河南省“顶尖计划”2025届高三数学第三次考试试题理含解析

PAGEPAGE17河南省“顶尖安排”2025届高三数学第三次考试试题理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分.）1．的虚部为（）A． B． C．﹣ D．2．已知集合A＝{x∈N|x≤2}，B＝{x|x2﹣4＝0}，则A∪B＝（）A．{2} B．{﹣2，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，1，2}3．已知两条不同的直线l，m和平面α，m⊂α，则l∥α是l∥m的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于（）A．±6 B．±6 C．±12 D．±125．函数f（x）＝2x+cos2x的图象在点（，f（））处的切线方程为（）A． B． C． D．6．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）+b（0＜φ＜π）有相邻的两个零点和，则b＝（）A．1 B． C． D．﹣17．（x2+2x﹣3）5的绽开式中x的系数为（）A．810 B．405 C．﹣190 D．﹣6758．下面是某手机APP的图标，其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构．该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆，且AB＝BC．若在圆内随机取一点，则该点取自正六边形内部的概率为（）A． B． C． D．9．已知α∈（）且tan（2）＝﹣，则的值为（）A． B．﹣1 C．1 D．10．若圆x2+y2＝6上的两个动点A，B满意||＝2，点M在圆x2+y2＝16上运动，则||的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝log4（3﹣x）．若对随意的x∈[0，b+1]，均有f（x+b）≥f（2x），则实数b的最大值是（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．112．在△ABC中，AB＝3，AC＝2BC，则△ABC的面积的取值范围是（）A．（0，2] B．[1，3] C．（0，3] D．（0，6]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若alog43＝，则3a+9a＝．14．已知平面区域D是以点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣2，﹣1）为顶点的三角形区域（含边界），若在区域D内存在无穷多个点（x，y）能使目标函数z＝x+my取得最小值，则m＝．15．过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A，B两点，且＝2﹣（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，AC1∥平面α，BD∥平面α，则正方体在平面α内的正投影面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题必需作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2n．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{ansin（n）}前2024项之和．18．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面均为菱形、CC1⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，∠A1AD＝∠A1AB＝45°，AB＝2A1B1＝2．（Ⅰ）证明：平面A1AB⊥平面A1AD；（Ⅱ）求直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值．19．某工厂的某种产品成箱包装每箱100件，每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验，先从这箱产品中随机抽取10件作初检，依据初检结果确定是否再抽取10件进行复检．如检验出不合格品，则更换为合格品，每件产品的检验费用为50元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付200元赔偿费用．（Ⅰ）假设某箱产品中仅有2件不合格品，求这2件不合格品在初检时都被抽到的概率．（Ⅱ）若初检时检验出x（x∈N且0≤x≤10）件不合格品，则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸均为，且各件产品是否为不合格品相互独立．以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策依据，分析x为何值时，不须要进行复检．20．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）（c＞0），离心率为，经过F且垂直于x轴的直线交Γ于第一象限的点M，O为坐标原点，且|OM|＝．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A，B两点，A，B关于原点O对称的点分别是C，D，试推断四边形ABCD的面积有没有最大值．若有，恳求出最大值；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）＝2ex﹣2+ax．（Ⅰ）探讨函数f（x）的单调性；（Ⅱ）对随意x＞0，求证：f（x）＞x（lnx+a）．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝．（Ⅰ）若0＜a＜1，曲线C与极轴所在直线交于A，B两点，且|AB|＝4，求a的值；（Ⅱ）若a＝1，直线l1，l2经过极点且相互垂直，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，求|PQ|+|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜8；（Ⅱ）若不等式f（x）≥k|x|恒成立，求实数k的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．的虚部为（）A． B． C．﹣ D．解：∵＝＝，故其虚部为：，故选：D．2．已知集合A＝{x∈N|x≤2}，B＝{x|x2﹣4＝0}，则A∪B＝（）A．{2} B．{﹣2，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，1，2}解：∵x2﹣4＝0，∴x＝±2，∴B＝{﹣2，2}，∵A＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，0，1，2}，故选：B．3．已知两条不同的直线l，m和平面α，m⊂α，则l∥α是l∥m的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解：若l∥α，不能说明直线l平行于平面α内的随意一条直线，所以不肯定有l∥m，故充分性不成立，若l∥m且m⊂α，也不能说明l∥α，因为还有可能l⊂α，故必要性不成立，故选：D．4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于（）A．±6 B．±6 C．±12 D．±12解：抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，可得3+＝9，解得p＝12，所以抛物线方程为：y2＝24x，抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（3，y0），可得y02＝24×3，解得y0＝．故选：A．5．函数f（x）＝2x+cos2x的图象在点（，f（））处的切线方程为（）A． B． C． D．解：f（x）＝2x+cos2x的导数为f′（x）＝2﹣2sin2x，可得图象在点（，f（））处的切线的斜率为2﹣2sin＝1，切点为（，﹣），则切线的方程为y﹣（﹣）＝x﹣，即为x﹣y+﹣＝0．故选：A．6．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）+b（0＜φ＜π）有相邻的两个零点和，则b＝（）A．1 B． C． D．﹣1解：∵f（x）有相邻的两个零点和，∴是f（x）图像的一条对称轴，∴，∴，又∵0＜φ＜π，∴φ＝，∵f（x）过点，∴，∴b＝，故选：C．7．（x2+2x﹣3）5的绽开式中x的系数为（）A．810 B．405 C．﹣190 D．﹣675解：因为（x2+2x﹣3）5绽开式中含x项是由5个多项式x2+2x﹣3的乘积，在按多项式乘法运算时仅一个多项式取出2x，其它4个多项式都取出﹣3，所以绽开式中x的系数为C•2•（﹣3）4＝﹣810，故选：A．8．下面是某手机APP的图标，其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构．该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆，且AB＝BC．若在圆内随机取一点，则该点取自正六边形内部的概率为（）A． B． C． D．解：如图所示设O为圆心，则O也是正六边形中心，设正六边形的边长为1，则OA＝1，AC＝2，∠COA＝60°，∴OC2＝OA2+AC2﹣2OA•AC•cos∠OAC＝12+22﹣2×＝3，可得OC＝，即圆的半径为，所以圆的面积为3π，正六边形的面积为6××12＝，所以所求概率为：＝，故选：B．9．已知α∈（）且tan（2）＝﹣，则的值为（）A． B．﹣1 C．1 D．解：α∈（）且tan（2）＝﹣＝，∴tan2α＝﹣＝∴tanα＝2（舍去），或tanα＝﹣，则＝＝tanα﹣＝﹣1，故选：B．10．若圆x2+y2＝6上的两个动点A，B满意||＝2，点M在圆x2+y2＝16上运动，则||的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：依据题意，设AB的中点为P，圆x2+y2＝6的圆心O，其坐标为（0，0），若圆x2+y2＝6上的两个动点A，B满意||＝2，则|OP|＝＝2，即P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆，该圆的方程为x2+y2＝4，＝2，则||＝2||，而M在圆x2+y2＝16上运动，则||为圆x2+y2＝16和x2+y2＝4上两点间的距离，则其最小值为4﹣2＝2，故||的最小值是4，故选：C．11．设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝log4（3﹣x）．若对随意的x∈[0，b+1]，均有f（x+b）≥f（2x），则实数b的最大值是（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．1解：当x≤0时，f（x）＝log4（3﹣x）单调递减，且f（x）为偶函数，依据偶函数对称性可知，当x＞0时，f（x）单调递增，对随意的x∈[0，b+1]，均有f（x+b）≥f（2x），故|x+b|≥|2x|，即|x+b|≥2x，由区间的定义可知，b＞﹣1，若x+b≥0，则x+b≥2x，即x≤b，由于x的最大值b+1，故b≥x明显不恒成立，若x+b＜0，则x+b≤﹣2x，即x，所以b+1，解得b，故b的最大值﹣．故选：B．12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2BC，则△ABC的面积的取值范围是（）A．（0，2] B．[1，3] C．（0，3] D．（0，6]解：建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣，0），B（，0），C（x，y），因为AC＝2BC，所以，化简得，（x﹣）2+y2＝4，去掉（），（），即C的轨迹是以（）为圆心，以2为半径的圆，三角形面积的最大值为S＝＝3．所以0＜S≤3．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若alog43＝，则3a+9a＝6．解：由alog43＝，可得a＝＝log34＝log32，所以3a+9a＝3+3＝2+4＝6．故答案为：6．14．已知平面区域D是以点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣2，﹣1）为顶点的三角形区域（含边界），若在区域D内存在无穷多个点（x，y）能使目标函数z＝x+my取得最小值，则m＝．解：如图，由题意可知，m＝0不满意题意，故m≠0，由z＝x+my，得y＝﹣，若，则m＝1，仅当直线y＝﹣x+z过点C时z取得最小值，不符合条件；若，则m＝﹣4，仅当直线y＝经过A时z取得最小值，不符合条件；若﹣，则m＝﹣，当直线y＝4x﹣4z与AC重合时z取最小值，符合条件．∴．故答案为：．15．过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A，B两点，且＝2﹣（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是．解：设双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，由题意可得l：x＝c，F（c，0），渐近线方程为y＝±x，则A（c，），B（c，），又＝2﹣，∴（c，0）＝（2c，）﹣（c，）＝（c，），即2b2﹣bc＝0，则c＝2b，∴c2＝4b2＝4（c2﹣a2），可得2a＝，则双曲线的离心率为e＝．故答案为：．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，AC1∥平面α，BD∥平面α，则正方体在平面α内的正投影面积为6．解：如图，作面α，满意AC1∥平面α，BD∥平面α，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在面α的正投影为一个六边形，所以依据对称性，正方体的6个顶点中A、B、B1、C1、D1、D，在平面α内的投影点与六边形EHNFMG对应，其它六个顶点投影恰是六边形的六个顶点，六边形的对角线EF是AC1在α射影EF＝3，BD与B1D1在平面上的射影为：3，E到GH的距离为，所以正六边形的面积为2×××+＝6．故答案为：6．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题必需作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2n．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{ansin（n）}前2024项之和．解：（Ⅰ）Sn＝n2n，可得n＝1时，a1＝S1＝；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2n+（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝1﹣，上式对n＝1也成立．所以an＝1﹣，n∈N*；（Ⅱ）ansin（n）＝（1﹣）sin（n），则a1sin+a2sinπ+a3sin+a4sin2π＝a1﹣a3＝，a5sin+a6sin3π+a7sin+a8sin4π＝a5﹣a7＝，．依据正弦函数的周期性可得，a1sin+a2sinπ+...+a2024sin＝×505+1﹣＝﹣．18．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面均为菱形、CC1⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，∠A1AD＝∠A1AB＝45°，AB＝2A1B1＝2．（Ⅰ）证明：平面A1AB⊥平面A1AD；（Ⅱ）求直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：作BE⊥A1A于E，连接DE、BD，因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，AB＝2，所以BD＝2，因为AB＝AD，AE＝AE，∠A1AD＝∠A1AB＝45°，所以△ABE≌△ADE，所以BE＝DE＝AB•sin40°＝，于是BE2+DE2＝BD2，所以BE⊥DE，因为∠BED为平面A1AB与平面A1AD所成二面角的平面角，所以平面A1AB⊥平面A1AD；（Ⅱ）解：连接AC，交BD于O，连接AO，A1C1，因为在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，所以OC＝AC＝A1C1，又因为OC∥A1C1，所以四边形A1C1CO为平行四边形，所以A1O∥CC1，因为CC1⊥平面ABCD，所以A1O⊥平面ABCD，于是A1O⊥OA，A1O⊥OB，因为上、下底面均为菱形，所以OA⊥OB，所以OA、OB、OA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱台高为h，由已知得＝（﹣，1，0），＝（﹣，0，h），•＝||•||•cos45°，所以3＝2••，解得h＝，＝（，0，），设平面A1AB的法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，，），所以直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值为＝＝．19．某工厂的某种产品成箱包装每箱100件，每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验，先从这箱产品中随机抽取10件作初检，依据初检结果确定是否再抽取10件进行复检．如检验出不合格品，则更换为合格品，每件产品的检验费用为50元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付200元赔偿费用．（Ⅰ）假设某箱产品中仅有2件不合格品，求这2件不合格品在初检时都被抽到的概率．（Ⅱ）若初检时检验出x（x∈N且0≤x≤10）件不合格品，则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸均为，且各件产品是否为不合格品相互独立．以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策依据，分析x为何值时，不须要进行复检．解：（Ⅰ）从100件产品中抽取10件，2件不合格品被抽到的概率为：P＝＝．（Ⅱ）①若不进行复检，令Y表示剩余的90件产品中的不合格品数，则Y～B（90，），则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和X1＝50×10+200Y＝500+200Y，E（X1）＝E（500+200Y）＝500+200E（Y）＝500+1800x；②若进行复检，令Z表示剩余80减产品中的不合格品数，则Z～B（80，），则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和X2＝50×20+200Z＝1000+200Z，E（X2）＝E（1000+200Z）＝1000+200E（Z）＝1000+1600x，当E（X1）＜E（X2）时，不须要进行复检，由500+1800x＜1000+1600x，得x＜2.5，即当x＝0，1，2时，不须要进行复检．20．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）（c＞0），离心率为，经过F且垂直于x轴的直线交Γ于第一象限的点M，O为坐标原点，且|OM|＝．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A，B两点，A，B关于原点O对称的点分别是C，D，试推断四边形ABCD的面积有没有最大值．若有，恳求出最大值；若没有，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意知＝，即a2＝c2①，由a2＝b2+c2，可得b2＝②，联立，解得，则点M（c，），则|OM|＝＝③，联立①②③，解得c＝，a＝2，b＝1，所以椭圆Γ的方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝x+m，联立，得2x2+4mx+4（m2﹣1）＝0，所以△＝（4m）2﹣4×2×4（m2﹣1）＝16（2﹣m2）＞0，解得﹣＜m＜，则x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2（m2﹣1），则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝＝，原点O到直线AB的距离为d′＝2d＝|m|，明显四边形ABCD是平行四边形，所以S四边形ABCD＝|AB|d′＝•|m|＝2＝2≤2＝4，当且仅当4m2＝8﹣4m2，即m＝±1时，取等号，所以四边形ABCD的面积存在最大值，且最大值为4．21．已知函数f（x）＝2ex﹣2+ax．（Ⅰ）探讨函数f（x）的单调性；（Ⅱ）对随意x＞0，求证：f（x）＞x（lnx+a）．解：（Ⅰ）f（x）的定义域是R，f′（x）＝2ex﹣2+a，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞2+ln（﹣），令f′（x）＜0，解得：x＜2+ln（﹣），故f（x）在（﹣∞，2+ln（﹣））上单调递减，在（2+ln（﹣），+∞）上单调递增；综上：当a≥0时，f（x）在R上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，2+ln（﹣））上单调递减，在（2+ln（﹣），+∞）上单调递增；（Ⅱ）证明：要证f（x）＞x（lnx+a），即证2ex﹣2+ax＞x（lnx+a），即证2ex﹣2＞xlnx，又x＞0，故＞lnx，即证•﹣lnx＞0，令g（x）＝•﹣l