安徽省阜阳市亲情学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（解析）

2024秋季亲情学校高二年级开学考试卷数学注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.R B. C. D.{1}【答案】D【解析】【分析】根据交集运算直接计算即可.【详解】因为，，所以，故选：D2.设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出复数z，得共轭复数，由几何意义知在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为，所以，∴∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B3.已知命题，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题的否定是．故选：D4.设，，，则a，b，c大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数以及对数的性质，与中间值0和1比较，即可求解.【详解】，，，∴故选：A．5.已知，（）A.－2024 B. C. D.－1【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式计算得解.【详解】由题意得：，则，．故选：D6.已知向量，，设，的夹角为θ，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用坐标计算向量的夹角后得到，再利用特殊角的三角函数值计算结果即可；【详解】因为向量，，且，的夹角为θ，所以，∴，则，故选：C.7.已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围.【详解】由题意得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：B.8.已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（）A.()与C是互斥事件，且是对立事件 B.一定是必然事件C.的概率一定不超 D.的概率一定等于0.5【答案】C【解析】【分析】根据A，B，C不一定互斥，利用和事件的一般概率公式计算可判断各选项得解.【详解】由事件A，B，C不一定两两互斥，所以，，且，所以不一定必然事件，无法判断与C是不是互斥事件，所以A、B、D中说法错误．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为π B.函数在上单调递增C.函数的图象关于直线对称 D.函数的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】利用周期公式计算即可判断A项，求出原函数的递增区间，再与B项中的区间对照即可判断；利用代入计算，结合正弦函数的图象的最值点和零点，即可判断C,D两项.【详解】对于A，的最小正周期为，所以A正确；对于B，由,，得，,取，可得在上单调递增，则在上有增有减，故B错误；对于C，因，故直线不为的一条对称轴，即C错误；对于D，因，故点是图象的一个对称中心，所以D正确；故选：AD.10.已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（）A.EF的最小值为B.存在点F，使EF⊥C.三棱锥的体积是定值D.直线EF与平面所成角的正切最大值为【答案】BCD【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到F为CD中点时，EF取得最小值，由勾股定理求出最小值；B选项，当点F与点C重合时，证明线面垂直，得到⊥，⊥EF；C选项，根据的面积不变，点E到平面距离不变，得到三棱锥体积不变；D选项，取的中点，证明出当与重合时，平面，由对称性可知，当点F与点C或D重合时，直线EF与平面所成角最大，故正切值最大，求出各边长，得到正切最大值.【详解】对于A，取的中点，连接，则⊥平面，连接FM，显然F为CD中点时，EF取得最小值，此时，故A不正确．B选项，当点F与点C重合时，因为⊥，又⊥平面，平面，故⊥，又，平面，故⊥平面，又平面，所以⊥，所以⊥EF，所以B正确；C选项，的面积不变，点E到平面(平面)的距离不变，所以三棱锥的体积是定值，所以C正确；D选项，取的中点，连接，，则，，取的中点，连接，则，故四边形为平行四边形，故，由于平面，平面，故平面，故当与重合时，平面，由对称性可知，当点F与点C或D重合时，直线EF与平面所成角最大，故正切值最大，最大值为，所以D正确.故选：BCD．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.11.已知正实数、满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项.【详解】因为正实数、满足，则，因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错；因为，所以，，令，因为函数在上单调递减，所以，，C对D错.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校高一年级实验班有310名同学，培优班有630名同学，按比例分配分层随机抽样从该校高一年级实验班和培优班一共抽取94人组成样本，调查高一学生的期末数学考试成绩，则应从培优班抽取的学生人数为______．【答案】63【解析】【分析】根据已知条件，结合分层抽样定义，列算式求解．【详解】由题意可知，从培优班中抽取的人数为：人．故答案为：63．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意结合面积关系可得，进而求的面积.【详解】如图所示，由题意可知：，因为，则，即，解得，所以的面积为.故答案为：.14.设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出的图象，得到，，并解得，因为的两根为和，所以，，故，换元后求出取值范围.【详解】画出函数的图象，如下图：因为关于x的方程恰有3个不同的实数根()，则，，，所以或（舍去），又，即的两根为和，所以，，，，，令，则，因为，所以，即，，当时，取得最小值，最小值为，又或3时，，所以．故答案为：【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，，，且与的夹角为．（1）求和的值；（2）若与垂直，求λ的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积定义求出，再利用向量数量积的运算律计算；（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得.【小问1详解】∵，，且与的夹角为，∴,故；【小问2详解】∵与垂直，∴，即，解得：．16.某市教育局组织全市150名校园安全员参加校园安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按50,60，60,70，，80,90，90,100分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）试估计这150名安全员竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）教育局拟对竞赛得分不低于85分的安全员进行表彰，试估计本次竞赛受表彰的安全员有多少位；（3）该教育局准备对本次安全知识竞赛成绩较差的15%的安全员开展校园安全知识讲座，则需要参加讲座的安全员的分数不超过多少分(结果四舍五入成整数).【答案】（1）79.4（2）54（3）66【解析】【分析】（1）应用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据频率分布直方图计算不低于85分的概率乘以150计算；（3）根据频率分布直方图应用概率得即可求出分数.【小问1详解】，所以估计这150名安全员竞赛成绩平均分为79.4．【小问2详解】因为这150位安全员得分不低于85分的频率为：，，所以估计本次竞赛受表彰的安全员有54位．【小问3详解】由频率分布直方图可得，第一组的频率为，前两组的频率之和为．设需要参加讲座的居民的分数不超过x，则．．故需要参加讲座的居民的分数不超过66分．17.已知一不透明袋子中有5个大小质地完全相同的围棋子，其中2个白棋子、3个黑棋子，从中不放回地依次随机摸出2个棋子，求下列事件的概率：（1）“第一次摸到的是白棋子”；（2）“两次摸到的都是白棋子”；（3）“两次摸到的棋子颜色不一样”．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解；（2）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解；（3）利用对立事件概率公式，即可求解.【小问1详解】将两个白棋子编号为1,2，三个黑棋子编号为3,4,5，两次摸球的样本点用编号表示如下：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(2,5)(3,1)、(3,2)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)第一次摸到的是白棋子的样本点有8种，即(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)，(2,1)、(2,3)、(2,4)、(2,5)所以【小问2详解】两次摸到的都是白棋子的样本点有2种，即(1,2)、(2,1)，所以；【小问3详解】两次摸到的棋子颜色不一样的样本点有(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)、(41,)、(4,2)，(5,1)，(5,2)，所以.18.已知的内角的对边分别为．（1）若，求的取值范围；（2）若，设的中点为，若，求周长的值；（3）若，，且为锐角三角形，求周长的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边角转化得到，再利用余弦定理及重要不等式，得到，即可求解；（2）利用余弦定理及向量的中线公式得到，，即可求解；（3）利用正弦定理得到，，从而得到，再利用的范围，即可求解.【小问1详解】因为，所以，，因为即，当且仅当时，等号成立，又因为，所以.【小问2详解】因为，由余弦定理得：，又，所以①，又的中点为，所以，得到，即②，由①②得，，所以，得到，所以周长等于.【小问3详解】因为，，由正弦定理，且,得到，所以，，所以，又为锐角三角形，所以有，得到，所以，又由，解得，所以，所以，故的周长的取值范围为．19.如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）法一：利用线面平行的判断定理，构造中位线，即可证明；法二：构造面面平行，即可证明线面平行；（2）由几何关系，证明，，即可证明线面垂直；（3）根据（2）的结果，再作，即可证明平面，同时构造二面角的平面角，即可求解余弦值.【小问1详解】法一：在矩形中，连接，交于点，则易知四边形为矩形，所以与互相平分，即点为中点，又因为点为中点，所以在三棱锥中，，平面，平面，所以平面法二：取线段的中点，连接、，翻折前，在矩形中，