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PAGEPAGE17河南省“顶尖安排”2025届高三数学第三次考试试题理(含解析)一、选择题(每小题5分,共60分.)1.的虚部为()A. B. C.﹣ D.2.已知集合A={x∈N|x≤2},B={x|x2﹣4=0},则A∪B=()A.{2} B.{﹣2,0,1,2} C.{0,1,2} D.{﹣2,1,2}3.已知两条不同的直线l,m和平面α,m⊂α,则l∥α是l∥m的()A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3,y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则y0等于()A.±6 B.±6 C.±12 D.±125.函数f(x)=2x+cos2x的图象在点(,f())处的切线方程为()A. B. C. D.6.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)+b(0<φ<π)有相邻的两个零点和,则b=()A.1 B. C. D.﹣17.(x2+2x﹣3)5的绽开式中x的系数为()A.810 B.405 C.﹣190 D.﹣6758.下面是某手机APP的图标,其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构.该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆,且AB=BC.若在圆内随机取一点,则该点取自正六边形内部的概率为()A. B. C. D.9.已知α∈()且tan(2)=﹣,则的值为()A. B.﹣1 C.1 D.10.若圆x2+y2=6上的两个动点A,B满意||=2,点M在圆x2+y2=16上运动,则||的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.511.设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=log4(3﹣x).若对随意的x∈[0,b+1],均有f(x+b)≥f(2x),则实数b的最大值是()A.﹣ B.﹣ C.0 D.112.在△ABC中,AB=3,AC=2BC,则△ABC的面积的取值范围是()A.(0,2] B.[1,3] C.(0,3] D.(0,6]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若alog43=,则3a+9a=.14.已知平面区域D是以点A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣2,﹣1)为顶点的三角形区域(含边界),若在区域D内存在无穷多个点(x,y)能使目标函数z=x+my取得最小值,则m=.15.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F作x轴的垂线,与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A,B两点,且=2﹣(O为坐标原点),则该双曲线的离心率是.16.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3,AC1∥平面α,BD∥平面α,则正方体在平面α内的正投影面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题必需作答.第22,23题为选考题,考生依据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2n.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{ansin(n)}前2024项之和.18.如图,四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面均为菱形、CC1⊥平面ABCD,∠BAD=60°,∠A1AD=∠A1AB=45°,AB=2A1B1=2.(Ⅰ)证明:平面A1AB⊥平面A1AD;(Ⅱ)求直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值.19.某工厂的某种产品成箱包装每箱100件,每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验,先从这箱产品中随机抽取10件作初检,依据初检结果确定是否再抽取10件进行复检.如检验出不合格品,则更换为合格品,每件产品的检验费用为50元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付200元赔偿费用.(Ⅰ)假设某箱产品中仅有2件不合格品,求这2件不合格品在初检时都被抽到的概率.(Ⅱ)若初检时检验出x(x∈N且0≤x≤10)件不合格品,则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸均为,且各件产品是否为不合格品相互独立.以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策依据,分析x为何值时,不须要进行复检.20.已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)(c>0),离心率为,经过F且垂直于x轴的直线交Γ于第一象限的点M,O为坐标原点,且|OM|=.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A,B两点,A,B关于原点O对称的点分别是C,D,试推断四边形ABCD的面积有没有最大值.若有,恳求出最大值;若没有,请说明理由.21.已知函数f(x)=2ex﹣2+ax.(Ⅰ)探讨函数f(x)的单调性;(Ⅱ)对随意x>0,求证:f(x)>x(lnx+a).(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分,[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在极坐标系中,已知曲线C:ρ=.(Ⅰ)若0<a<1,曲线C与极轴所在直线交于A,B两点,且|AB|=4,求a的值;(Ⅱ)若a=1,直线l1,l2经过极点且相互垂直,l1与C交于P,Q两点,l2与C交于M,N两点,求|PQ|+|MN|的最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|x+1|.(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)<8;(Ⅱ)若不等式f(x)≥k|x|恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案一、选择题(共12小题).1.的虚部为()A. B. C.﹣ D.解:∵==,故其虚部为:,故选:D.2.已知集合A={x∈N|x≤2},B={x|x2﹣4=0},则A∪B=()A.{2} B.{﹣2,0,1,2} C.{0,1,2} D.{﹣2,1,2}解:∵x2﹣4=0,∴x=±2,∴B={﹣2,2},∵A={x∈N|x≤2}={0,1,2},∴A∪B={﹣2,0,1,2},故选:B.3.已知两条不同的直线l,m和平面α,m⊂α,则l∥α是l∥m的()A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解:若l∥α,不能说明直线l平行于平面α内的随意一条直线,所以不肯定有l∥m,故充分性不成立,若l∥m且m⊂α,也不能说明l∥α,因为还有可能l⊂α,故必要性不成立,故选:D.4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3,y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则y0等于()A.±6 B.±6 C.±12 D.±12解:抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3,y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,可得3+=9,解得p=12,所以抛物线方程为:y2=24x,抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3,y0),可得y02=24×3,解得y0=.故选:A.5.函数f(x)=2x+cos2x的图象在点(,f())处的切线方程为()A. B. C. D.解:f(x)=2x+cos2x的导数为f′(x)=2﹣2sin2x,可得图象在点(,f())处的切线的斜率为2﹣2sin=1,切点为(,﹣),则切线的方程为y﹣(﹣)=x﹣,即为x﹣y+﹣=0.故选:A.6.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)+b(0<φ<π)有相邻的两个零点和,则b=()A.1 B. C. D.﹣1解:∵f(x)有相邻的两个零点和,∴是f(x)图像的一条对称轴,∴,∴,又∵0<φ<π,∴φ=,∵f(x)过点,∴,∴b=,故选:C.7.(x2+2x﹣3)5的绽开式中x的系数为()A.810 B.405 C.﹣190 D.﹣675解:因为(x2+2x﹣3)5绽开式中含x项是由5个多项式x2+2x﹣3的乘积,在按多项式乘法运算时仅一个多项式取出2x,其它4个多项式都取出﹣3,所以绽开式中x的系数为C•2•(﹣3)4=﹣810,故选:A.8.下面是某手机APP的图标,其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构.该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆,且AB=BC.若在圆内随机取一点,则该点取自正六边形内部的概率为()A. B. C. D.解:如图所示设O为圆心,则O也是正六边形中心,设正六边形的边长为1,则OA=1,AC=2,∠COA=60°,∴OC2=OA2+AC2﹣2OA•AC•cos∠OAC=12+22﹣2×=3,可得OC=,即圆的半径为,所以圆的面积为3π,正六边形的面积为6××12=,所以所求概率为:=,故选:B.9.已知α∈()且tan(2)=﹣,则的值为()A. B.﹣1 C.1 D.解:α∈()且tan(2)=﹣=,∴tan2α=﹣=∴tanα=2(舍去),或tanα=﹣,则==tanα﹣=﹣1,故选:B.10.若圆x2+y2=6上的两个动点A,B满意||=2,点M在圆x2+y2=16上运动,则||的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.5解:依据题意,设AB的中点为P,圆x2+y2=6的圆心O,其坐标为(0,0),若圆x2+y2=6上的两个动点A,B满意||=2,则|OP|==2,即P的轨迹是以O为圆心,半径为2的圆,该圆的方程为x2+y2=4,=2,则||=2||,而M在圆x2+y2=16上运动,则||为圆x2+y2=16和x2+y2=4上两点间的距离,则其最小值为4﹣2=2,故||的最小值是4,故选:C.11.设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=log4(3﹣x).若对随意的x∈[0,b+1],均有f(x+b)≥f(2x),则实数b的最大值是()A.﹣ B.﹣ C.0 D.1解:当x≤0时,f(x)=log4(3﹣x)单调递减,且f(x)为偶函数,依据偶函数对称性可知,当x>0时,f(x)单调递增,对随意的x∈[0,b+1],均有f(x+b)≥f(2x),故|x+b|≥|2x|,即|x+b|≥2x,由区间的定义可知,b>﹣1,若x+b≥0,则x+b≥2x,即x≤b,由于x的最大值b+1,故b≥x明显不恒成立,若x+b<0,则x+b≤﹣2x,即x,所以b+1,解得b,故b的最大值﹣.故选:B.12.在△ABC中,AB=3,AC=2BC,则△ABC的面积的取值范围是()A.(0,2] B.[1,3] C.(0,3] D.(0,6]解:建立如图所示的直角坐标系,则A(﹣,0),B(,0),C(x,y),因为AC=2BC,所以,化简得,(x﹣)2+y2=4,去掉(),(),即C的轨迹是以()为圆心,以2为半径的圆,三角形面积的最大值为S==3.所以0<S≤3.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若alog43=,则3a+9a=6.解:由alog43=,可得a==log34=log32,所以3a+9a=3+3=2+4=6.故答案为:6.14.已知平面区域D是以点A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣2,﹣1)为顶点的三角形区域(含边界),若在区域D内存在无穷多个点(x,y)能使目标函数z=x+my取得最小值,则m=.解:如图,由题意可知,m=0不满意题意,故m≠0,由z=x+my,得y=﹣,若,则m=1,仅当直线y=﹣x+z过点C时z取得最小值,不符合条件;若,则m=﹣4,仅当直线y=经过A时z取得最小值,不符合条件;若﹣,则m=﹣,当直线y=4x﹣4z与AC重合时z取最小值,符合条件.∴.故答案为:.15.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F作x轴的垂线,与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A,B两点,且=2﹣(O为坐标原点),则该双曲线的离心率是.解:设双曲线C:=1(a>0,b>0)的半焦距为c,由题意可得l:x=c,F(c,0),渐近线方程为y=±x,则A(c,),B(c,),又=2﹣,∴(c,0)=(2c,)﹣(c,)=(c,),即2b2﹣bc=0,则c=2b,∴c2=4b2=4(c2﹣a2),可得2a=,则双曲线的离心率为e=.故答案为:.16.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3,AC1∥平面α,BD∥平面α,则正方体在平面α内的正投影面积为6.解:如图,作面α,满意AC1∥平面α,BD∥平面α,则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在面α的正投影为一个六边形,所以依据对称性,正方体的6个顶点中A、B、B1、C1、D1、D,在平面α内的投影点与六边形EHNFMG对应,其它六个顶点投影恰是六边形的六个顶点,六边形的对角线EF是AC1在α射影EF=3,BD与B1D1在平面上的射影为:3,E到GH的距离为,所以正六边形的面积为2×××+=6.故答案为:6.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题必需作答.第22,23题为选考题,考生依据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2n.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{ansin(n)}前2024项之和.解:(Ⅰ)Sn=n2n,可得n=1时,a1=S1=;n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2n+(n﹣1)2﹣(n﹣1)=1﹣,上式对n=1也成立.所以an=1﹣,n∈N*;(Ⅱ)ansin(n)=(1﹣)sin(n),则a1sin+a2sinπ+a3sin+a4sin2π=a1﹣a3=,a5sin+a6sin3π+a7sin+a8sin4π=a5﹣a7=,.依据正弦函数的周期性可得,a1sin+a2sinπ+...+a2024sin=×505+1﹣=﹣.18.如图,四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面均为菱形、CC1⊥平面ABCD,∠BAD=60°,∠A1AD=∠A1AB=45°,AB=2A1B1=2.(Ⅰ)证明:平面A1AB⊥平面A1AD;(Ⅱ)求直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值.【解答】(Ⅰ)证明:作BE⊥A1A于E,连接DE、BD,因为四边形ABCD是菱形,且∠BAD=60°,AB=2,所以BD=2,因为AB=AD,AE=AE,∠A1AD=∠A1AB=45°,所以△ABE≌△ADE,所以BE=DE=AB•sin40°=,于是BE2+DE2=BD2,所以BE⊥DE,因为∠BED为平面A1AB与平面A1AD所成二面角的平面角,所以平面A1AB⊥平面A1AD;(Ⅱ)解:连接AC,交BD于O,连接AO,A1C1,因为在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2A1B1=2,所以OC=AC=A1C1,又因为OC∥A1C1,所以四边形A1C1CO为平行四边形,所以A1O∥CC1,因为CC1⊥平面ABCD,所以A1O⊥平面ABCD,于是A1O⊥OA,A1O⊥OB,因为上、下底面均为菱形,所以OA⊥OB,所以OA、OB、OA1两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱台高为h,由已知得=(﹣,1,0),=(﹣,0,h),•=||•||•cos45°,所以3=2••,解得h=,=(,0,),设平面A1AB的法向量为=(x,y,z),,令x=1,=(1,,),所以直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值为==.19.某工厂的某种产品成箱包装每箱100件,每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验,先从这箱产品中随机抽取10件作初检,依据初检结果确定是否再抽取10件进行复检.如检验出不合格品,则更换为合格品,每件产品的检验费用为50元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付200元赔偿费用.(Ⅰ)假设某箱产品中仅有2件不合格品,求这2件不合格品在初检时都被抽到的概率.(Ⅱ)若初检时检验出x(x∈N且0≤x≤10)件不合格品,则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸均为,且各件产品是否为不合格品相互独立.以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策依据,分析x为何值时,不须要进行复检.解:(Ⅰ)从100件产品中抽取10件,2件不合格品被抽到的概率为:P==.(Ⅱ)①若不进行复检,令Y表示剩余的90件产品中的不合格品数,则Y~B(90,),则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和X1=50×10+200Y=500+200Y,E(X1)=E(500+200Y)=500+200E(Y)=500+1800x;②若进行复检,令Z表示剩余80减产品中的不合格品数,则Z~B(80,),则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和X2=50×20+200Z=1000+200Z,E(X2)=E(1000+200Z)=1000+200E(Z)=1000+1600x,当E(X1)<E(X2)时,不须要进行复检,由500+1800x<1000+1600x,得x<2.5,即当x=0,1,2时,不须要进行复检.20.已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)(c>0),离心率为,经过F且垂直于x轴的直线交Γ于第一象限的点M,O为坐标原点,且|OM|=.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A,B两点,A,B关于原点O对称的点分别是C,D,试推断四边形ABCD的面积有没有最大值.若有,恳求出最大值;若没有,请说明理由.解:(Ⅰ)由题意知=,即a2=c2①,由a2=b2+c2,可得b2=②,联立,解得,则点M(c,),则|OM|==③,联立①②③,解得c=,a=2,b=1,所以椭圆Γ的方程为+y2=1.(Ⅱ)设直线AB的方程为y=x+m,联立,得2x2+4mx+4(m2﹣1)=0,所以△=(4m)2﹣4×2×4(m2﹣1)=16(2﹣m2)>0,解得﹣<m<,则x1+x2=﹣2m,x1x2=2(m2﹣1),则|AB|=|x1﹣x2|===,原点O到直线AB的距离为d′=2d=|m|,明显四边形ABCD是平行四边形,所以S四边形ABCD=|AB|d′=•|m|=2=2≤2=4,当且仅当4m2=8﹣4m2,即m=±1时,取等号,所以四边形ABCD的面积存在最大值,且最大值为4.21.已知函数f(x)=2ex﹣2+ax.(Ⅰ)探讨函数f(x)的单调性;(Ⅱ)对随意x>0,求证:f(x)>x(lnx+a).解:(Ⅰ)f(x)的定义域是R,f′(x)=2ex﹣2+a,当a≥0时,f′(x)>0恒成立,故f(x)在R上单调递增,当a<0时,令f′(x)>0,解得:x>2+ln(﹣),令f′(x)<0,解得:x<2+ln(﹣),故f(x)在(﹣∞,2+ln(﹣))上单调递减,在(2+ln(﹣),+∞)上单调递增;综上:当a≥0时,f(x)在R上单调递增,当a<0时,f(x)在(﹣∞,2+ln(﹣))上单调递减,在(2+ln(﹣),+∞)上单调递增;(Ⅱ)证明:要证f(x)>x(lnx+a),即证2ex﹣2+ax>x(lnx+a),即证2ex﹣2>xlnx,又x>0,故>lnx,即证•﹣lnx>0,令g(x)=•﹣l
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