课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题十一概率与统计1随机事件古典概型与几何概型试题理

PAGEPAGE13专题十一概率与统计挖命题【真题典例】11.1随机事务、古典概型与几何概型挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.随机事务的概率①了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区分.②了解两个互斥事务的概率加法公式.③理解古典概型及其概率计算公式.④会计算一些随机事务所含的基本领件数及事务发生的概率.⑤了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.⑥了解几何概型的意义2024课标Ⅰ,5,5分利用等可能事务概率公式求随机事务的概率★★★2024课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2.古典概型2024课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2024课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积和正方形的面积3.几何概型2024课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型对立事务2024课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题和填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事务的概率,常涉及对立事务、互斥事务,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他学问进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维实力和数学运算实力.破考点【考点集训】考点一随机事务的概率1.(2024湖南郴州其次次教学质量监测,3)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是()A.1B.16C.12答案D2.(2024福建泉州高考考前适应性模拟(一),3)从含有质地匀称且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是25A.15B.25C.3答案C考点二古典概型1.(2024湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校其次次联考,9)已知某地春天下雨的概率为40%.现采纳随机模拟的方法估计将来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再每三个随机数作为一组,代表将来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地将来三天恰有一天下雨的概率为()A.0.2B.0.25C.0.4D.0.35答案C2.(2024江西重点中学盟校第一次联考,14)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是.

答案2考点三几何概型(2024安徽安庆二模,4)中国人民银行发行了2024中国戊戌(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚3克圆形金质纪念币,直径为18mm,小米同学为了测算图中装饰狗的面积,他用1枚针向纪念币投掷500次,其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是()A.486π5mm2B.243π10C.243π5mm2D.243π20答案B炼技法【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2024山西吕梁孝义高考热身试题,5)大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为()A.916B.716C.9答案A2.若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A.23B.25C.3答案D方法2几何概型概率的求法1.(2024湖南长沙四县3月联考,4)如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π答案A2.(2024河南安阳二模,7)在区间[-1,1]上任选两个数x和y,则x2+y2≥1的概率为()A.1-π4B.12-π8C.1-π8答案A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一随机事务的概率(2024课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动,则周六、周日都有同学参与公益活动的概率为()A.18B.38C.5答案D考点二古典概型(2024课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.1答案C考点三几何概型1.(2024课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A2.(2024课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.1答案B3.(2024课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.2答案BB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一随机事务的概率(2024江苏,5,5分)袋中有形态、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.

答案5考点二古典概型1.(2024山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.5答案C2.(2024江苏,6,5分)某爱好小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参与活动,则恰好选中2名女生的概率为.

答案3考点三几何概型1.(2024江苏,7,5分)记函数f(x)=6+x-x2答案52.(2024山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事务“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.

答案33.(2024福建,13,4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.

答案5C组老师专用题组考点一随机事务的概率(2024北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育熬炼状况,通过分层抽样获得了部分学生一周的熬炼时间,数据如下表(单位:小时):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设全部学生的熬炼时间相互独立,求该周甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的熬炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试推断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)解析(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.依据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×820(2)设事务Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,事务Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=1P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=设事务E为“该周甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=3(3)μ1<μ0.解后反思本题第(2)问事务繁多,但留意到“互斥”“相互独立”及“等概率”,计算量并不大.第(3)问视察到从A班、B班中抽取的样本数据恰好是该班的平均数,而C班中抽取的样本数据小于该班的平均数,自然有μ1<μ0.评析本题考查抽样方法,互斥事务、相互独立事务的概率,平均数.属中档题.考点二古典概型1.(2024陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.3答案C2.(2024江苏,7,5分)将一颗质地匀称的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.

答案53.(2024江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.

答案14.(2024江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.

答案15.(2024广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.

答案16.(2024天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参与义工活动,已知参与义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参与座谈会.(1)设A为事务“选出的2人参与义工活动次数之和为4”,求事务A发生的概率;(2)设X为选出的2人参与义工活动次数之差的肯定值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)=C31C所以,事务A发生的概率为13(2)随机变量X的全部可能取值为0,1,2.P(X=0)=C32+P(X=1)=C31CP(X=2)=C31C41所以,随机变量X的分布列为X012P474随机变量X的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×考点三几何概型1.(2024课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nm答案C2.(2024陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-答案B3.(2024湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事务“x+y≥12”的概率,p2为事务“|x-y|≤12”的概率,p3为事务“xy≤A.p1<p2<p3B.p2<p3<p1C.p3<p1<p2D.p3<p2<p1答案B4.(2024湖北,7,5分)由不等式组x≤0,y≥0,y-x-2≤0确定的平面区域记为ΩA.18B.14C.3答案D5.(2024福建,14,4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.

答案2【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2025届云南师范高校附属中学高三其次次月考,8)学校足球赛决赛安排在周三、周四、周五三天中的某一天进行,假如这一天下雨则推迟至后一天,假如这三天都下雨则推迟至下一周,已知这三天中每一天下雨的概率都为12A.18B.38C.5答案D2.(2025届全国Ⅰ卷高三五省优创名校联考,10)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里,每个格子填一个数字,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总是1的个数不少于0的个数,则这样填法的概率为()A.532B.516C.11答案B3.(2025届河北衡水中学高三第一次摸底,9)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设DF=2AF=2,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是()A.413B.21313C.答案A4.(2024重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事务A,B发生的概率满意条件P(A∪B)=34,某人揣测事务A∩B发生,则此人揣测A.1B.12C.1答案C5.(2024山西高校附属中学其次次模拟,10)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-20,在区间(3,5)内任取一个实数作为数列{an}的公差,则Sn的最小值仅为S6的概率为()A.15B.16C.3答案D6.(2024齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),6)在满意条件x-2y-1≥0,xA.π60B.π120C.1-π答案B7.(2024江西宜春昌黎试验学校其次次段考,7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,全部人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人接着坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A.12B.1532C.11答案C二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2024河北石家庄二模,14)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,若用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字,则出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数的概率为.

答案19.(2024广东江门3月模拟(一模),16)两位老师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成果都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位老师批改成果之差的肯定值不超过2的概率为.

答案0.44三、解答题(共25分)10.(2025届广东汕头达濠华侨中学、东厦中学高三第一次联考,17)某学校有初级老师21人,中级老师14人,高级老师7人,现采纳分层抽样的方法从这些老师中抽取6人对绩效工资状况进行调查.(1)