Sn=n(则cn=(-1)n2an+12Sn=(-数列{cn}的前2024项的和为T2024=-1+12+12+13+…-12019+12020=-1-1答案-202116.(2024江苏卷)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+),则d+q的值是.

解析本题考查等差数列、等比数列的前n项和.由等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式得Sn=na1+n(n=d2n2+a1-d2n+-比照已知条件Sn=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以d+q=4.答案4四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)等差数列{an}中,前三项分别为x,2x,5x-4,前n项和为Sn,且Sk=2550.(1)求x和k的值;(2)求T=1S1+1S2解(1)由4x=x+5x-4,得x=2,所以an=2n,Sn=n(n+1),所以k(k+1)=2550,得k=50.(2)因为Sn=n(n+1),所以1S所以T=1-12+12-13+…+1n-1n+1=18.(本小题满分12分)(2024全国Ⅲ卷)设数列{an}满意a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.①从而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.②①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xx+1,数列{an}满意a1=1,并且an+1=f(an(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2n+1an,求数列{bn}的前n项和S解(1)由题意,得an+1=an∴1an+1=a即1an∴数列1an是一个等差数列,公差为1,首项为1a1从而1an=n,∴an=(2)由(1),得bn=2n+1an=2n(n+1∴Sn=b1+b2+…+bn=21-12+12-13+…+1n-1=2n20.(本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列{anbn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.∵bn>0,∴d=-10应舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.故anbn=(2n+1)·3n-1.(2)由(1),知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②①-②,得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2×3-3n1-3-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-∴Tn=n·3n.21.(本小题满分12分)(2024上海杨浦高三二模)某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列{In},{In}表示第n周的虫害的严峻程度,虫害指数越大,严峻程度越高,为了治理虫害,须要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能实行以下两个策略之一:策略A:环境整治,“虫害指数”数列满意In+1=1.02In-0.20;策略B:杀灭害虫,“虫害指数”数列满意In+1=1.08In-0.46.当某周“虫害指数”小于1时,危机解除.(1)设第一周的虫害指数I1∈[1,8],用哪一个策略将使其次周的虫害严峻程度更小?(2)设第一周的虫害指数I1=3,假如