2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测二十一第三章函数的概念与性质3.2.1.2函数的最大值最小值含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测二十一函数的最大值、最小值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.函数y=x-QUOTE在[1,2]上的最大值为 ()A.0 B.QUOTE C.2 D.3【解析】选B.函数y=x在[1,2]上是单调递增的,函数y=-QUOTE在[1,2]上是单调递增的,所以函数y=x-QUOTE在[1,2]上是单调递增的.当x=2时,ymax=2-QUOTE=QUOTE.2.函数f(x)=QUOTE的最大值为 ()A.1 B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.当x≥1时,函数f(x)=QUOTE是单调递减的,此时f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.综上可得,f(x)的最大值为2.3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2 B.-2 C.2或-2 D.0【解析】选C.当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,所以a=-2.综上a=±2.4.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.因为f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=2.所以f(x)在[0,1]上单调递增.又因为f(x)min=-2,所以f(0)=-2,即a=-2.所以f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.5.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时是单调递增的,当x∈(-∞,-2]时是单调递减的,则f(1)= ()A.10 B.-3 C.13 D.1【解析】选C.因为函数f(x)在(-∞,-2]上是单调递减的,在[-2,+∞)上是单调递增的,所以x=-QUOTE=QUOTE=-2,所以m=-8,故f(x)=2x2+8x+3,所以f(1)=13.6.(多选题)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-QUOTE,-4,则m可以取()A.QUOTE B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】选A、B、C.因为对称轴为x=QUOTE,对应函数值为-QUOTE,所以m≥QUOTE;当y=-4时,x=0,3,因此m≤3,综合可得,m的取值范围是QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若函数f(x)=x2-6x+m在区间[2,+∞)上的最小值是-3,则实数m的值为________.

【解析】函数f(x)=x2-6x+m的对称轴是直线x=3,开口向上,所以函数f(x)在[2,3]上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得最小值,由f(3)=32-6×3+m=-3,解得m=6.故实数m的值为6.答案:68.用长度为24m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道与边平行的隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________m.

【解析】设隔墙的长为xm,矩形面积为Sm2,则S=x·QUOTE=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,S有最大值18.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTE.(1)证明:函数在区间(1,+∞)上是单调递减的.(2)求函数在区间[2,4]上的最值.【解题指南】(1)运用单调性的定义证明,留意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤.(2)运用(1)的结论,即可得到最值.【解析】(1)取∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE由于1<x1<x2,则x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,则f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调递减的.(2)由(1)可得,f(x)在区间[2,4]上递减,则f(2)为最大值,且为2,f(4)为最小值,且为QUOTE.10.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值.(2)若y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.因为x∈[-5,5],故当x=1时,f(x)取得最小值为1,当x=-5时,f(x)取得最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为直线x=-a.因为f(x)在[-5,5]上是单调的,故-a≤-5或-a≥5,解得a≤-5或a≥5.即实数a的取值范围是a≤-5或a≥5.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.四个函数:①y=3-x;②y=QUOTE;③y=x2+2x-10;④y=QUOTE其中值域为R的函数有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.留意到分段函数的值域是每支函数值域的并集,明显①④值域为R,②的值域为(0,1],③的值域为[-11,+∞).2.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是单调递增的,设f(x),x∈R最小值为t,则 ()A.t≤-11B.t=-11C.t≥11D.t≤11【解析】选A.因为函数f(x)的对称轴为x=QUOTE,所以f(x)在QUOTE上是单调递增的,所以QUOTE≤-2,所以m≤-16.f(x)min=QUOTE,t=QUOTE=5-QUOTE≤-11.3.若函数y=f(x)的值域为[1,3],则函数F(x)=1-2f(x+2)的值域是 ()A.[-9,-5] B.[-5,-1]C.[-1,3] D.[1,3]【解析】选B.由于函数y=f(x)的值域为[1,3],则1≤f(x+2)≤3,-6≤-2f(x+2)≤-2,所以-5≤1-2f(x+2)≤-1.4.(多选题)已知y=f(x)是R上的单调函数,令F(x)=f(1-x)-f(3+x),则F(x)在R上可能是 ()A.增函数 B.减函数C.先增加后削减 D.先削减后增加【解析】选A、B.设随意的x1,x2∈R,且x1<x2,则F(x2)-F(x1)=f(1-x2)-f(3+x2)-f(1-x1)+f(3+x1)=f(1-x2)-f(1-x1)+f(3+x1)-f(3+x2),因为x1<x2,所以1-x1>1-x2,3+x2>3+x1,若y=f(x)是R上的减函数,则F(x2)-F(x1)>0,即F(x)在R上是增函数.若y=f(x)是R上的增函数,则F(x2)-F(x1)<0,即F(x)在R上是减函数.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数y=|x+1|-|2-x|的单调递增区间是________,值域是________.

【解析】y=|x+1|-|2-x|=QUOTE其图象如图所示,可知单调递增区间是[-1,2],值域是[-3,3].答案:[-1,2][-3,3]6.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就削减10个,为得到最大利润,售价应为________元.

【解析】设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x-50)元,销量削减10(x-50)个.所以y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000≤9000.故当x=70时,ymax=9000.答案:707.设f(x)为y=-x+6和y=-x2+4x+6中较小者,则函数f(x)的最大值为________.

【解析】在同一平面直角坐标系内,作出两函数的图象,由图可知f(x)的图象是图中的实线部分,视察图象可知此函数的最大值为6.答案:68.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间[2,10]上具有单调性,则实数k的取值范围是________.

【解析】依据二次函数的单调性知:f(x)在QUOTE上为单调递减的,在QUOTE上为单调递增的,因为函数f(x)=4x2-kx-8在区间[2,10]上具有单调性,所以QUOTE≥10或QUOTE≤2解得k≥80或k≤16,所以实数k的取值范围是{k|k≤16或k≥80}.答案:{k|k≤16或k≥80}【补偿训练】求函数f(x)=x2+2x在[t,1]上的值域.【解析】函数f(x)=x2+2x的对称轴为x=-1,则(1)当-1<t<1时,[t,1]是单调增区间,值域为[f(t),f(1)],即[t2+2t,3].(2)当-3≤t≤-1时,函数在x=-1处取最小值,在x=1处取最大值,值域为[f(-1),f(1)],即[-1,3].(3)当t<-3时,函数在x=-1处取最小值,在x=t处取最大值,值域为[f(-1),f(t)],即[-1,t2+2t].三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的取值范围.【解析】函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草图如图所示.由图象可知函数在(-∞,a]和(a,+∞)上分别单调,因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调,只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增;当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减),从而a∈(-∞,1]∪[2,+∞).10.已知函数f(x)对随意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-QUOTE.(1)求证:f(x)是R上的减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.【解析】(1)∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的减函数.(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×QUOTE=-2.所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.11.请先阅读下面材料,然后回答问题.对应问题“已知函数f(x)=QUOTE,问函数f(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由.”一个同学给出了如下解答:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4,当x=1时,u有最大值,umax=4,明显u没有最小值.所以当x=1时,f(x)有最小值QUOTE,没有最大值.(1)你认为上述解答是否正确?若不正确,说明理由,并给出正确的解答.(2)试探讨函数y=QUOTE的最值状况.(3)对于函数f(x)=QUOTE(a>0),试探讨其最值的状况.【解析】(1)不正确.没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4.当0<u≤4时,QUOTE≥QUOTE,即f(x)≥QUOTE;当u<0时,QUOTE<0,即f(x)<0.所以f(x)<0或f(x)≥QUOTE.即f(x)既无最大值,也无最小值.(2)因为x2+x+2=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,所以0<y≤QUOTE,所以函数y=QUOTE的最大值为QUOTE,没有最小值.(3)对于函数f(x)=QUOTE(a>0).令u=ax2+bx+c,①当Δ>0时,u有最小值,umin=QUOTE<0;当QUOTE≤u<0时.QUOTE≤QUOTE,即f(x)≤QUOTE;当u>0时,即f(x)>0.所以f(x)>0或f(x)≤QUOTE,即f(x)既无最大值,也无最小值.②当Δ=0