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文档简介
高中物理竞赛机械能专题
一、复习基础知识点
一、考点内容
1.功,功率;动能,动能定理
2.重力势能,重力做功与重力势能改变的关系;弹性势能
3.功和能,动能与势能的相互转化
4.机械能守恒定律及简单应用
二、知识结构
1故功的两个必要因素
功某一恒力做功的公式
、合力做功的求解:定义式;动能定理
"物理意义
基本概念功率平均功率的计算:P=—=FV
t
机械能、瞬时功率的计算:P=/Vsin。
动能
重力势能:表达式;重力做功与重力势能改变的关系
势能
弹性势能
动能定理:2
W=^-mv2-mv^=AEK
基本规律
〔机械能守恒定律:内容条件;公式
三、复习思路
功和能是两个重要的概念,它们在力学乃至整个物理学中都占有重要地
位。逐步加深理解功和能的概念,以及功和能的关系,是学习本单元的基本
线索,结合具体问题逐步理解这一线索,将有助于今后从能量的观点学习其
他部分的知识。这一单元可视为牛顿力学的进一步展开,通过引入功和能的
概念,在牛顿运动定律的基础上,得出有关能的规律,特别是机械能守恒定
律,使人们对自然的认识更加深入,并为解决力学问题开辟了新的途径。但
同学们往往习惯于运用牛顿运动定律和运动学知识,以为这样具体可信,而
不习惯于用能量的观点和守恒的观点来分析。因此通过学习本单元知识要学
会从功和能的途径来探究机械运动的规律,丰富、扩充解决机械运动的方法。
在运用动能定理、机械能守恒定律等规律时,首先要掌握定律成立的条件,
定律所反映的物理内容及对应的物理过程,只有这样才能熟练地正确地使用
这些定律解决有关问题。
四、配套训练(单项选择题)
1.一物体作变速运动时,以下说法中正确的是:
A、物体所受合外力一定不为零B、合外力一定对物体做功,物体动能
一定改变
C、物体可能处于(共点力的)平衡状态
D、合外力可能对物体不做功,但物体动能一定改变
2.物体受到两个互相垂直的作用力而运动,已知力G做功12J,物体克
服力B做功16J,则力片、工的合力对物体做功为:A、28JB、20JC、
4JD、-4J
如图所示,质量为机的小球用长L的细线悬挂而静止在竖
直位置。在下列三种情况下,分别用水平拉力R将小球拉到细
线与竖直方向成夕角的位置。在此过程中,用如下两种方式来
拉,拉力R做的功是:
3.用R缓慢地拉时
A、FLcosAB、F£sin6»
C、fz(l-cos^)D、mgL(l-cos3)
4.R为恒力时:
A、FLcos。B、FLsin。
C、EL(l-cos6>)D、mgL(l-cos0)
5.(2002年全国高考理综)质点所受的力F随时
间变化的规律如图所示,力的方向始终在一直线上。
已知t=0时质点的速度为零。在图示tl、t2、t3和t4
各时刻中,哪一时刻质点的动能最大:
A、tlB、t2C、t3D、t4
6.质量为加的物体,从地面上方高〃处无初速度释放,不计空气阻力,
落在地面后,出现一个深度为//的坑。在此过程中的有关描述不正确的是:
A、重力对物体做功为mgHB、物体重力势能减少了7咫("+〃)
C、外力对物体做的总功为零D、地面对物体的平均阻力为mg("+〃)/〃
7.跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内,下列说法正
确的是:
A、空气阻力做正功B、重力势能增加
C、动能减少D、空气阻力做负功
8.跳高运动在如右图所示的四种过杆姿势中,重心最能接近甚至低于横杆的
是:
9.一质量分布均匀的不可伸长的绳索重为G,A、B两i---------
在水平天花板上,如图所示,今在绳的最低点C施加一竖直庐
力F将缓慢绳绷直,在此过程中:
A、力F对绳索做负功B、绳索的重心降低IF
C、绳索的重力势能减少D、绳索的机械能增加
10.(2005年广州一摸大综合)面临石油资源枯竭、石油价格高企的大环
境,氢作为一种清洁能源,正日益受到重视.一种设想是利用太阳能使水分
解得到氢气,然后以氢代替汽油作为汽车能源,许多汽车厂商正努力研究生
产21世纪的“环保”新型汽车.某公司设计了一种汽车,质量为6000kg,最
大输出功率为60kW,在水平公路上行驶时阻力是车重的0.05倍(g取10m/
s2).
(1)设此汽车发动机的效率为30%,以最大输出功率行驶1.5X10%,需要
多少千克的氢气作为燃料?已知单位质量的氢气完全燃烧放热q=241.8kJ/
mol(结果保留一位小数)
(2)若汽车在水平公路上以a=0.5m/s?的加速度从静止启动,最多可以匀加速
运动多长时间?这段时间内最大行驶速度可达到多少?
11.一把质量为机的剁骨刀,刀刃呈楔形,夹角约为29,刀刃尖端的
厚度大约d,某人用此刀要将防于案板上的骨头剁开,先将刀举起s,然后
用力向下剁去,刀在下落过程中,此人作用于刀的平均力约为P,不计空气
阻力。用有关符号表示以下待求量:
(1)、刀在下落过程中,假设作匀加速下降,设刀的加速度大小为a,
则刀下落的时间为o
(2)、刀在碰到骨头时的速度大小为;人对刀做功
为。
(3)、若刀从接触骨头到将骨头剁开所需的时间为〜则刀受到骨头的平
均作用力0(设该过程为匀变速直线运动)
(4)、在刀剁开骨头时,刀刃的侧面对骨头产生的作用力为0
(5)、与刀刃接触处的骨头宽约为I,则刀刃产生的压强为0
12.铁路提速,要解决许多技术问题。通常,列车阻力与速度平方成正
比,即£=&2,k为阻力系数为定值。列车要跑得快,须用大功率的机车来牵
引。若列车以72km/h的速度匀速行驶时,机车的输出功率为2.4X106W,现
将列车提速到108km/h匀速行驶,则机动车功率要增加瓦?
二、从高考(X科)到初赛要求知识要点分析
(一)关于功的概念
当物体在力的作用下,沿力的方向移动了一段位移时,我们就说该力对物
体做了功。其定义式是"=Fscosa
功是力在空间的积累效应。因此,功是指力做功。应用时应该把力对物体做
功与物体对物体做功区分开。例如:正在沿平良轨道
匀速行驶的车厢内,一个入用力F推车厢,如图所示。
若问当车厢发生位移S的过程中,力F是否对车厢做
了功?
这本是一个不太复杂的问题,但仍有人会说力F
对车厢没有做功.原因就是混淆了力做功与人做功。
从功的定义看,力尸作用在车厢上,其作用点发生了位移
5,且位移的方向与力F的方向相同(夹角为0°).那么,力F对
车厢做功Wh^Fs.
但是,车厢里的人对车厢的作用力不只是力尸一个,同时
还有竖直向下的压力N,水平向左的静摩擦力/.其中除r力F
对车厢做正功外,弹力N与位移s方向垂直,而不做功;而摩擦
力/则对车厢做负功卬/=一6,因此,此人对车厢做功为
W=-+W/+WN=(尸一八
又因为「'=/(从人受力平衡可得出).则印=0.
从公式W=Fscosa还应看出,这一定义式只适用于恒力做
功的情况.即要求力F是大小和方向都不变化的恒力・
这一点可用一个有趣的“驴拉磨”问题来说明•若问拉磨转
一周,对磨做功多少?有人会说:为零;若改问转半圈做功多少?
再转半圈又做功多少?不用【可答,就已经看由前面回答为岑是错
误的.其错误原因,就是没有注意到驴拉磨的力因方向不断变
化,而不是恒力,即使力的大小不变,也是变力.不能套用只适用
广恒力做功的公式:卬=Fscosa.
按功的定义,布些变力功也可以用初等数学的方法来if•算•
设上述驴拉磨的力为八做半径为R的匀速圆周运动・若
把整个圆周分割成许多足够小的小段,对于足够小的圆弧,其弧
长与对应的弦长值几乎相等.所以对应每小段弧长Av,.,力厂做
功可用W,=44,来计算.积累起来就是
W=产&)+F&2+尸+…
转1周,则W=F2nR
弹簧的弹力做功问题也是变力的实例•
例一个倔强系数为K的轻质弹簧,一端固定,另一端连
接一个物体,放在光滑水平面上,。点为其平衡位置,如图
所示.现拉物体使弹簧伸长1后,由
峥止释放物体,待物体返回平衡位4r-i
国的过程中,计算这一过程弹簧弹(吠//尸
力对物体所做的功.°
苜先应认识到在物体返回o国…
点的过程中,弹簧对物体的弹力是不断变化的.不能简单地套用
W=〃scosa来计算弹力所做的功.但是,却可采用卜面两种方
法来计算功的大小.
方法一由「弹簧对物体所施的力的大小,遵循胡克定律.
即跟弹簧的形变量成正比.
F=kx
所以,在物体返回平衡位置的过程
中,弹力随力的减小成线性变化,
所以可用其平均力
0H1工2
『=(乩r+0)/2
来计算.于是有图4-3
W—F.z--^kjcz
方法二若把W^Fscosa)|]
图4-3所示的图线来表示,图中
八一与等于物体在力的方向发生
的位移大小S,即5=(12—6)♦则
发生位移5,力F所做的功可用图
线所围的面积大小来计算:
依照胡克定律丘,力夕随图4-4
从。点作为起点的位移大小的变化图线,如图4-4所示.不难看
出,力歹对物体所做的功,也可以用图线所围的面积大小来表
示:即:W=-kx2
2
关于功的概念,一对作用力和反作用力的功的理解。
物体间的作用力和反作用力,遵循牛顿第三定律,它们大小相等、方向相反。
那么,一对作用力和反作用力若各自对对方的物体做功,它们之间有什么确定
的关系吗?是否也是大小相等,而且是一正一负呢?请看下面几个实际的例子:
例:如图所示,长木板置于光滑水平面上,-一个质量为用的物体以水平速度进
入木板的上表面。进入后,物体受与其运动方向相反
--V.
的摩擦力f,木板受物体给的摩擦力/1(=-7)而开小巧|
始做匀加速运动。但是只要物体的速度大于木板的
速度,物体与木板之间就会发生相对运动,以上过程就会继续下去,直到它们的
速度相同为止。这过程中物体对木板的摩擦力做正功,而木板对物体的摩擦力
对物体做负功。而且这两个功的大小也不相等。
(-)机车起动的两种过程
(1)一恒定的功率起动
机车以恒定的功率起动后,若运动过程所受阻力f不变,由于牵引力F=P/v随
v增大,F减小.根据牛顿第二定律a=(F-f)/m=P/mv-f/m,当速度v增大时,加速
度a减小,其运动情况是做加速度减小的加速运动。直至F=F'时,a减小至零,
此后速度不再增大,速度达到最大值而做匀速运动,做匀速直线运动的速度
是
v尸P/f,下面是这个动态过程的简单方框图
变加速直线运动匀速直线运动
这一过程的v-t关系如图所示
(2)车以恒定的加速度起动
由a=(F-f)/m知,当加速度a不变时,发动机牵引力F恒定,再由P=F»v知,F—
定,发动机实际输出功P随v的增大而增大,但当增大到额定功率以后不再增
大,此后,发动机保持额定功率不变,继续增大,牵引力减小,直至F=f时,a=0,车速
达到最大值Vm=P额/f,此后匀速运动
在P增至P额之前,车匀加速运动,其持续时间为
to=vo/a=P额/F,a=P额/(ma+F')a
(这个VO必定小于Vm,它是车的功率增至P额之时的瞬时速度)计算时,先计算出
F,FF=ma,再求出v=P额/F,最后根据v=at求t
在P增至P额之后,为加速度减小的加速运动,直至达到Vm.下面是这个动态过程
的方框图.
匀加速直线运动变加速直线运动
一点在计算题目中极易出错。
实际上,飞机,轮船,火车等交通工具的最大行驶速度受到自身发动机额定功率
P和运动阻力f两个因素的共同制约,其中运动阻力既包括摩擦阻力,也包括空
气阻力,而且阻力会随着运动速度的增大而增大.因此,要提高各种交通工具的
最大行驶速度,除想办法提高发动机的额定功率外,还要想办法减小运动阻力,
汽车等交通工具外型的流线型设计不仅为了美观,更是出于减小运动阻力的考
虑.
[例]一汽车的额定功率为Po=lOOKW,质量为m=10X103,设阻力恒为车重的
0.4倍,取
1、若汽车以额定功率起①所达到的最大速度Vm②当速度v=lm/s时,汽车加速
度为少?③加速度a=5m/s2时,汽车速度为多少?gEOm*
2、若汽车以的加速度a=0.5m/s2起动,求其匀加速运动的最长时间?
[思路分析]1.①汽车以额定功率起动,达到最大速度时,阻力与牵引力相等,依题,
所以vm=Po/F=PO/f=Po/0.1mg=10m/s
②汽车速度Vi=lm/s时,汽车牵引力为Fi
Fi=Po/vi==lX105N
汽车加速度为ai
ai=(Fi-O.lmg)/m=90m/s2
2
③汽车加速度a2=5m/s时,汽车牵引力为F2
F2-O.Img=ma2F2=6X104N
汽车速度V2=Po/F2=1.67m/s
2、汽车匀加速起动时的牵引力为:
F=ma+f=ma+O.lmg=(10X103X0.5+10X103X10)N=1.5X104N
达到额定功率时的速度为:%=P额/F=6.7m/s
%即为匀加速运动的末速度,故做匀加速运动的最长时间
为:t=vt/a=6.7/0.5=13.3s
[总结]⑴机车起动过程中,发动机的功率指牵引力的功率,发动机的额定功
率指的是该机器正常工作时的最大输出功率,实际输出功率可在零和额定值之
间取值.所以,汽车做匀加速运动的时间是受额定功率限制的.
⑵飞机、轮船、汽车等交通工具匀速行驶的最大速度受额定功率的限制,所以
要提高最大速度,必须提高发动机的额定功率,这就是高速火车和汽车需要大
功率发动机的原因.此外,要尽可能减小阻力.
⑶本题涉及两个最大速度:一个是以恒定功率起动的最大速度V1,另一个是匀
加速运动的最大速度V2,事实上,汽车以匀加速起动的过程中,在匀加速运动后
还可以做加速度减小的运动,由此可知,V2>V1
[变式训练]汽车发动机的额定功率为60kw,汽车质量为5t,运动中所受阻力的
大小恒为车重的0.1倍.
(1)若汽车以恒定功率启动,汽车所能达到的最大速度是多少?当汽车以5m/s
时的加速度多大?
(2)若汽车以恒定加速度0.5m/s2启动,则这一过程能维持多长时间?这一过
程中发动机的牵引力做功多少?
[答案](l)12m/s,1.4m/s2(2)16s,4.8X105J
(三)势能
1.由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量叫做势能.如重力势
能、弹性势能、分子势能、电势能等.
2.重力势能
(1)物体由于受到重力作用而具有重力势能.一个质量为力的物体,被举高
到高度为力处,具有的重力势能为:E°=mgh.
(2)重力势能是相对的,重力势能表达式中的人是物体的重心到参考平面(零
重力势能面)的高度.若物体在参考平面以上,则重力势能为正;若物体在参
考平面以下,则重力势能为负值.通常选择地面作为零重力势能面.
我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能,而是重力势能的变化量.重力
势能的变化量与零重力势能面的选取无关.
(3)重力势能的变化与重力做功的关系:
重力对物体做多少正功,物体的重力势能就减少多少.重力对物体做多少负
功,物体的重力势能就增加多少.即%=—△即
3.弹性势能:物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能.
同样,可以得到靠弹簧一类弹力作用的物体间,其有弹性势能:E=-k^
p2
4.引力势能:系统内万有引力做功也与路径无关。习惯规定质量为旭和M
的可视为质点的物体间相距无穷远时,即势能最大时的势能为零。利用高等数
字的方法,可以得出其势能表达式为:Ep=-^
r
①对于半径为R的均匀球体(质量为M)和距球心为r的质点(质量为m)
构成的系统,因为此时系统的万有引力与球体质量集中于球心时系统的万有
引力相同,故系统的引力势能为:与剪%(r叁R)
r
②对于半径为R的均匀球壳(质量为M)和距球心为r的质点(质量为加)
构成的系统,因为在质点处于球壳内部时,球壳对球壳内质点的万有引力等
于零,引力不做功,故系统的引力势能为:Ep=-9丝丝(r叁R)
GMm
Ep二.(r<R)
R
(四)机械能守恒定律
1.动能和势能(重力势能和弹性势能)统称为机械能:E=Ek+Ep.
2.在只有重力(和系统内弹簧的弹力)做功的情形下,物体的动能和重力势
能(及弹性势能)发生相互转化,但机械能的总量保持不变.这个结论叫做机
械能守恒定律.
3.判断机械能守恒的方法一般有两种:
(1)对某一物体,若只有重力(或系统内弹簧的弹力)做功,其他力不做功
(或其他力做功的代数和为零),则该物体的机械能守恒.
(2)对某一系统,物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化,系统跟外
界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能产
生),则系统的机械能守恒.
4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤:
(1)根据题意,选取研究对象(物体或系统).
(2)明确研究对象的运动过程,分析对象在过程中的受力情况,弄清各力做
功情况,判断是否符合机械能守恒的条件.
(3)恰当地选取参考平面,确定研究对象在过程的起始状态和末了状态的机
械能(包括动能和重力势能).
(4)根据机械能守恒定律列方程,进行求解.
功能关系的总结
做功的过程就是能量转化的过程,功是能量转化的量度.在本章中,功和
能的关系有以下几种具体体现:
(1)动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系,即合外力做功的过程,
是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程,合外力所做的功是物体动能变
化的量度,
即/=耳「心「
(2)重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程,重
力做的功量度了重力势能的变化,即暗与一”「
(3)重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能转化的过程,重
力以外的力做的功量度了机械能的变化,即吸外=后一瓦
(4)作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积,在
数值上等于系统内能的增量.即“摩擦生热”:相对,所以,尸滑相对量
度了机械能转化为内能的多少.
可见,静摩擦力即使对物体做功,由于相对位移为零而没有内能产生.
提高题
1.三峡工程是一座具有防洪、发电、航运以及养殖和供水巨大综合利用
效益的特大型水利水电工程。其主要数据如图所示。
项目对应指项目对应指
该指标的实
项目项目对应的指标标的表示符标采用的单
际数据
号位
坝高Hm185
大坝坝长Lm2335
最大蓄水位hm175
总库容量Vim33.93OxlO10
水库防洪库容量310
V2m2.215xlO
平均年流量311
v3m4.510X10
总装机数Ni台26
总装机数容量p1.82OxlO10
电站w
年平均发电量wj3.048xl017
注意:大坝蓄水采用自动控制装置,即大坝下边开闸门放水的瞬间上边开
始注水,从而几乎始终保持最大蓄水位。设水的密度为0=1.000X1()34g/?〃3;
1度电=1KW.h=3.600xl06j;g=9.8根/S2;请根据表中的有关信息完成下
列三题:
(1)、年平均消耗水能E=(用表中有关符号及「表示);=
)(保留四位有效数字)。
(2)、年转化为电能的百分比为%(保留四位有效数字)。
(3)、年发电时间约为天(保留四位有效数字)。
2.如图所示,一个物体的质量为m自A点从静止开始沿槽4
滑到B点后,离开支持面飞出。若在A至B的过程中8
械能损失为E,物体在B点飞出的水平分速度为V,则、/
物体飞出后到达的最高点与A的高度差为。1/
3.如图所示,一块均匀的正方形板的边长为。重为G,可绕通过.
/_______JO
B
。点的水平轴转动,从A。呈水平位置开始将板释放,摆动
一定时间后最后静止,3点在。点的正下方,在这个过程中,
方块板损失的机械能为
4.人从一定的高度落地容易造成骨折。一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5
XlO^N/n?,胫骨最小横截面积大多为3.2cm2。假若一质量为50kg的人
从某一高度直膝双足落地,落地时其重心又约下降1cm。试计算一下这
个高度超过多少时,就会导致胫骨骨折。(gMX10m/s2)
5.某地区的平均风速为6.0m/s,已知空气的密度为L2kg/m3,此地有一风车,
它的车叶转动时可形成半径为20m的圆面,假如这具风车能将圆内10%
的气流的动能转化为电能。求:(1)平均每秒钟有多少体积的气流冲击
风车车叶形成圆面?
(2)这些气流动能为多少?
(3)这台风车发电功率P为多少?
6、质量为4.0千克的物体A静止在水平桌面上,另一个质量为2.0千克的物
体B以5.0米/秒的水平速度与物体A相撞,碰撞后物体B以1.0米/秒的速度
反向弹回、相撞过程中损失的机械能是—焦
7、在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体,作用一段
时间后,换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力
甲作用时间相同时,物体恰好回到原处,此时物体的动能为32焦,则在整个
过程中,恒力甲做的功等于焦,恒力乙做的功等于焦。
8、(30分)如图所示.一根长为L的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b,
它们的质量分别为ma和mb.杆可绕距a球为1/4L处的水平定轴。在竖直平
面内转动.初始时杆处于竖直位置,小球b几乎接触桌面.在杆的右边水平桌
面上,紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块。图中ABCD为过立
方体中心且与细杆共面的截面.现用一水平恒力F作用于a球上.使之绕。
轴逆时针转动,求当a转过a角时小球b速度的大小.设在此过程中立方体
物块没有发生转动,且小球6与立方体物块始终接触没有分离.不计一切摩
擦.
(第二十二届全国中学生物理竞赛预赛试题)
9、(25分)如图所示,一块光滑的平板能绕水平固定轴HH'调节其与水平
面所成的倾角.板上一根长为/=1.00m的轻细绳,它的一端系住一质量为m
的小球P,另一端固定在HH'轴上的O点.当平板的倾角固定在a时,
先将轻绳沿水平轴HH'拉直(绳与HH'重合),然后给小球一沿着平板并
与轻绳垂直的初速度vo=5.Om/s.若小球能保持在板面内作圆周运动,问倾
角a的值应在什么范围内(取图中a处箭头所示方向为a的正方向).取重
力加速度g=10m/s2.(第二十四届全国中学生物理竞赛预赛试题)
机械能答案
一、基础题:
123456789
ADDBBADDD
10.(1)要消耗24.8kg氢气.⑵20s;10m/5
11.(1),J—(2)>V2^?;Fs
Va
⑶mY2asmY2asmY2as
⑶、(4)、——(3)、~
t2cost/lat
12.5.7X10%
二、提高题:
1.pghNi7.735xlO1739.41193.9
2.解析:物体由A滑到B的过程中,损失的机械能为克服阻力所做的功,
即叼=E。而物体从B点飞出后,它达到最高点时只有水平速度,此时
动能为EK=-mv2;
2
设高度差为心全过程应用动能定理
12
mgh-Wf=Ekmgh-E=—mvh—v~/2g+E/mg
3.Ga(V2-l)/2
4.解析:由题胫骨最小处所受冲击力超过
F=,S=1.5X1()8X2X3.2X10TN=9.6X104N时会造成骨折。
设下落地安全高度为%,触地时重心又下降高度为h2,落地者质量为m,
落地速度为V,与地碰撞时间为。,由动能定理mg(hi+h2)-Fh2=0所以
h1=—A2-/z2
mg
qio4
代入数据得hi=------x0.01m-0.01m=\.9\m
50x10
5.解析:(1)取底面积与车叶转动圆面积相等的圆柱体,取圆柱体的长度为
vxl,则圆柱体内的气体即为每秒钟冲击车叶的气流体积
V=^r2xyxl=^-x202x6xl=7.54x103(m3)
⑵这些气流的动能为/=1pVv2=|xl,2x7.54xl03x62=1.63X105(J)
⑶这些气流的动能有10%转化为电能,单位时间内产生的电能即为发电的
功率P=Ek义10%=1.63x104W.
6、6
7、8,24
8、如图所示,用%表示a转过a角时b
球速度的大小,。表示此时立方体速度的
大小,则有
vbcosa=v(1)
由于b与正立方体的接触是光滑的,
相互作用力总是沿水平方向,而且两者在
水平方向的位移相同,因此相互作用的作
用力和反作用力做功大小相同,符号相反,
做功的总和为0.因此在整个过程中推力
/所做的功应等于球a、人和正立方体机械能的增量.现用%表示此时。球速
度的大小,因为a、6角速度相同,Oa=-l,Ob=-l,所以得
44
%=:%⑵
根据功能原理可知
42(44J2(44)2
(3)
将(1)、(2)式代入可得
2
II112
F--sma^-ma-mn2\-------cosa
42"(4422
9l[Fsina+\m-3叫)g(l—cosa)]
解得a(4)
%=2
2ma+18%+18mcosa
9、
当光滑平板与水平面的做角为。时,无论小球P处在斜面上什么位置.它受的重力在制而上的
投影总是*1[于〃川,大小总是等于psina.以他作为重力的一个分力,财重力的另一个分力即孽
直于斜面的分力“sea总是与斜面对小球P的支持力平做.这样.小MP在斜倚内只受上述重力
的分量pan。和制绳拉力的作用.
当小球P运动到第周的・高点时,缰怪垂立于而,”的拉力与小理所受重力的分量Npina
沿M—血纹.这时只要细嵬不松也.小单就能保持怦面内作照明运动•设小球到达■周或育点时
的速度为。,绳的拉力为7.有r
°的速度为明绳的技力为兀有6。1
⑴
由能量关系.杳
(2)
由⑴<2)式得
(3)
细绳不松弛的条件是
(4)
O由(3)、(4)式得
⑸
代人有关数据,得
(6)
当倾角a<0时,经相同的分析可得
a»一«rcsin(卷)⑺
由(6)、(7)网式,可知a的取值范图为
⑻
评分标准:本题25分.
动力学考试
1、长为2L的轻杆竖直地立在光滑地面上,杆上固
定着两个质量均为m的小球A和B,A与B、B与
地面的距离均为L。现给它们一个轻微的扰动,使杆
沿顺时针方向倒下。不计一切阻力,并设杆与地面始终
保持接触,试求A球运动的轨迹方程。
777777777T7777777777
2、一辆邮车以u=10m/s的速度沿平直公路匀速行驶,在离公路d=5.0m
处有一邮递员,当他与邮车的连线和公路的夹角a=arctg:时沿直线匀速奔
跑。试问:(1)如果他的速度大小v=5.0m/s,他应朝什么方向跑,才能与
邮车相遇?(2)如果速度v大
小不限定,他可以选择的v的最T
小值是多少?匕
3、在竖直平面内建立图示直角坐标,在坐标系中有光滑的抛物线轨道,
轨道对应方程y=Ax2。轨道的顶点O处有一小球,受轻微扰动后无初速沿
轨道右方滑下。试问:小球是否会中途脱离轨
道?_x
4、与水平面成a角的钢丝两端固定,其上套有一质量为mi的小环,小环
借助一根轻绳与质量为m2的小球相连。不计一切摩擦,试问:(1)当环和球
的系统从铅直位置开始释放时,绳子的内张力多大?(2)绳子与铅直方向成
多大角度开始释放时,可以确保系统滑
动时不会发生摆动?
5、质量为m、倾角分别为a和p的双斜面体放在水平面上,另有质量分
别为mi和m2的滑块通过轻滑轮跨过双斜面(两边的绳子和斜面平行)。不计
一切摩擦,静止释放整个系统,试求型斜面体的加速度。
《动力学考试》提示与答案
I、提示:整体质心无水平位移。建右图所示的坐标,并引入参数0,然
后消去即可。
27
答案:f+二、=1,轨迹为椭圆。
Av(2L)2
2、提示——
(1)对图示的灰色三角形用正弦定理,有
ut_vt
sinpsina
得0二arcsina叵__
17一__a____—,______x________I___________________
(2)以p为未知,看v(°)……'?、、缶
函数吧
sinp
显然Vmin=usina
答案:(1)与公路夹角0=arctgl+arcsinH歹(约14.0°+29.0°=
417
43.0°);(2)2.43m/s。
3、提示
在小球未脱离轨道时,设一个一般的末态
P:其坐标为(x,y)、对应该点的轨迹切线
倾角为e,如右图。
则p点的速率用能量关系可求
V=72gy=V2gAx
但抛物线在P点得切线斜率为k=tgO=
2Ax
考查Vx=vcos。=-2gA,可见,随x的
rA2v
增加,Vx单调增加,而Vx的增加必以轨道支持力(水平分量)存在为前提。
答案:否。
评说:此题较偏,且作为动力学考试题,只考查了运动学知识。
4、提示
(1)在该瞬时,球体m2的加速度a2方向只会竖直向下。
ni]gsina+Tsina=
环和球的隔曷方程、加速度约束方程为<m2g-T=m2a2,解出张力T
a2=a】sina
即可。
(2)毋须列隔离方程。“不摆动”意味着mi和m2有共同加速度a,由
它们的整体方程得a=gsina,再看m2时,亍必须垂直5的方向。
答案:(1)mdgcos%;(2)0。
ni]+m2sina
5、提不
此题的关键在于
加速度矢量分析,这
里只是思路提示),相
关结论:
ain=asina
a2n=asinp
aii-acosa=a2x-acosp
列mi和m2之n向、T向方程后可解得:
Ni=mi(gcosa-asina)
N2=m2(gcosp+asinp)
T=血10(g(sina+sin。)+a(cosa-cosB))
mi+m2
最后列m之隔离方程Nisina+Tcosp-Tcosa—N2sinP=ma即可解
出a(但化简工作至为艰苦,要有充分耐心…)
里安.(ni]sina-m2sinP)(ni]cosa+m2cosp)
2
(m(+m2)(m+nil+m2)-gcosa+m2cosp)
全国物理竞赛预赛模拟试题
说明:本试卷分I卷(选择题)和II卷(非选择题)两部分,共150分,考
试时间120分钟.
第I卷(选择题共40分)
一、本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的4个
选项中,有的小题只有一个选项正确,有的小题有多个选项正确,全部选对
的得4分,选不全的得2分,有错选或不答的得0分.
1.如图1-2所示,甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动,乙上连
有一段轻弹簧,甲乙相互作用过程中无机械能损失,下
列说法正确的有——
A.若甲的初速度比乙大,则甲的速度后减到0厨
B.若甲的初动量比乙大,则甲的速度后减到0■〃〃加力
C.若甲的初动能比乙大,则甲的速度后减到0
D.若甲的质量比乙大,则甲的速度后减到0
2.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗,让漏斗左、右摆动,于
是桌面上漏下许多砂子,经过一段时间形成一砂堆,砂堆的纵剖面最接近下
图1-1中的哪一种形状
3.特技演员从高处跳下,要求落地时必须脚先着地,为尽量保证安全,他
落地时最好是采用哪种方法
A.让脚尖先着地,且着地瞬间同时下蹲B.让整个脚板着地,且着地瞬间
同时下蹲
C.让整个脚板着地,且着地瞬间不下蹲D.让脚跟先着地,且着地瞬间同
时下蹲
4.动物园的水平地面上放着一只质量为M的笼子,
笼内有一只质量为m的猴子.当猴以某一加速度沿竖直||||门
柱子加速向上爬时,笼子对地面的压力为B;当猴以同
样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时,笼子对地面的出
压力为F2(如图1-3),关于Fi和F2的大小,下列判叫
断中正确的是||||||
A,F]=F2>(M+m)g
B.Fi>(M+ni)g,F2〈(M+m)g
C.Fi>F2>(M+m)g
D.Fi<(M+m)g,尸2>(M+rri)g
5.下列说法中正确的是
A.布朗运动与分子的运动无关
B.分子力做正功时,分子间距离一定减小
C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象
D.通过热传递可以使热转变为功
6.如图1-4所示,虚线a、b、c代表电场中的三个等势面,相邻等势面之
间的电势差相等,即Uab=Ubc,实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过
该区域时的运动轨迹,P、Q是这条轨迹上的两点,据此可知
A.三个等势面中,。的电势最高
B.带电质点通过P点时电势能较大
C.带电质点通过尸点时的动能较大
D.带电质点通过尸点时的加速度较大
7.如图I-5所示,L为电阻很小的线圈,Gi和G为内门三
阻不计、零点在表盘中央的电流计.当开关K处于闭合状态一
时,两表的指针皆偏向右方,那么,当K断开时,将出现⑥
A.G1和G2的指针都立即回到零点3
B.Gi的指针立即回到零点,而G的指针缓慢地回到
零占
C.Gi的指针缓慢地回到零点,而G2的指针先立即偏向左方,图1.5慢
地回到零点
D.Gi的指针先立即偏向左方,然后缓慢地回到零点,而G2的指针缓慢
地回到零点
8.普通磁带录音机是用一个磁头来录音和放音的,磁头结构示意如图I-6
(a)所示,在一个环形铁芯上绕一个线圈,铁芯有一个缝隙,工作时磁带就
贴着这个缝隙移动,录音时磁头线圈跟话筒、放大电路(亦称微音器)相连
(如图I-6(b)所示);放音时,磁头线圈改为跟扬声器相连(如图I-6(c)
所示).磁带上涂有一层磁粉,磁粉能被磁化且留下剩磁.微音器的作用是把声
音的变化转化为电流的变化;扬声器的作用是把电流的变化转化为声音的变
化.由此可知①录音时线圈中的感应电流在磁带上产生变化的磁场,②放音时
线圈中的感应电流在磁带上产生变化的磁场,③录音时磁带上变化的磁场在
线圈中产生感应电流,④放音时磁带上变化的磁场在线圈中产生感应电流.以
上说法正确的是
图I-6
A.②③B.①④C.③④D.①②
9.下列说法中正确的是
A.水中的气泡有时看上去显得格外明亮,这是由于光从空气射向水时发
生了全反射的缘故
B.凸透镜成虚像时,物的移动方向与像的移动方向相反
C.当物体从两倍焦距以外沿主光轴向凹透镜靠近时,物体与像之间的距
离不断变小,而像则不断变大
D.红光和紫光在同一种玻璃中传播时,红光的传播速度比紫光的大
10.经典波动理论认为光的能量是由光的强度决定的,而光的强度又是由
波的振幅决定的,跟频率无关,因此,面对光电效应,这种理论无法解释以
下哪种说法
A.入射光频率(极限频率)时,不论入射光多强,被照射的金属不
会逸出电子
B.光电子的最大初动能只与入射光频率有关,而与入射光强度无关
C.从光照射金属到金属逸出电子的时间一般不超过10-9s
D.当入射光频率v>v0时,光电流强度与入射光强度成正比
第II卷(非选择题共110分)
二、本题共3小题,每小题5分,共15分.
11.起重机以恒定功率从地面竖直提升一重物,经t时间物体开始以速度
v匀速运动,此时物体离地面高度h=.
12.如图图I-7所示,足够大的方格纸PQ水平放置,每个方格边长为I,
在其正下方水平放置一宽度为L的平面镜MN,在方格纸上有两小孔A和
B,AB宽度为d,d恰为某人两眼间的距离,此人通过A、B孔从平面镜里
观察方格纸,两孔的中点。和平面镜中的点01在同一竖直线上,则人眼
能看到方格纸的最大宽度是,人眼最多能看到同一直线上的方格数
是.
AB
3
卜卜
用o'X
77777177*
图I-7图I-8
13.如图I-8所示,固定于光滑绝缘水平面上的小球A带正电,质量为2
m,另一个质量为m,带负电的小球B以速度vo远离A运动时,同时释
放小球A,则小球A和3组成的系统在此后的运动过程中,其系统的电势
能的最大增量为.
三、本题共3小题,共20分,把答案填在题中的横线上或按题目要求
作图.
14.(6分)在"测定玻璃砖折射率"的实验中,已画3
好玻璃砖界面的两条直线aa'和bb',无意中将玻璃
b
砖平移到图I-9中的虚线所示位置.若其他操作正确,则测得的折射率将
(填“偏大”“偏小”或“不变”).
15.(6分)在“研究电磁感应现象”实验中:
(1)首先要确定电流表指针偏转方向和电流方向间
的关系.实验中所用电流表量程为100〃A,电源电动势为
1.5V,待选的保护电阻有:=100kQ,&=lkQ,
&=10Q,应选用作为保护电阻.
(2)实验中已得出电流表指针向右偏转时,电流是
"+"接线柱流入的,那么在如图1-10所示的装置中,若
将条形磁铁S极朝下插入线圈中,则电流表的指针应向图I-10
16.(8分)一种供仪器使用的小型电池标称电压为9V,允许电池输出
的最大电流为50mA,为了测定这个电池的电动势和内电阻,可用如
下器材:电压表®内阻很大,R为电阻箱,阻值范围为0-99990;Ro为保
护电阻,有四个规格,即:
A.10Q,5WB.190Q,-WC.200Q,-WD.L
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