高中物理竞赛及自主招生考试机械能

高中物理竞赛机械能专题

一、复习基础知识点

一、考点内容

1.功，功率；动能，动能定理

2.重力势能，重力做功与重力势能改变的关系；弹性势能

3.功和能，动能与势能的相互转化

4.机械能守恒定律及简单应用

二、知识结构

1故功的两个必要因素

功某一恒力做功的公式

、合力做功的求解：定义式；动能定理

"物理意义

基本概念功率平均功率的计算：P=—=FV

t

机械能、瞬时功率的计算:P=/Vsin。

动能

重力势能：表达式；重力做功与重力势能改变的关系

势能

弹性势能

动能定理：2

W=^-mv2-mv^=AEK

基本规律

〔机械能守恒定律：内容条件；公式

三、复习思路

功和能是两个重要的概念，它们在力学乃至整个物理学中都占有重要地

位。逐步加深理解功和能的概念，以及功和能的关系，是学习本单元的基本

线索，结合具体问题逐步理解这一线索，将有助于今后从能量的观点学习其

他部分的知识。这一单元可视为牛顿力学的进一步展开，通过引入功和能的

概念，在牛顿运动定律的基础上，得出有关能的规律，特别是机械能守恒定

律，使人们对自然的认识更加深入，并为解决力学问题开辟了新的途径。但

同学们往往习惯于运用牛顿运动定律和运动学知识，以为这样具体可信，而

不习惯于用能量的观点和守恒的观点来分析。因此通过学习本单元知识要学

会从功和能的途径来探究机械运动的规律，丰富、扩充解决机械运动的方法。

在运用动能定理、机械能守恒定律等规律时，首先要掌握定律成立的条件，

定律所反映的物理内容及对应的物理过程，只有这样才能熟练地正确地使用

这些定律解决有关问题。

四、配套训练（单项选择题）

1.一物体作变速运动时，以下说法中正确的是：

A、物体所受合外力一定不为零B、合外力一定对物体做功，物体动能

一定改变

C、物体可能处于（共点力的）平衡状态

D、合外力可能对物体不做功,但物体动能一定改变

2.物体受到两个互相垂直的作用力而运动，已知力G做功12J,物体克

服力B做功16J,则力片、工的合力对物体做功为：A、28JB、20JC、

4JD、-4J

如图所示，质量为机的小球用长L的细线悬挂而静止在竖

直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力R将小球拉到细

线与竖直方向成夕角的位置。在此过程中，用如下两种方式来

拉，拉力R做的功是：

3.用R缓慢地拉时

A、FLcosAB、F£sin6»

C、fz（l-cos^）D、mgL（l-cos3）

4.R为恒力时：

A、FLcos。B、FLsin。

C、EL（l-cos6＞）D、mgL（l-cos0）

5.（2002年全国高考理综）质点所受的力F随时

间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。

已知t=0时质点的速度为零。在图示tl、t2、t3和t4

各时刻中，哪一时刻质点的动能最大：

A、tlB、t2C、t3D、t4

6.质量为加的物体，从地面上方高〃处无初速度释放，不计空气阻力,

落在地面后，出现一个深度为//的坑。在此过程中的有关描述不正确的是:

A、重力对物体做功为mgHB、物体重力势能减少了7咫（"+〃）

C、外力对物体做的总功为零D、地面对物体的平均阻力为mg("+〃)/〃

7.跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法正

确的是：

A、空气阻力做正功B、重力势能增加

C、动能减少D、空气阻力做负功

8.跳高运动在如右图所示的四种过杆姿势中，重心最能接近甚至低于横杆的

是:

9.一质量分布均匀的不可伸长的绳索重为G,A、B两i---------

在水平天花板上，如图所示，今在绳的最低点C施加一竖直庐

力F将缓慢绳绷直，在此过程中：

A、力F对绳索做负功B、绳索的重心降低IF

C、绳索的重力势能减少D、绳索的机械能增加

10.(2005年广州一摸大综合)面临石油资源枯竭、石油价格高企的大环

境，氢作为一种清洁能源，正日益受到重视.一种设想是利用太阳能使水分

解得到氢气，然后以氢代替汽油作为汽车能源，许多汽车厂商正努力研究生

产21世纪的“环保”新型汽车.某公司设计了一种汽车，质量为6000kg,最

大输出功率为60kW,在水平公路上行驶时阻力是车重的0.05倍(g取10m/

s2).

(1)设此汽车发动机的效率为30%,以最大输出功率行驶1.5X10%,需要

多少千克的氢气作为燃料？已知单位质量的氢气完全燃烧放热q=241.8kJ/

mol(结果保留一位小数)

(2)若汽车在水平公路上以a=0.5m/s?的加速度从静止启动，最多可以匀加速

运动多长时间?这段时间内最大行驶速度可达到多少？

11.一把质量为机的剁骨刀，刀刃呈楔形，夹角约为29,刀刃尖端的

厚度大约d,某人用此刀要将防于案板上的骨头剁开，先将刀举起s,然后

用力向下剁去，刀在下落过程中，此人作用于刀的平均力约为P，不计空气

阻力。用有关符号表示以下待求量：

(1)、刀在下落过程中，假设作匀加速下降，设刀的加速度大小为a,

则刀下落的时间为o

(2)、刀在碰到骨头时的速度大小为；人对刀做功

为。

(3)、若刀从接触骨头到将骨头剁开所需的时间为〜则刀受到骨头的平

均作用力0(设该过程为匀变速直线运动)

(4)、在刀剁开骨头时，刀刃的侧面对骨头产生的作用力为0

(5)、与刀刃接触处的骨头宽约为I,则刀刃产生的压强为0

12.铁路提速，要解决许多技术问题。通常，列车阻力与速度平方成正

比，即£=&2,k为阻力系数为定值。列车要跑得快，须用大功率的机车来牵

引。若列车以72km/h的速度匀速行驶时，机车的输出功率为2.4X106W,现

将列车提速到108km/h匀速行驶，则机动车功率要增加瓦？

二、从高考(X科)到初赛要求知识要点分析

(一)关于功的概念

当物体在力的作用下，沿力的方向移动了一段位移时，我们就说该力对物

体做了功。其定义式是"=Fscosa

功是力在空间的积累效应。因此，功是指力做功。应用时应该把力对物体做

功与物体对物体做功区分开。例如:正在沿平良轨道

匀速行驶的车厢内，一个入用力F推车厢，如图所示。

若问当车厢发生位移S的过程中，力F是否对车厢做

了功？

这本是一个不太复杂的问题，但仍有人会说力F

对车厢没有做功.原因就是混淆了力做功与人做功。

从功的定义看，力尸作用在车厢上，其作用点发生了位移

5,且位移的方向与力F的方向相同（夹角为0°）.那么，力F对

车厢做功Wh^Fs.

但是，车厢里的人对车厢的作用力不只是力尸一个，同时

还有竖直向下的压力N，水平向左的静摩擦力/.其中除r力F

对车厢做正功外，弹力N与位移s方向垂直，而不做功；而摩擦

力/则对车厢做负功卬/=一6，因此，此人对车厢做功为

W=-+W/+WN=（尸一八

又因为「'=/（从人受力平衡可得出）.则印=0.

从公式W=Fscosa还应看出，这一定义式只适用于恒力做

功的情况.即要求力F是大小和方向都不变化的恒力・

这一点可用一个有趣的“驴拉磨”问题来说明•若问拉磨转

一周，对磨做功多少?有人会说:为零;若改问转半圈做功多少?

再转半圈又做功多少？不用【可答，就已经看由前面回答为岑是错

误的.其错误原因，就是没有注意到驴拉磨的力因方向不断变

化，而不是恒力，即使力的大小不变，也是变力.不能套用只适用

广恒力做功的公式：卬=Fscosa.

按功的定义，布些变力功也可以用初等数学的方法来if•算•

设上述驴拉磨的力为八做半径为R的匀速圆周运动・若

把整个圆周分割成许多足够小的小段，对于足够小的圆弧，其弧

长与对应的弦长值几乎相等.所以对应每小段弧长Av,.,力厂做

功可用W,=44,来计算.积累起来就是

W=产&）+F&2+尸+…

转1周，则W=F2nR

弹簧的弹力做功问题也是变力的实例•

例一个倔强系数为K的轻质弹簧，一端固定，另一端连

接一个物体，放在光滑水平面上，。点为其平衡位置，如图

所示.现拉物体使弹簧伸长1后，由

峥止释放物体，待物体返回平衡位4r-i

国的过程中，计算这一过程弹簧弹(吠//尸

力对物体所做的功.°

苜先应认识到在物体返回o国…

点的过程中，弹簧对物体的弹力是不断变化的.不能简单地套用

W=〃scosa来计算弹力所做的功.但是，却可采用卜面两种方

法来计算功的大小.

方法一由「弹簧对物体所施的力的大小，遵循胡克定律.

即跟弹簧的形变量成正比.

F=kx

所以，在物体返回平衡位置的过程

中，弹力随力的减小成线性变化,

所以可用其平均力

0H1工2

『=(乩r+0)/2

来计算.于是有图4-3

W—F.z--^kjcz

方法二若把W^Fscosa)|]

图4-3所示的图线来表示，图中

八一与等于物体在力的方向发生

的位移大小S,即5=(12—6)♦则

发生位移5,力F所做的功可用图

线所围的面积大小来计算：

依照胡克定律丘，力夕随图4-4

从。点作为起点的位移大小的变化图线，如图4-4所示.不难看

出，力歹对物体所做的功，也可以用图线所围的面积大小来表

示：即：W=-kx2

2

关于功的概念，一对作用力和反作用力的功的理解。

物体间的作用力和反作用力，遵循牛顿第三定律，它们大小相等、方向相反。

那么，一对作用力和反作用力若各自对对方的物体做功，它们之间有什么确定

的关系吗?是否也是大小相等,而且是一正一负呢?请看下面几个实际的例子：

例：如图所示，长木板置于光滑水平面上，-一个质量为用的物体以水平速度进

入木板的上表面。进入后，物体受与其运动方向相反

--V.

的摩擦力f,木板受物体给的摩擦力/1(=-7)而开小巧|

始做匀加速运动。但是只要物体的速度大于木板的

速度,物体与木板之间就会发生相对运动，以上过程就会继续下去，直到它们的

速度相同为止。这过程中物体对木板的摩擦力做正功，而木板对物体的摩擦力

对物体做负功。而且这两个功的大小也不相等。

(-)机车起动的两种过程

(1)一恒定的功率起动

机车以恒定的功率起动后，若运动过程所受阻力f不变，由于牵引力F=P/v随

v增大,F减小.根据牛顿第二定律a=(F-f)/m=P/mv-f/m,当速度v增大时,加速

度a减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动。直至F=F'时,a减小至零,

此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度

是

v尸P/f,下面是这个动态过程的简单方框图

变加速直线运动匀速直线运动

这一过程的v-t关系如图所示

(2)车以恒定的加速度起动

由a=(F-f)/m知，当加速度a不变时，发动机牵引力F恒定，再由P=F»v知,F—

定，发动机实际输出功P随v的增大而增大，但当增大到额定功率以后不再增

大，此后，发动机保持额定功率不变，继续增大，牵引力减小，直至F=f时,a=0，车速

达到最大值Vm=P额/f,此后匀速运动

在P增至P额之前，车匀加速运动,其持续时间为

to=vo/a=P额/F,a=P额/(ma+F')a

(这个VO必定小于Vm,它是车的功率增至P额之时的瞬时速度)计算时，先计算出

F,FF=ma，再求出v=P额/F,最后根据v=at求t

在P增至P额之后，为加速度减小的加速运动，直至达到Vm.下面是这个动态过程

的方框图.

匀加速直线运动变加速直线运动

一点在计算题目中极易出错。

实际上，飞机，轮船，火车等交通工具的最大行驶速度受到自身发动机额定功率

P和运动阻力f两个因素的共同制约，其中运动阻力既包括摩擦阻力，也包括空

气阻力，而且阻力会随着运动速度的增大而增大.因此，要提高各种交通工具的

最大行驶速度，除想办法提高发动机的额定功率外,还要想办法减小运动阻力,

汽车等交通工具外型的流线型设计不仅为了美观，更是出于减小运动阻力的考

虑.

［例］一汽车的额定功率为Po=lOOKW,质量为m=10X103,设阻力恒为车重的

0.4倍，取

1、若汽车以额定功率起①所达到的最大速度Vm②当速度v=lm/s时，汽车加速

度为少?③加速度a=5m/s2时，汽车速度为多少?gEOm*

2、若汽车以的加速度a=0.5m/s2起动，求其匀加速运动的最长时间？

［思路分析］1.①汽车以额定功率起动，达到最大速度时，阻力与牵引力相等，依题,

所以vm=Po/F=PO/f=Po/0.1mg=10m/s

②汽车速度Vi=lm/s时,汽车牵引力为Fi

Fi=Po/vi==lX105N

汽车加速度为ai

ai=(Fi-O.lmg)/m=90m/s2

2

③汽车加速度a2=5m/s时，汽车牵引力为F2

F2-O.Img=ma2F2=6X104N

汽车速度V2=Po/F2=1.67m/s

2、汽车匀加速起动时的牵引力为：

F=ma+f=ma+O.lmg=(10X103X0.5+10X103X10)N=1.5X104N

达到额定功率时的速度为:％=P额/F=6.7m/s

%即为匀加速运动的末速度，故做匀加速运动的最长时间

为:t=vt/a=6.7/0.5=13.3s

［总结］⑴机车起动过程中，发动机的功率指牵引力的功率，发动机的额定功

率指的是该机器正常工作时的最大输出功率，实际输出功率可在零和额定值之

间取值.所以，汽车做匀加速运动的时间是受额定功率限制的.

⑵飞机、轮船、汽车等交通工具匀速行驶的最大速度受额定功率的限制，所以

要提高最大速度,必须提高发动机的额定功率，这就是高速火车和汽车需要大

功率发动机的原因.此外，要尽可能减小阻力.

⑶本题涉及两个最大速度:一个是以恒定功率起动的最大速度V1,另一个是匀

加速运动的最大速度V2,事实上，汽车以匀加速起动的过程中，在匀加速运动后

还可以做加速度减小的运动，由此可知,V2>V1

［变式训练］汽车发动机的额定功率为60kw,汽车质量为5t,运动中所受阻力的

大小恒为车重的0.1倍.

(1)若汽车以恒定功率启动，汽车所能达到的最大速度是多少?当汽车以5m/s

时的加速度多大？

(2)若汽车以恒定加速度0.5m/s2启动，则这一过程能维持多长时间?这一过

程中发动机的牵引力做功多少？

［答案］(l)12m/s,1.4m/s2(2)16s,4.8X105J

（三）势能

1.由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量叫做势能.如重力势

能、弹性势能、分子势能、电势能等.

2.重力势能

（1）物体由于受到重力作用而具有重力势能.一个质量为力的物体，被举高

到高度为力处，具有的重力势能为：E°=mgh.

（2）重力势能是相对的，重力势能表达式中的人是物体的重心到参考平面（零

重力势能面）的高度.若物体在参考平面以上，则重力势能为正；若物体在参

考平面以下，则重力势能为负值.通常选择地面作为零重力势能面.

我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量.重力

势能的变化量与零重力势能面的选取无关.

（3）重力势能的变化与重力做功的关系：

重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少.重力对物体做多少负

功，物体的重力势能就增加多少.即%=—△即

3.弹性势能：物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能.

同样,可以得到靠弹簧一类弹力作用的物体间，其有弹性势能：E=-k^

p2

4.引力势能：系统内万有引力做功也与路径无关。习惯规定质量为旭和M

的可视为质点的物体间相距无穷远时,即势能最大时的势能为零。利用高等数

字的方法,可以得出其势能表达式为：Ep=-^

r

①对于半径为R的均匀球体（质量为M）和距球心为r的质点（质量为m）

构成的系统，因为此时系统的万有引力与球体质量集中于球心时系统的万有

引力相同，故系统的引力势能为：与剪％（r叁R）

r

②对于半径为R的均匀球壳（质量为M）和距球心为r的质点（质量为加）

构成的系统，因为在质点处于球壳内部时，球壳对球壳内质点的万有引力等

于零，引力不做功，故系统的引力势能为：Ep=-9丝丝（r叁R）

GMm

Ep二.(r<R)

R

（四）机械能守恒定律

1.动能和势能（重力势能和弹性势能）统称为机械能:E=Ek+Ep.

2.在只有重力（和系统内弹簧的弹力）做功的情形下,物体的动能和重力势

能（及弹性势能）发生相互转化,但机械能的总量保持不变.这个结论叫做机

械能守恒定律.

3.判断机械能守恒的方法一般有两种：

（1）对某一物体，若只有重力（或系统内弹簧的弹力）做功，其他力不做功

（或其他力做功的代数和为零），则该物体的机械能守恒.

（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外

界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能产

生），则系统的机械能守恒.

4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤：

（1）根据题意，选取研究对象（物体或系统）.

（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做

功情况，判断是否符合机械能守恒的条件.

（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的起始状态和末了状态的机

械能（包括动能和重力势能）.

（4）根据机械能守恒定律列方程，进行求解.

功能关系的总结

做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度.在本章中，功和

能的关系有以下几种具体体现：

(1)动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程,

是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功是物体动能变

化的量度，

即/=耳「心「

(2)重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重

力做的功量度了重力势能的变化，即暗与一”「

(3)重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能转化的过程，重

力以外的力做的功量度了机械能的变化，即吸外=后一瓦

(4)作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积，在

数值上等于系统内能的增量.即“摩擦生热”：相对，所以，尸滑相对量

度了机械能转化为内能的多少.

可见，静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生.

提高题

1.三峡工程是一座具有防洪、发电、航运以及养殖和供水巨大综合利用

效益的特大型水利水电工程。其主要数据如图所示。

项目对应指项目对应指

该指标的实

项目项目对应的指标标的表示符标采用的单

际数据

号位

坝高Hm185

大坝坝长Lm2335

最大蓄水位hm175

总库容量Vim33.93OxlO10

水库防洪库容量310

V2m2.215xlO

平均年流量311

v3m4.510X10

总装机数Ni台26

总装机数容量p1.82OxlO10

电站w

年平均发电量wj3.048xl017

注意：大坝蓄水采用自动控制装置，即大坝下边开闸门放水的瞬间上边开

始注水，从而几乎始终保持最大蓄水位。设水的密度为0=1.000X1（）34g/?〃3；

1度电=1KW.h=3.600xl06j；g=9.8根/S2；请根据表中的有关信息完成下

列三题：

（1）、年平均消耗水能E=（用表中有关符号及「表示）；=

）（保留四位有效数字）。

（2）、年转化为电能的百分比为%（保留四位有效数字）。

（3）、年发电时间约为天（保留四位有效数字）。

2.如图所示，一个物体的质量为m自A点从静止开始沿槽4

滑到B点后，离开支持面飞出。若在A至B的过程中8

械能损失为E,物体在B点飞出的水平分速度为V,则、/

物体飞出后到达的最高点与A的高度差为。1/

3.如图所示，一块均匀的正方形板的边长为。重为G,可绕通过.

/_______JO

B

。点的水平轴转动，从A。呈水平位置开始将板释放，摆动

一定时间后最后静止，3点在。点的正下方，在这个过程中，

方块板损失的机械能为

4.人从一定的高度落地容易造成骨折。一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5

XlO^N/n?,胫骨最小横截面积大多为3.2cm2。假若一质量为50kg的人

从某一高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降1cm。试计算一下这

个高度超过多少时，就会导致胫骨骨折。(gMX10m/s2)

5.某地区的平均风速为6.0m/s,已知空气的密度为L2kg/m3,此地有一风车,

它的车叶转动时可形成半径为20m的圆面，假如这具风车能将圆内10%

的气流的动能转化为电能。求：(1)平均每秒钟有多少体积的气流冲击

风车车叶形成圆面？

(2)这些气流动能为多少？

(3)这台风车发电功率P为多少？

6、质量为4.0千克的物体A静止在水平桌面上，另一个质量为2.0千克的物

体B以5.0米/秒的水平速度与物体A相撞,碰撞后物体B以1.0米/秒的速度

反向弹回、相撞过程中损失的机械能是—焦

7、在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体，作用一段

时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力

甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32焦，则在整个

过程中，恒力甲做的功等于焦，恒力乙做的功等于焦。

8、（30分）如图所示.一根长为L的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b,

它们的质量分别为ma和mb.杆可绕距a球为1/4L处的水平定轴。在竖直平

面内转动.初始时杆处于竖直位置，小球b几乎接触桌面.在杆的右边水平桌

面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块。图中ABCD为过立

方体中心且与细杆共面的截面.现用一水平恒力F作用于a球上.使之绕。

轴逆时针转动，求当a转过a角时小球b速度的大小.设在此过程中立方体

物块没有发生转动，且小球6与立方体物块始终接触没有分离.不计一切摩

擦.

（第二十二届全国中学生物理竞赛预赛试题）

9、（25分）如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH'调节其与水平

面所成的倾角.板上一根长为/=1.00m的轻细绳，它的一端系住一质量为m

的小球P,另一端固定在HH'轴上的O点.当平板的倾角固定在a时，

先将轻绳沿水平轴HH'拉直（绳与HH'重合），然后给小球一沿着平板并

与轻绳垂直的初速度vo=5.Om/s.若小球能保持在板面内作圆周运动，问倾

角a的值应在什么范围内（取图中a处箭头所示方向为a的正方向）.取重

力加速度g=10m/s2.（第二十四届全国中学生物理竞赛预赛试题）

机械能答案

一、基础题:

123456789

ADDBBADDD

10.(1)要消耗24.8kg氢气.⑵20s；10m/5

11.(1),J—(2)>V2^?;Fs

Va

⑶mY2asmY2asmY2as

⑶、(4)、——(3)、~

t2cost/lat

12.5.7X10%

二、提高题:

1.pghNi7.735xlO1739.41193.9

2.解析：物体由A滑到B的过程中，损失的机械能为克服阻力所做的功，

即叼=E。而物体从B点飞出后,它达到最高点时只有水平速度，此时

动能为EK=-mv2；

2

设高度差为心全过程应用动能定理

12

mgh-Wf=Ekmgh-E=—mvh—v~/2g+E/mg

3.Ga(V2-l)/2

4.解析：由题胫骨最小处所受冲击力超过

F=，S=1.5X1()8X2X3.2X10TN=9.6X104N时会造成骨折。

设下落地安全高度为％,触地时重心又下降高度为h2,落地者质量为m,

落地速度为V,与地碰撞时间为。，由动能定理mg(hi+h2)-Fh2=0所以

h1=—A2-/z2

mg

qio4

代入数据得hi=------x0.01m-0.01m=\.9\m

50x10

5.解析：(1)取底面积与车叶转动圆面积相等的圆柱体，取圆柱体的长度为

vxl,则圆柱体内的气体即为每秒钟冲击车叶的气流体积

V=^r2xyxl=^-x202x6xl=7.54x103(m3)

⑵这些气流的动能为/=1pVv2=|xl,2x7.54xl03x62=1.63X105(J)

⑶这些气流的动能有10%转化为电能，单位时间内产生的电能即为发电的

功率P=Ek义10%=1.63x104W.

6、6

7、8,24

8、如图所示，用％表示a转过a角时b

球速度的大小，。表示此时立方体速度的

大小，则有

vbcosa=v(1)

由于b与正立方体的接触是光滑的，

相互作用力总是沿水平方向，而且两者在

水平方向的位移相同，因此相互作用的作

用力和反作用力做功大小相同，符号相反,

做功的总和为0.因此在整个过程中推力

/所做的功应等于球a、人和正立方体机械能的增量.现用%表示此时。球速

度的大小，因为a、6角速度相同，Oa=-l,Ob=-l,所以得

44

%=：%⑵

根据功能原理可知

42(44J2(44)2

(3)

将(1)、(2)式代入可得

2

II112

F--sma^-ma-mn2\-------cosa

42"(4422

9l[Fsina+\m-3叫)g(l—cosa)]

解得a(4)

%=2

2ma+18%+18mcosa

9、

当光滑平板与水平面的做角为。时,无论小球P处在斜面上什么位置.它受的重力在制而上的

投影总是*1［于〃川,大小总是等于psina.以他作为重力的一个分力,财重力的另一个分力即孽

直于斜面的分力“sea总是与斜面对小球P的支持力平做.这样.小MP在斜倚内只受上述重力

的分量pan。和制绳拉力的作用.

当小球P运动到第周的・高点时,缰怪垂立于而,”的拉力与小理所受重力的分量Npina

沿M—血纹.这时只要细嵬不松也.小单就能保持怦面内作照明运动•设小球到达■周或育点时

的速度为。,绳的拉力为7.有r

°的速度为明绳的技力为兀有6。1

⑴

由能量关系.杳

(2)

由⑴<2)式得

(3)

细绳不松弛的条件是

(4)

O由(3)、(4)式得

⑸

代人有关数据,得

(6)

当倾角a<0时,经相同的分析可得

a»一«rcsin(卷)⑺

由(6)、(7)网式,可知a的取值范图为

⑻

评分标准：本题25分.

动力学考试

1、长为2L的轻杆竖直地立在光滑地面上，杆上固

定着两个质量均为m的小球A和B,A与B、B与

地面的距离均为L。现给它们一个轻微的扰动，使杆

沿顺时针方向倒下。不计一切阻力，并设杆与地面始终

保持接触，试求A球运动的轨迹方程。

777777777T7777777777

2、一辆邮车以u=10m/s的速度沿平直公路匀速行驶，在离公路d=5.0m

处有一邮递员，当他与邮车的连线和公路的夹角a=arctg：时沿直线匀速奔

跑。试问：(1)如果他的速度大小v=5.0m/s,他应朝什么方向跑，才能与

邮车相遇？(2)如果速度v大

小不限定，他可以选择的v的最T

小值是多少？匕

3、在竖直平面内建立图示直角坐标，在坐标系中有光滑的抛物线轨道，

轨道对应方程y=Ax2。轨道的顶点O处有一小球，受轻微扰动后无初速沿

轨道右方滑下。试问：小球是否会中途脱离轨

道？_x

4、与水平面成a角的钢丝两端固定，其上套有一质量为mi的小环，小环

借助一根轻绳与质量为m2的小球相连。不计一切摩擦，试问：（1）当环和球

的系统从铅直位置开始释放时，绳子的内张力多大？（2）绳子与铅直方向成

多大角度开始释放时，可以确保系统滑

动时不会发生摆动？

5、质量为m、倾角分别为a和p的双斜面体放在水平面上，另有质量分

别为mi和m2的滑块通过轻滑轮跨过双斜面（两边的绳子和斜面平行）。不计

一切摩擦，静止释放整个系统，试求型斜面体的加速度。

《动力学考试》提示与答案

I、提示：整体质心无水平位移。建右图所示的坐标，并引入参数0,然

后消去即可。

27

答案：f+二、=1,轨迹为椭圆。

Av(2L)2

2、提示——

(1)对图示的灰色三角形用正弦定理，有

ut_vt

sinpsina

得0二arcsina叵__

17一__a____—,______x________I___________________

(2)以p为未知，看v(°)……'?、、缶

函数吧

sinp

显然Vmin=usina

答案：(1)与公路夹角0=arctgl+arcsinH歹(约14.0°+29.0°=

417

43.0°)；(2)2.43m/s。

3、提示

在小球未脱离轨道时，设一个一般的末态

P：其坐标为(x,y)、对应该点的轨迹切线

倾角为e,如右图。

则p点的速率用能量关系可求

V=72gy=V2gAx

但抛物线在P点得切线斜率为k=tgO=

2Ax

考查Vx=vcos。=-2gA,可见，随x的

rA2v

增加，Vx单调增加，而Vx的增加必以轨道支持力(水平分量)存在为前提。

答案：否。

评说：此题较偏，且作为动力学考试题，只考查了运动学知识。

4、提示

(1)在该瞬时，球体m2的加速度a2方向只会竖直向下。

ni]gsina+Tsina=

环和球的隔曷方程、加速度约束方程为＜m2g-T=m2a2,解出张力T

a2=a】sina

即可。

（2）毋须列隔离方程。“不摆动”意味着mi和m2有共同加速度a,由

它们的整体方程得a=gsina,再看m2时，亍必须垂直5的方向。

答案：（1）mdgcos%；（2）0。

ni]+m2sina

5、提不

此题的关键在于

加速度矢量分析，这

里只是思路提示），相

关结论：

ain=asina

a2n=asinp

aii-acosa=a2x-acosp

列mi和m2之n向、T向方程后可解得:

Ni=mi(gcosa-asina)

N2=m2(gcosp+asinp)

T=血10(g(sina+sin。)+a(cosa-cosB))

mi+m2

最后列m之隔离方程Nisina+Tcosp-Tcosa—N2sinP=ma即可解

出a(但化简工作至为艰苦，要有充分耐心…)

里安.(ni]sina-m2sinP)(ni]cosa+m2cosp)

2

(m(+m2)(m+nil+m2)-gcosa+m2cosp)

全国物理竞赛预赛模拟试题

说明：本试卷分I卷(选择题)和II卷(非选择题)两部分，共150分，考

试时间120分钟.

第I卷(选择题共40分)

一、本题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的4个

选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对

的得4分，选不全的得2分，有错选或不答的得0分.

1.如图1-2所示，甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动，乙上连

有一段轻弹簧，甲乙相互作用过程中无机械能损失，下

列说法正确的有——

A.若甲的初速度比乙大，则甲的速度后减到0厨

B.若甲的初动量比乙大，则甲的速度后减到0■〃〃加力

C.若甲的初动能比乙大，则甲的速度后减到0

D.若甲的质量比乙大，则甲的速度后减到0

2.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗，让漏斗左、右摆动，于

是桌面上漏下许多砂子，经过一段时间形成一砂堆，砂堆的纵剖面最接近下

图1-1中的哪一种形状

3.特技演员从高处跳下，要求落地时必须脚先着地，为尽量保证安全，他

落地时最好是采用哪种方法

A.让脚尖先着地，且着地瞬间同时下蹲B.让整个脚板着地，且着地瞬间

同时下蹲

C.让整个脚板着地，且着地瞬间不下蹲D.让脚跟先着地，且着地瞬间同

时下蹲

4.动物园的水平地面上放着一只质量为M的笼子，

笼内有一只质量为m的猴子.当猴以某一加速度沿竖直||||门

柱子加速向上爬时，笼子对地面的压力为B；当猴以同

样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时，笼子对地面的出

压力为F2(如图1-3),关于Fi和F2的大小，下列判叫

断中正确的是||||||

A,F]=F2>(M+m)g

B.Fi>(M+ni)g,F2〈(M+m)g

C.Fi>F2>(M+m)g

D.Fi<(M+m)g,尸2>(M+rri)g

5.下列说法中正确的是

A.布朗运动与分子的运动无关

B.分子力做正功时，分子间距离一定减小

C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象

D.通过热传递可以使热转变为功

6.如图1-4所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之

间的电势差相等，即Uab=Ubc,实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过

该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知

A.三个等势面中，。的电势最高

B.带电质点通过P点时电势能较大

C.带电质点通过尸点时的动能较大

D.带电质点通过尸点时的加速度较大

7.如图I-5所示，L为电阻很小的线圈，Gi和G为内门三

阻不计、零点在表盘中央的电流计.当开关K处于闭合状态一

时，两表的指针皆偏向右方，那么，当K断开时，将出现⑥

A.G1和G2的指针都立即回到零点3

B.Gi的指针立即回到零点，而G的指针缓慢地回到

零占

C.Gi的指针缓慢地回到零点，而G2的指针先立即偏向左方，图1.5慢

地回到零点

D.Gi的指针先立即偏向左方，然后缓慢地回到零点，而G2的指针缓慢

地回到零点

8.普通磁带录音机是用一个磁头来录音和放音的，磁头结构示意如图I-6

(a)所示，在一个环形铁芯上绕一个线圈，铁芯有一个缝隙，工作时磁带就

贴着这个缝隙移动，录音时磁头线圈跟话筒、放大电路(亦称微音器)相连

(如图I-6(b)所示)；放音时，磁头线圈改为跟扬声器相连(如图I-6(c)

所示).磁带上涂有一层磁粉，磁粉能被磁化且留下剩磁.微音器的作用是把声

音的变化转化为电流的变化；扬声器的作用是把电流的变化转化为声音的变

化.由此可知①录音时线圈中的感应电流在磁带上产生变化的磁场，②放音时

线圈中的感应电流在磁带上产生变化的磁场，③录音时磁带上变化的磁场在

线圈中产生感应电流，④放音时磁带上变化的磁场在线圈中产生感应电流.以

上说法正确的是

图I-6

A.②③B.①④C.③④D.①②

9.下列说法中正确的是

A.水中的气泡有时看上去显得格外明亮，这是由于光从空气射向水时发

生了全反射的缘故

B.凸透镜成虚像时，物的移动方向与像的移动方向相反

C.当物体从两倍焦距以外沿主光轴向凹透镜靠近时，物体与像之间的距

离不断变小，而像则不断变大

D.红光和紫光在同一种玻璃中传播时，红光的传播速度比紫光的大

10.经典波动理论认为光的能量是由光的强度决定的，而光的强度又是由

波的振幅决定的，跟频率无关，因此，面对光电效应，这种理论无法解释以

下哪种说法

A.入射光频率（极限频率）时，不论入射光多强，被照射的金属不

会逸出电子

B.光电子的最大初动能只与入射光频率有关，而与入射光强度无关

C.从光照射金属到金属逸出电子的时间一般不超过10-9s

D.当入射光频率v>v0时，光电流强度与入射光强度成正比

第II卷（非选择题共110分）

二、本题共3小题，每小题5分，共15分.

11.起重机以恒定功率从地面竖直提升一重物，经t时间物体开始以速度

v匀速运动，此时物体离地面高度h=.

12.如图图I-7所示，足够大的方格纸PQ水平放置，每个方格边长为I,

在其正下方水平放置一宽度为L的平面镜MN,在方格纸上有两小孔A和

B,AB宽度为d,d恰为某人两眼间的距离，此人通过A、B孔从平面镜里

观察方格纸，两孔的中点。和平面镜中的点01在同一竖直线上，则人眼

能看到方格纸的最大宽度是,人眼最多能看到同一直线上的方格数

是.

AB

3

卜卜

用o'X

77777177*

图I-7图I-8

13.如图I-8所示，固定于光滑绝缘水平面上的小球A带正电，质量为2

m,另一个质量为m,带负电的小球B以速度vo远离A运动时，同时释

放小球A,则小球A和3组成的系统在此后的运动过程中，其系统的电势

能的最大增量为.

三、本题共3小题，共20分，把答案填在题中的横线上或按题目要求

作图.

14.（6分）在"测定玻璃砖折射率"的实验中，已画3

好玻璃砖界面的两条直线aa'和bb',无意中将玻璃

b

砖平移到图I-9中的虚线所示位置.若其他操作正确，则测得的折射率将

（填“偏大”“偏小”或“不变”）.

15.（6分）在“研究电磁感应现象”实验中：

（1）首先要确定电流表指针偏转方向和电流方向间

的关系.实验中所用电流表量程为100〃A,电源电动势为

1.5V,待选的保护电阻有：=100kQ,&=lkQ,

&=10Q,应选用作为保护电阻.

（2）实验中已得出电流表指针向右偏转时，电流是

"+"接线柱流入的，那么在如图1-10所示的装置中，若

将条形磁铁S极朝下插入线圈中，则电流表的指针应向图I-10

16.（8分）一种供仪器使用的小型电池标称电压为9V,允许电池输出

的最大电流为50mA,为了测定这个电池的电动势和内电阻，可用如

下器材：电压表®内阻很大，R为电阻箱，阻值范围为0-99990；Ro为保

护电阻，有四个规格，即：

A.10Q,5WB.190Q,-WC.200Q,-WD.L