第09讲概率初步(9大考点)(原卷版+解析)2

第09讲概率初步（9大考点）考点考向考点考向一、必然事件、不可能事件和随机事件随机事件与概率初步1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3)事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.三、古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.四、用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.五、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.考点精讲考点精讲一．随机事件（共3小题）1．（2022•德保县二模）“正方形既是矩形又是菱形”是事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）2．（2022春•武进区期中）下列说法错误的是（）A．某商场对顾客健康码的审查，选择抽样调查 B．在复学后，某校为了检查全校学生的体温，选择全面调查 C．为了记录康复后的新冠肺炎病人的体温情况，适合选用折线统计图 D．“发热病人的核酸检测呈阳性”是随机事件3．（2022•开福区校级三模）“随手翻开华师大版初中数学课本，翻到的页码恰好是3的倍数”，这个事件是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）．二．可能性的大小（共2小题）4．（2022秋•柳江区月考）从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是．5．（2022秋•临平区月考）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（）A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数三．概率的意义（共5小题）6．（2022•礼县模拟）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是．7．（2022•思明区校级二模）下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生8．（2022•长沙）下列说法中，正确的是（）A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查 B．“太阳东升西落”是不可能事件 C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次9．（2022秋•朝阳区校级月考）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为．10．（2022•丰顺县校级开学）一则广告声称本次活动的中奖率为20%，其中一等奖的中奖率为1%．小明看到这则广告后，想：“我抽5张就会有1张中奖，抽100张就会有1张中一等奖．”你认为小明的想法对吗？四．概率公式（共5小题）11．（2022秋•南关区校级月考）一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是事件；摸到黄球是事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．12．（2022•鼓楼区校级模拟）为了解某市快递员的收入情况，现随机抽取了甲、乙两家快递公司80天的送货单，对两个公司的快递员人均每天的送货单数进行统计，数据如下：已知这两家快递公司的快递员的日工资方案为：甲公司规定底薪80元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成4元．每位快递员平均每天送货单数30405060天数甲10401812乙10352015（1）现从这80天中随机抽取1天，求这一天甲公司快递员人均送货单数超过50（不含50）单的概率；（2）根据以上统计数据，若将各公司快递员的人均送货单数视为该公司各快递员的送货单数，①估计乙快递公司各快递员的日均送货单数；②小明拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作．如果仅从工资收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．13．（2022•青秀区校级三模）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取100名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．调查问卷1．近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2．影响你睡眠时间的主要原因是______（单选）．A．学习效率低B．校外学习任务重C．校内课业负担重D．其他平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组；（2）随机调查一名学生，该学生睡眠时间达到9小时的概率是多少？（3）若全校有1000名学生，请估计该校由于“学习效率低”而睡眠时间不足9小时的人数；（4）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．14．（2022秋•定海区校级月考）有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6、、、﹣2、．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数是无理数的概率是．15．（2022•丹东）四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（）A． B． C． D．1五．几何概率（共5小题）16．（2022秋•拱墅区月考）把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在奇数区域的概率是．17．（2022•朝阳）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．118．（2020秋•天河区期末）如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）（1）求的长和阴影部分的面积；（2）若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计）19．（2021•江岸区校级自主招生）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．20．（2021春•任城区期中）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．颜色奖品红色玩具熊黄色童话书绿色彩笔无色无奖品小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：（1）小明获得奖品的概率是多少？（2）小明获得童话书的概率是多少？六．列表法与树状图法（共2小题）21．（2022秋•沈阳月考）将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回．再从中随机摸出一个小球并记下数字．请用列表法或画树状图法求两次摸出的小球数字不同的概率．22．（2022秋•雁塔区校级月考）在一个不透明的口袋中装有四个大小质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4每次摸球前将袋子搅拌均匀．（1）若从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“4”的概率是；（2）若从这四个小球中随机抽取两个小球，用画树状图或列表的方法求取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？七．游戏公平性（共2小题）23．（2022秋•碑林区校级月考）有A，B两个不透明的袋子，A袋4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）（1）若从A袋中随机摸出一个小球，则小球上数字是偶数的概率是；（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．24．（2022•南海区校级模拟）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．（1）如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B，A与B外围区域记为C）．二人约定：在C区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．（2）如图2，在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），则选择D，E，F三个区域踩到雷的概率分别是．八．利用频率估计概率（共2小题）25．（2022秋•拱墅区月考）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（）A．8 B．12 C．16 D．2026．（2022春•工业园区期中）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是．九．模拟试验（共2小题）27．（2022•兴化市一模）在研究“抛掷两枚硬币，落地后不同结果的概率”时．方案1：用两枚相同的一元硬币做试验；方案2：用一元和五角各一枚硬币做试验．请用表格或树状图分别求出两种方案中的“两个正面朝上”的概率，由此你有何发现？28．（2022•定西二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01），由此估出红球有个．（2）现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江省杭州市上泗中学九年级二模）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（）A． B． C． D．2．（2021·辽宁沈阳·）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定3．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（）A． B． C． D．4．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（）A． B． C． D．5．（2021·全国九年级专题练习）随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（）A． B． C． D．6．（2021·佛山市华英学校九年级期末）四张完全相同的卡片上，分别画有菱形、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（）A． B． C． D．1二、填空题7．（2021·辽宁锦州·中考真题）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____．8．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是_______．9．（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）在□ABCD中，点E在AD上，在平行四边形内随意取一个点P，则点P落在△BCE内的概率为______．10．（2021·福建省福州延安中学九年级月考）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个黄球和5个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为________．11．（2021·深圳市宝安中学（集团）九年级模拟预测）一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个．12．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______．13．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）若从，1，2这三个数中，任取两个分别作为点的横、纵坐标，则点在函数图象上的概率是__．14．（2021·全国九年级专题练习）用下面的两个圆盘进行“配紫色”游戏，则配得紫色的概率为______________．15．（2021·重庆实验外国语学校九年级三模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，球上分别标有数字1，，4，，随机摸取一个小球记作，然后不放回，再随机摸取一个小球记作，则为正数的概率是______．三、解答题16．（2021·全国九年级专题练习）在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．（1）试求出a的值；（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．17．（2021·全国九年级专题练习）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：转动转盘的次数n1002004005008001000落在“可乐”区域的次数m60122240298604落在“可乐”区域的频率0.60.610.60.590.604（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）（2）请估计当n很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；（结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？18．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球个，蓝球个，黄球个．（1）现从中任意摸出一个球，求摸到黄球的概率；（2）现规定：摸到红球得分，摸到蓝球得分，摸到黄球得分，甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用画树状图或者列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于分的概率．19．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：投篮次数n1050100150200命中次数m4256590120命中率0.40.50.65（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？20．（2021·沈阳实验中学九年级二模）我校初高中学生正在为积极筹备“艺体节”活动，校学生会为此次活动演出选择以下四个场地：A“篮球馆”、B“羽毛球馆”、C“未来广场”、D“田径场”，四个场地各有优缺点，体育馆场地干净整洁，但不易搭建舞台；羽毛球馆室内采光较好，但场地较小；未来广场安静优雅，但地面不平坦；田径场场地平坦而且较大，但受天气影响较大，于是对本校学生进行调查了解，调查结果如图所示，并完成下列问题：（1）本次一共调查了______名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）本次活动策划人想从这四个场地中随机选取两个场地为活动候选场地，请用树状图或列表的方法求恰好选中“篮球馆”和“羽毛球馆”的概率．第09讲概率初步（9大考点）考点考向考点考向一、必然事件、不可能事件和随机事件随机事件与概率初步1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3)事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.三、古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.四、用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.五、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.考点精讲考点精讲一．随机事件（共3小题）1．（2022•德保县二模）“正方形既是矩形又是菱形”是必然事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）【分析】利用正方形的性质和必然事件的定义进行判断．【解答】解：“正方形既是矩形又是菱形”是必然事件．故答案为必然．【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的也考查了正方形的性质．2．（2022春•武进区期中）下列说法错误的是（）A．某商场对顾客健康码的审查，选择抽样调查 B．在复学后，某校为了检查全校学生的体温，选择全面调查 C．为了记录康复后的新冠肺炎病人的体温情况，适合选用折线统计图 D．“发热病人的核酸检测呈阳性”是随机事件【分析】根据全面调查、抽样调查、随机事件的概念判断即可．【解答】解：A、某商场对顾客健康码的审查，选择全面调查，本选项说法错误，符合题意；B、在复学后，某校为了检查全校学生的体温，选择全面调查，本选项说法正确，不符合题意；C、为了记录康复后的新冠肺炎病人的体温情况，适合选用折线统计图，本选项说法正确，不符合题意；D、“发热病人的核酸检测呈阳性”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，掌握随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．3．（2022•开福区校级三模）“随手翻开华师大版初中数学课本，翻到的页码恰好是3的倍数”，这个事件是随机事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）．【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．【解答】解：“随手翻开华师大版初中数学课本，翻到的页码恰好是3的倍数”，这个事件是随机事件，故答案为：随机．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．二．可能性的大小（共2小题）4．（2022秋•柳江区月考）从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是．【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案．【解答】解：1﹣9的数字卡片中奇数有1，3，5，7，9，共5个数，则抽到奇数的可能性是．故答案为：．【点评】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．5．（2022秋•临平区月考）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（）A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数【分析】根据概率公式，分别求出四个选项中各事件出现的概率，再比较即可．【解答】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果．A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况，∴P点数大于3＝＝；B、点数小于3的数有1，2，两种情况，∴P点数小于3＝＝；C、点数大于5的数有6，一种情况，∴P点数大于5＝；D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况，∴P点数小于5＝＝；∵＞＞＞，∴点数大于5的概率最小，出现可能性最小．故选：C．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三．概率的意义（共5小题）6．（2022•礼县模拟）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是．【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，可以直接应用求概率的公式．【解答】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，所以第10次摸出红珠子的概率是＝．故答案是：．【点评】本题考查了概率的意义，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．7．（2022•思明区校级二模）下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【分析】根据方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查分别对每一项进行分想，即可得出答案．【解答】解：A、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，故本选项错误，不符合题意；B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项错误，不符合题意；C、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是＝2.5，故本选项正确，符合题意；D、可能性是1%的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查，熟记定义与公式是解题的关键．8．（2022•长沙）下列说法中，正确的是（）A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查 B．“太阳东升西落”是不可能事件 C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，逐一判断即可解答．【解答】解：A、调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故A符合题意；B、“太阳东升西落”是必然事件，故B不符合题意；C、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故C不符合题意；D、任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．9．（2022秋•朝阳区校级月考）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为．【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，随机摸出一个蓝球的概率是，设红球有x个，∴＝，解得：x＝3∴随机摸出一个红球的概率是：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．10．（2022•丰顺县校级开学）一则广告声称本次活动的中奖率为20%，其中一等奖的中奖率为1%．小明看到这则广告后，想：“我抽5张就会有1张中奖，抽100张就会有1张中一等奖．”你认为小明的想法对吗？【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【解答】解：小明的想法不对．因为小明将本次抽奖活动中奖率为20%，一等奖中奖率为1%，理解错了，其中的20%、1%是针对所有的奖券而言，而不是任抽几张，这几张的1%为一等奖，20%都获奖，所抽取的几张，可能都有奖，也可能都没有中奖．【点评】本题考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．四．概率公式（共5小题）11．（2022秋•南关区校级月考）一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是事件不可能；（填“不可能”或“必然”或“随机”）（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．【分析】（1）根据随机事件的定义即可求解；（2）求出黑球占总数的几分之几即可；（3）根据概率公式列方程求解即可．【解答】解：（1）∵在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同，∴任意摸出一球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件．故答案为：随机，不可能；（2）＝，故摸到黑球的概率是；（3）设后来放入袋中的黑球的个数是x个，依题意有：＝，解得x＝18．答：后来放入袋中的黑球的个数为18个．【点评】本题考查概率的计算，掌握概率的计算方法是正确解答的前提，理解“摸出一个球是黑球的概率是，就是黑球占总数的，是解决问题的关键．12．（2022•鼓楼区校级模拟）为了解某市快递员的收入情况，现随机抽取了甲、乙两家快递公司80天的送货单，对两个公司的快递员人均每天的送货单数进行统计，数据如下：已知这两家快递公司的快递员的日工资方案为：甲公司规定底薪80元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成4元．每位快递员平均每天送货单数30405060天数甲10401812乙10352015（1）现从这80天中随机抽取1天，求这一天甲公司快递员人均送货单数超过50（不含50）单的概率；（2）根据以上统计数据，若将各公司快递员的人均送货单数视为该公司各快递员的送货单数，①估计乙快递公司各快递员的日均送货单数；②小明拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作．如果仅从工资收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）①用加权平均数的计算方法求得平均数即可；②计算平均工资，通过比较平均工资进行判断即可．【解答】解：（1）因为甲公司快递员人均送货单数超过50（不含50）的80天中有30天，所以甲公司快递员人均送货单数超过50（不含50）的概率为＝．（2）①乙快递公司各快递员的日均送货单数为：×（30×10+40×35+50×20+60×15）＝45（件）；②甲快递公司各快递员的日平均工资为80+×（30×10+40×40+50×18+60×12）＝124（元），乙快递公司各快递员的日平均工资为100+（20×10×4+15×20×4）＝125（元），因为125＞124，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．【点评】本题考查了概率公式及用样本估计总体的知识，解题的关键是了解加权平均数的计算方法，难度不大．13．（2022•青秀区校级三模）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取100名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．调查问卷1．近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2．影响你睡眠时间的主要原因是______（单选）．A．学习效率低B．校外学习任务重C．校内课业负担重D．其他平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第③（填序号）组；（2）随机调查一名学生，该学生睡眠时间达到9小时的概率是多少？（3）若全校有1000名学生，请估计该校由于“学习效率低”而睡眠时间不足9小时的人数；（4）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；（2）用样本中每天睡眠时间达到9小时的学生人数除以样本容量即可；（3）用1000乘以40%即可；（4）根据（1）中求出的每天睡眠时间达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比可对该校学生睡眠时间的情况做出评价，并提出两条建议，答案不唯一．【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这100名学生平均每天睡眠时间的中位数为第50个和第51个数据的平均数，故落在第③组；故答案为：③．（2）＝，答：学生睡眠时间达到9小时的概率是为．（3）1000×40%＝400（人），答：估计该校由于“学习效率低”而睡眠时间不足9小时的人数有400人．（4）答案不唯一，言之有理即可．例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议①：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议②：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业．【点评】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．14．（2022秋•定海区校级月考）有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6、、、﹣2、．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数是无理数的概率是．【分析】用无理数的个数除以数的总数即可求得答案．【解答】解：在6、、、﹣2、中，无理数有、，共2个，则其正面的数是无理数的概率是．故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（2022•丹东）四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（）A． B． C． D．1【分析】用﹣10的个数除以总数即可求得概率．【解答】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是，故选：A．【点评】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．五．几何概率（共5小题）16．（2022秋•拱墅区月考）把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在奇数区域的概率是．【分析】根据几何概率的求法：指针落在奇数区域的概率是就是所标数字为奇数的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：所标数字为奇数的面积占总面积的，∴指针落在奇数区域的概率是．故答案为：．【点评】本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．17．（2022•朝阳）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．1【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，故选：A．【点评】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．18．（2020秋•天河区期末）如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）（1）求的长和阴影部分的面积；（2）若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计）【分析】（1）树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为2的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积；（2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：（1）＝＝3；S树叶形图案＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣22＝2；（2）豆子落在阴影区域内的概率＝＝．【点评】考查了几何概率及扇形的面积的知识，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积．19．（2021•江岸区校级自主招生）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．【分析】（1）根据勾股定理得到c，根据概率公式即可得到结论；（2）根据题意求出c，得到a+b的值，根据三角形的面积公式、完全平方公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵Rt△ABC的两直角边之比均为2：3，∴设b＝2k，a＝3k，由勾股定理得，a2+b2＝c2，∴c＝k，∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是＝；（2）∵正方形EFMN的边长为8，即c＝8，∵Rt△ABC的周长为18，∴a+b+c＝18，∴a+b＝10，则Rt△ABC的面积＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝9．【点评】本题考查的是几何概率，勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．20．（2021春•任城区期中）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．颜色奖品红色玩具熊黄色童话书绿色彩笔无色无奖品小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：（1）小明获得奖品的概率是多少？（2）小明获得童话书的概率是多少？【分析】（1）看有颜色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．（2）看黄色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．【解答】解：（1）∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，∴小明获得奖品的概率＝＝．（2）∵转盘被平均分成16份，其中黄色部分占2份，∴小明获得童话书的概率＝＝．【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概率的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．六．列表法与树状图法（共2小题）21．（2022秋•沈阳月考）将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回．再从中随机摸出一个小球并记下数字．请用列表法或画树状图法求两次摸出的小球数字不同的概率．【分析】先利用树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸出的小球数字不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球数字不同的结果数为6，所以两次摸出的小球数字不同的概率是＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（2022秋•雁塔区校级月考）在一个不透明的口袋中装有四个大小质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4每次摸球前将袋子搅拌均匀．（1）若从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“4”的概率是；（2）若从这四个小球中随机抽取两个小球，用画树状图或列表的方法求取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12个等可能的结果，取得两球的数字之积为奇数的有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）若从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“4”的概率是．故答案为：；（2）画图如下：共有12个等可能的结果，取出的两个小球上的数字之积为奇数的有2个，∴取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．七．游戏公平性（共2小题）23．（2022秋•碑林区校级月考）有A，B两个不透明的袋子，A袋4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）（1）若从A袋中随机摸出一个小球，则小球上数字是偶数的概率是；（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案．【解答】解：（1）小球上数字是偶数的概率是＝，故答案为：；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的．画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，∴P甲获胜＝P乙获胜＝，∴此游戏对双方是公平的．【点评】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．（2022•南海区校级模拟）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．（1）如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B，A与B外围区域记为C）．二人约定：在C区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．（2）如图2，在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），则选择D，E，F三个区域踩到雷的概率分别是1，，．【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；（2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这个游戏不公平，理由如下：∵在C区域的（9×9﹣9﹣4）＝68（个）方块中随机埋藏着（20﹣2﹣1）＝17（颗）地雷，C区域中有（68﹣17）＝51（个）方块中没有地雷，∴小南胜的概率为＝，小语胜的概率为＝，∵＜，∴这个游戏不公平；（2）∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，∴D区域中有2个地雷，∴选择D区域踩到雷的概率为1；∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，∴E区域中有2个地雷，∴选择E区域踩到雷的概率为；∵在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），∴F区域中有：10﹣2﹣2＝6（颗）地雷，∴选择F区域踩到雷的概率为＝；故答案为：1，，．【点评】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．八．利用频率估计概率（共2小题）25．（2022秋•拱墅区月考）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，∴＝0.2，∴m＝20．故选：D．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．26．（2022春•工业园区期中）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是10．【分析】先根据频率估计概率求出球的总个数，继而可得答案．【解答】解：根据频率估计概率知，球的总个数n＝5÷0.5＝10，∴n的估计值为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．九．模拟试验（共2小题）27．（2022•兴化市一模）在研究“抛掷两枚硬币，落地后不同结果的概率”时．方案1：用两枚相同的一元硬币做试验；方案2：用一元和五角各一枚硬币做试验．请用表格或树状图分别求出两种方案中的“两个正面朝上”的概率，由此你有何发现？【分析】列表法或树状图法表示出所有可能出现的结果，进而求出两种方案中的“两个正面朝上”的概率，根据所求的概率总结出发现的规律即可．【解答】解：方案1：用两枚相同的一元硬币做试验可能出现的结果如下表：共有4个结果，其中“两个正面朝上”的结果为1个，∴“两个正面朝上”的概率为；方案2：用一元和五角各一枚硬币做试验可能出现的结果如下表：共有4个结果，其中“两个正面朝上”的结果为1个，∴“两个正面朝上”的概率为；发现：使用相同或不同的硬币不会影响到试验的结果，两个方案中出现“两个正面朝上”的概率均为．【点评】考查等可能事件发生的概率，关键是利用列表法或树状图列举出所有可能出现的结果．28．（2022•定西二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.33（精确到0.01），由此估出红球有2个．（2）现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率．【分析】（1）通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，估计得出答案；（2）画树状图，共有6个等可能的结果，恰好摸到2个红球的情况数，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，设红球有x个，则，解得x≈2．故答案为：0.33，2；（2）画树状图如图：由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到2个红球的有4种．故恰好摸到2个红球的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了利用频率估计概率．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江省杭州市上泗中学九年级二模）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：，解得：x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解；∴黄球的个数为12．故选：B．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．2．（2021·辽宁沈阳·）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定【答案】C【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．【详解】解：．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；故选：．【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．3．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝，故选B．【点睛】本题主要考查概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算公式.4．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用黄色的区域个数除以所有颜色区域总数即可求得答案．【详解】解：∵共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，∴止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是：，故选：A．【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．5．（2021·全国九年级专题练习）随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出点数相同结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其点数相同数为6，所以点数相同的概率＝．故选：D．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．6．（2021·佛山市华英学校九年级期末）四张完全相同的卡片上，分别画有菱形、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】找到中心对称图形的个数除以总卡片数4即为卡片上画的恰好是中心对称图形的概率．【详解】解；菱形，矩形是中心对称图形，所以现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为．故选：B．【点睛】本小题主要等可能事件的概率，注意综合运用所学知识，根据中心对称图形的概念及概率公式解答．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．二、填空题7．（2021·辽宁锦州·中考真题）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____．【答案】8【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．【详解】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.4，所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．故答案为：8．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．8．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是_______．【答案】【分析】根据等可能事件的概率公式，直接求解即可．【详解】解：∵一共有5个数字，偶数有2个，∴从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是=2÷5=，故答案是：．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解题的关键．9．（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）在□ABCD中，点E在AD上，在平行四边形内随意取一个点P，则点P落在△BCE内的概率为______．【答案】【分析】根据题意可以求得△BCE的面积是平行四边形ABCD面积的一半，由此即可求得概率．【详解】解：设三角形EBC中BC边上的高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴三角形EBC中BC边上的高于平行四边形中BC边上的高相等，∵，，∴，∴点P落在△BCE内的概率为．【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键在于求出△BCE的面积是平行四边形ABCD面积的一半．10．（2021·福建省福州延安中学九年级月考）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个黄球和5个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为________．【答案】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有10个小球，其中红球有5个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．11．（2021·深圳市宝安中学（集团）九年级模拟预测）一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个．【答案】26【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为1-0.35，然后根据概率公式计算即可．【详解】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝1-0.35，解得：x＝26，即布袋中白球可能有26个，故答案为：26．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．12．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______．【答案】【分析】根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5，事件发生的可能结果数2，问题即可解决．【详解】从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为；故答案为：．【点睛】本题考查了简单事件的概率的计算，二次函数的性质，求出事件总的可能结果数及事件发生的可能结果数是关键．13．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）若从，1，2这三个数中，任取两个分别作为点的横、纵坐标，则点在函数图象上的概率是__．【答案】【分析】画树状图表示所以等可能的结果，再找出在函数图象上的情况，然后利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图为：共有6种种等可能的结果，它们是，，，，，，，，，在函数图象上，点在函数图象上的概率．故答案为．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握画树状图表示所有情况，再找出符合条件的情况利用概率公式计算是解题关键．14．（2021·全国九年级专题练习）用下面的两个圆盘进行“配紫色”游戏，则配得紫色的概率为______________．【答案】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出配成紫色的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）白（白，红）（白，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）所有等可能的情况有6种，其中配成紫色的情况有2种，则P==．故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（2021·重庆实验外国语学校九年级三模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，球上分别标有数字1，，4，，随机摸取一个小球记作，然后不放回，再随机摸取一个小球记作，则为正数的概率是______．【答案】【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：列表如下：1-24-81-24-8-2-2-81644-8-32-8-816-32由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于正数的有4种结果，所以两次取出的小球上数字之积等于正数的概率为，故答案为．【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．三、解答题16．（2021·全国九年级专题练习）在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放