河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二上学期入学摸底测试数学试题（解析版）

2024—2025学年高二年级9月入学摸底考试数学考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法运算求解，再对应点的坐标可得.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，故在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.已知向量，且两向量夹角为，则（）A.18 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.【详解】依题意，.故选：B3.如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二测画法规则还原直观图，根据面积比例关系求解可得.【详解】由，则，如图，作出还原后，则，故，所以.故选：C4.一组数据按从小到大的顺序排列为（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和分位数分别是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用方差和分位数的意义计算判断即可.【详解】依题意，这组数据的众数为3，中位数为，解得，由，因此这组数据的分位数是8，这组数据的平均数为，方差为.故选：D5.如图，在直角坐标平面内，已知，以轴为旋转轴，将旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用圆柱、圆锥的表面积公式计算即可.【详解】依题意，，，，该旋转体是底面圆半径为3，高为4的圆柱挖去底面半径为3，高为4的圆锥，其表面积故选：D6.如图，在中，角所对的边分别为交于点，且，则的值为（）A. B. C.6 D.3【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得.【详解】依题意，，即，则，所以.故选：A7.如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角.【详解】连接交于，连接，由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，不妨设，则，在中，，则，则，，则，由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.故选：B.8.在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（）A. B. C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出角，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.【详解】在中，由及正弦定理，得，而，则，而，整理得，又，解得，由余弦定理，得，解得，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为9.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，为上一点，，则（）A.当为角的角平分线时，B.C.当为中点时，D.的外接圆半径为1【答案】AC【解析】【分析】利用三角形面积公式计算判断A；利用余弦定理判断B；利用向量数量积的运算律计算判断C；利用正弦定理求出外接圆半径判断D.【详解】对于A，由，得，解得，A正确；对于B，在中，，由余弦定理得，B错误；对于，，则，C正确；对于D，的外接圆半径，D错误.故选：AC10.若复数满足（为虚数单位），则（）A.复数的虚部为3B.C.D.若是关于的方程的根，则【答案】ACD【解析】【分析】利用复数的乘法求出，再逐项判断即得.【详解】依题意，，对于A，复数的虚部为3，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，由是关于的方程的根，得是方程的另一根，则，因此，D正确.故选：ACD11.在中，已知.那么（）A.若是钝角三角形，则B.若，则仅有一解C.的最大值是D.的最大值是6【答案】BC【解析】【分析】由为钝角判断A；由正弦定理计算判断BC；利用正弦定理及三角恒等变换计算判断D.【详解】对于A，当为钝角时，，A错误；对于B，当时，由正弦定理得，，仅有一解，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，由正弦定理，得，由，得，，则，因此，无最大值，D错误.故选：BC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某初中七年级有男生600人，女生500人.为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为22的样本进行调查.若样本按比例分配，则抽取的男生人数为__________.【答案】12【解析】【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比计算即得.【详解】依题意，样本按比例分配，抽取的男生人数为.故答案为：1213.若，则__________.【答案】【解析】【分析】平方后利用二倍角公式可得【详解】，，解得.故答案为：.14.已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连接.若二面角的大小为时，则四面体的外接球的表面积为__________.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，确定四面体外接球球心位置，结合球的截面小圆性质求出球半径即可得解.【详解】由菱形，且，得均为正三角形，设它们的中心分别为，取的中点，连，则，点共线，点共线，是二面角的平面角，即，又平面，于是平面，即平面是线段的中垂面，则四面体外接球的球心平面，分别为的截面小圆圆心，，，≌，因此，，四面体的外接球半径为，则，所以四面体的外接球的表面积.故答案：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量为同一平面内的三个向量，向量.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用向量模的计算公式求解即得.（2）利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的运算律及夹角公式计算即得.【小问1详解】由，设，则，解得，所以或.【小问2详解】由与垂直，得，解得，所以与的夹角的余弦值.16.为了解某品牌型号空调的质量，某商场对购买该型号的顾客进行了产品满意度的问卷调查.随机抽取了100位顾客的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：.（1）求值；（2）求这100位顾客问卷评分的平均数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在80,90和90,100内的居民中共抽取7户居民，查阅他们答卷的情况，再从这7户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在80,90内的概率.【答案】（1）；（2）74；（3）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出值；（2）利用频率分布直方图估计问卷评分的平均数.（3）求出评分在80,90和90,100内的户数，再利用列举法求出古典概率.小问1详解】由频率分布直方图，得，所以.【小问2详解】这100位顾客问卷评分的平均数.【小问3详解】抽取的7户居民中，评分在80,90的有户，记为，评分在90,100的有2户，记为，从这7户居民中选取2户的样本空间为：，共21个样本点，其中恰有1户的评分在80,90内的事件，共10个样本点，所以恰有1户的评分在80,90内的概率.17.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由得，则由余弦定理得，，.【小问2详解】由，解得①，，，则②，联立①②可得，，或.，，则，且，所以，当时，，则长为；当时，，则长为.综上所述，的长为或.18.已知函数的部分图象如图所示：（1）求函数的解析式；（2），求函数的值域；（3）若，求满足不等式的的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先由图象确定，再将点，分别代入解析式结合范围求解的值即可；（2）利用整体角范围结合正弦函数图象求值域；（3）先以为整体，解二次不等式得，再根据整体角的范围及特殊值求角可得.【小问1详解】由图象可知，则，由图象过，可得，即，因为，所以，故，又函数图象过，则，解得，所以，.由图可知，，则有，解得，故当且仅当时，满足题意.综上所述，函数的解析式是.【小问2详解】，，则，所以.所以当时，函数的值域为.【小问3详解】由得，即，，，，故，或，解得，或，故满足不等式的的取值范围是.19.如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成的角为，求二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，连接，利用线面垂直的判定、面