第11讲实际问题与反比例函数(2大考点)(原卷版+解析)

第11讲实际问题与反比例函数（2大考点）考点考向考点考向一．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．二．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．考点精讲考点精讲一．根据实际问题列反比例函数关系式（共7小题）1．（2021•饶平县校级模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝2．（2021•长沙模拟）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，其函数图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数关系式为（）A． B． C． D．3．（2021秋•海城区月考）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A． B． C． D．4．（2021•苏家屯区二模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为．（无需确定x的取值范围）5．（2021•株洲模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是．6．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．7．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）二．反比例函数的应用（共20小题）8．（2022•牡丹区三模）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：V（单位：m3）11.522.53P（单位：kPa）96644838.432P与V的函数关系可能是（）A．P＝96V B．P＝﹣16V+112 C． D．P＝16V2﹣96V+1769．（2022•南宁模拟）学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（）A．6min B．7min C．8min D．10min10．（2022•沈河区二模）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为度．11．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．12．（2022•岳麓区校级模拟）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是同学．13．（2022•兰陵县二模）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+2向下平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．14．（2022•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值．（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．15．（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对16．（2022•大同三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当R＜0.25时，I＜880 B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0） C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2517．（2022•青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为（用小于号连接）．18．（2022•东海县二模）如图，曲线AB是抛物线y＝﹣x2+2x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点，曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2023，m）在该“波浪线”上，则m的值为．19．（2022秋•荣成市校级月考）疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成一间办公室和一间教室的喷洒共需8min；完成两间办公室和三间教室的喷洒共需21min．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示．进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，后勤人员依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．20．（2022•安次区一模）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销售量y1与浮动销售量y2两个部分组成，其中y1保持不变，y2与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10元时，售出34件；当每件商品的售价定为12元时，售出30件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价；（3）设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大？最大值是多少？21．（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到（）km/h．A．180 B．240 C．280 D．30022．（2022•山海关区一模）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至35℃，如此循环下去．（1）t的值为．（2）如果在0～t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为分钟．23．（2022秋•东城区校级月考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：x/m0102030405060y/m54.057.857.653.445.233.016.8下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数的图象；（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点（填写“高”或“低”）约m（结果保留小数点后一位）．24．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：（1）点A的注意力指标数是．（2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．25．（2022•岱岳区二模）设计师构思了一地标性建筑．如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数y＝（y＞0）和y＝﹣（y＞0），依次向上如图所示作一内角为60°的菱形，使顶点分别在y轴和函数图象上，请写出A2022的坐标．26．（2022•莲池区二模）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为x（kg），室内甲醛含量为y（mg/m3），开机后净化器开始消耗净化药物．当0＜x≤1时，室内甲醛含量不改变；当x＞1时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为t（h）（t＞0），并有以下两种工作模式：模式Ⅰ室内甲醛含量y（mg/m3）与净化药物的消耗量x（kg）成反比，且当x＝2时，y＝0.9；模式Ⅱ净化药物的消耗量由档位值k（0＜k≤10，且k为整数）控制，消耗量是档位值k与时间t的积，计时后甲醛的减少量d（mg/m3）与时间t（h）的平方成正比，且t＝2时，d＝20．已知开机前测得该室内的甲醛含量为1.8mg/m3．（1）在模式Ⅰ下，直接写出y与x的关系式（不写x的取值范围）；（2）在模式Ⅱ下：①用k，t表示x，用t表示d；②当k＝5时，求y与x的关系式（不写x的取值范围）．（3）若采用模式Ⅱ去除甲醛，当k＝5，y＝1mg/m3时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请通过计算说明理由．27．（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：x/周824T/千套1026（1）求T与x的函数关系式；（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为．（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·湖南娄底·九年级期中）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（）A． B． C． D．2．（2021·吉林·长春外国语学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BFAF，则k的值为（）A．12 B．8 C．6 D．33．（2021·山东莱州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数（x>0）的图象上，点Р是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（）A．4 B． C． D．5．（2021·重庆·字水中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为5，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若DE＝2EC，则k的值为（）A． B． C． D．二、填空题6．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．7．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室九年级期中）如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（2，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为________．8．（2021·安徽·马鞍山八中九年级期中）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝___．9．（2021·重庆第二外国语学校九年级月考）如图，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，过点B向x轴作垂线，垂足为A，连接OB，则△OAB的面积为___．10．（2021·广西桂林·九年级期中）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为_______．11．（2021·山东龙口·九年级期中）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内的反比例函数y=（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．若点A的纵坐标为2，则k的值为_________．12．（2021·山西实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点，且交线段上点，连接，．若，则的值为______．13．（2021·山东栖霞·九年级期中）若点M是反比例函数图象上任意一点，轴于，点在轴上，的面积为，则的值为_________．三、解答题14．（2021·山东高新技术产业开发区·九年级期中）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量（万支）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？15．（2021·山东龙口·九年级期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求该反比例函数的关系式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？16．（2021·山东龙口·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数(k≠0)的图象交于C，D两点，点C的坐标为(n，6)．（1）求该反比例函数的表达式；（2）求点D的坐标；（3）连接OC，OD，求COD的面积．17．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室九年级期中）已知函数y＝的图象经过点（－2，3）．（1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象；（2）当x取什么值时，函数的值小于0?18．（2021·安徽省安庆市外国语学校九年级期中）如图，直线y=kx与反比例函数(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图形上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）求OBC的面积；

19．（2021·河北安新·九年级期末）某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米．（1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）；（2）能否建造米的活动场地？请说明理由；（3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用）20．（2020·山东·日照市新营中学九年级期中）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？21．（2021·安徽·合肥市五十中学东校九年级月考）如图，李老师准备用篱笆围建一个面积为60m2的矩形花圃ABCD，其中一边AB靠墙．（1）设AD的长为x米，DC的长为y米，求y与x之间的函数关系式；（2）当矩形花圃ABCD的相邻两边之比是0.6时（接近黄金分割），花圃最美观．若围成矩形花圃ABCD的三边篱笆总长不超过24m，且为了美观，求此时篱笆AD的长．22．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级期中）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8）、Q（4，m）两点，与x轴交于A点．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）连接OP、OQ，则S△OPQ=．（3）不等式k1x+b≥的解集是．23．（2021·山东莱州·九年级期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M在x轴上，且ΔAMC的面积为6，求点M的坐标．24．（2021·河南·郑州一中经开区实验学校九年级期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点（点在点的左侧），已知点的坐标为，的面积为8（1）填空：反比例函数的关系式为__________；（2）试求直线的函数表达式；（3）试判断反比例函数图象上是否存在点，使与面积相等，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．25．（2021·四川·达州市通川区第八中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．（1）求一次函数的解析式；（2）求不等式mx+n＞的解集；（3）连接MC，AO在x轴上，是否存在点P使S△PAO＝SMBOC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．第11讲实际问题与反比例函数（2大考点）考点考向考点考向一．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．二．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．考点精讲考点精讲一．根据实际问题列反比例函数关系式（共7小题）1．（2021•饶平县校级模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】利用三角形面积公式得出xy＝10，进而得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy＝10，∴y与x的函数关系式为：y＝．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出xy＝10是解题关键．2．（2021•长沙模拟）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，其函数图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数关系式为（）A． B． C． D．【分析】设函数解析式为I＝，由于点（4，6）在函数图象上，故代入可求得k的值．【解答】解：设所求函数解析式为I＝，∵（4，6）在所求函数解析式上，∴k＝4×6＝24．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题列反比例函数解析式，点在函数图象上，就一定适合这个函数解析式．3．（2021秋•海城区月考）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A． B． C． D．【分析】可设I＝，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值．【解答】解：设I＝，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k＝3×2＝6，∴I＝．故选：C．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．4．（2021•苏家屯区二模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝．（无需确定x的取值范围）【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，∴k＝0.25×400＝100，∴y＝．故答案为：y＝．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．5．（2021•株洲模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是y＝．【分析】记AP边上的高为DE，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，然后整理即可得到y与x的关系式．【解答】解：如图，记AP边上的高为DE，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴＝，∴＝，∴y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式、矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．6．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．【分析】（1）根据题意列出函数表达式；（2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值；（3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值，再和实际情况比较即可．【解答】解：（1）根据题意，路程为400，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，则v关于t的函数表达式为v＝；（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，解得：t≥5，∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；（3）∵v≤100，≤100，解得：t≥4，∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，7点至10点40分，是3小时，∴他不能在10点40分之前到达B地．【点评】本题考查了列函数表达式，根据函数关系式求自变量的范围，反比例函数的应用，列出表达式是解题的关键．7．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P＝140代入得到V即可．【解答】解：（1）设，由题意知，所以k＝96，故；（2）当v＝1m3时，；（3）当p＝140kPa时，．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．二．反比例函数的应用（共20小题）8．（2022•牡丹区三模）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：V（单位：m3）11.522.53P（单位：kPa）96644838.432P与V的函数关系可能是（）A．P＝96V B．P＝﹣16V+112 C． D．P＝16V2﹣96V+176【分析】观察表格发现VP＝96，从而确定两个变量之间的关系即可．【解答】解：观察发现：VP＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，故P与V的函数关系式为P＝，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大．9．（2022•南宁模拟）学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（）A．6min B．7min C．8min D．10min【分析】根据题意列式计算即可．【解答】解：∵通电加热时每分钟上升10℃，∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8（min），故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．10．（2022•沈河区二模）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为200度．【分析】设函数的解析式为y＝（x＞0），由x＝400时，y＝0.25可求k，进而可求函数关系式，然后把y＝0.5代入解析式即可求得答案．【解答】解：设函数的解析式为y＝（x＞0），∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，∴k＝400×0.25＝100，∴解析式为y＝，∴当y＝0.5时，x＝＝200（度），答：小明的近视镜度数可以调整为200度，故答案为：200．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．11．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为400Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．12．（2022•岳麓区校级模拟）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是乙同学．【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离越远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故答案为：乙．【点评】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是解决本题的关键．13．（2022•兰陵县二模）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围是x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+2向下平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；（3）将直线y＝﹣x+2向下平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+2﹣a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，∴xy＝2，∴xy＝4，∴y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围为x＞0，故答案为：y＝，x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；（3）将直线y＝﹣x+2向下平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+2﹣a，整理得，x2+（a﹣2）x+4＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，∴Δ＝（a﹣2）2﹣16＝0，解得a1＝6，a2＝﹣2（不合题意舍去），故此时a的值为6．【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的性质，一次函数与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．14．（2022•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值．（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥，由反比例函数y＝可得y≥36时，x≤25，根据25﹣＝＞17，即可得到答案．【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝45时，y＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，∴AB的解析式为y＝x+20，当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，由（1）得反比例函数的解析式为y＝，当y≥36时，≥36，解得x≤25，∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，∵指标达到36为认真听讲，而25﹣＝＞17，∴李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x＜10和20≤x≤45时的解析式．15．（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．16．（2022•大同三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当R＜0.25时，I＜880 B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0） C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），∵该图象经过点P（880，0.25），∴＝0.25，∴U＝220，∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．17．（2022•青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为P1＜P2＜P3（用小于号连接）．【分析】根据反比例函数的性质解答即可．【解答】解：∵P＝，F＞0，∴P随S的增大而减小，∵A，B，C三个面的面积比是5：3：1，∴P1，P2，P3的大小关系是：P1＜P2＜P3，故答案为：P1＜P2＜P3．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键．18．（2022•东海县二模）如图，曲线AB是抛物线y＝﹣x2+2x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点，曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2023，m）在该“波浪线”上，则m的值为．【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线的k，再求出点C，得到4个单位为一个循环，求出m．【解答】解：如图所示：由图可得，A，C之间的水平距离为4，由抛物线y＝﹣x2+2x+1可得，顶点B（1，2），∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝，∵2023÷4＝505…3，∴点P（2023，m）在双曲线y＝（k≠0）上，∴即点P的纵坐标m＝，故答案为：．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（2022秋•荣成市校级月考）疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成一间办公室和一间教室的喷洒共需8min；完成两间办公室和三间教室的喷洒共需21min．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示．进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，后勤人员依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．【分析】设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，根据题意列方程组可得一间教室的药物喷洒时间为5min，即可根据点A在y＝2x上，求出点A的坐标（5，10），从而得反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，即可作出判断．【解答】解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，解得，∴一间教室的药物喷洒时间为5min，∴11个教室需要55min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式可解得：k＝50，∴反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，∴一班学生能安全进入教室．【点评】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．20．（2022•安次区一模）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销售量y1与浮动销售量y2两个部分组成，其中y1保持不变，y2与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10元时，售出34件；当每件商品的售价定为12元时，售出30件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价；（3）设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大？最大值是多少？【分析】（1）设y2＝（k≠0），则y＝y1+y2＝y1+，将（10，34），（12，30）代入求解即可；（2）求出y＝40时x的值即可；（3）根据销售总额W＝x（10+）＝10x+240且x≤18可得．【解答】解：（1）由已知设y2＝（k≠0），则y＝y1+y2＝y1+，将（10，34），（12，30）代入上式，得，解得，∴y＝10+．即y与x之间的函数关系式为y＝10+（0＜x≤18）；（2）由题意得，10+＝40，解得，x＝8，经检验，x＝8是原方程的根，∴该商品销售数量为40件时，每件商品的售价为8元；（3）根据题意可得销售总额为：W＝x（10+）＝10x+240，∵10＞0，W随x的增大而增大，而x≤18，∴当x＝18时，W有最大值，最大值＝10×18+240＝420（元）．即当每件商品的售价为18元时超市的销售总额最大，最大值是420元．【点评】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．21．（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到（）km/h．A．180 B．240 C．280 D．300【分析】依据行程问题中的关系：时间＝路程÷速度，即可得到列车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式，把t＝2.5h代入即可得到答案．【解答】解：设列车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t＝，把v＝200时，t＝3代入得：3＝，∴k＝600，∴列车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t＝，当t＝2.5h时，即2.5＝，∴v＝240，答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．22．（2022•山海关区一模）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至35℃，如此循环下去．（1）t的值为50．（2）如果在0～t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为20分钟．【分析】（1）当25≤x≤t时，求得反比例的解析式，即可得出答案；（2）分别求出0～t分钟内的一次函数解析式和反比例函数解析式，令y＝50解答即可．【解答】解：（1）当25≤x≤t时，设第一次循环过程中反比例函数表达式为y＝，由题意得，70＝，∴m＝1750，∴y＝，∴当y＝35时，t＝50，∴t的值是50．故答案为：50；（2）当0≤x≤25时，设第一次循环过程中一次函数表达式为y＝kx+b，将（0，20），（25，70）代入得，，解得，∴一次函数表达式为y＝2x+20；∴当y＝50，则2x+20＝50，解得：x＝15；当y＝50，＝50，解得：x＝35，∴在0～t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为35﹣15＝20（分钟）．故答案为：20．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及求函数值，理解题意是关键．23．（2022秋•东城区校级月考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：x/m0102030405060y/m54.057.857.653.445.233.016.8下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数的图象；（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为14.5m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高（填写“高”或“低”）约2.8m（结果保留小数点后一位）．【分析】（1）根据表中的数据在平面直角坐标系描出个点，用光滑曲线将各个点连接起来即可；（2）观察图象可得出，曲线可看作抛物线的一部分，结合图象，可得出抛物线的解析式，即可得出甲运动员何时达到最高点；（3）在（2）的基础上，可得出甲的最高点，再比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据表中的数据在平面直角坐标系描出个点，用光滑曲线将各个点连接起来，如图所示：（2）由图象可知，曲线可看作抛物线的一部分，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，将（0，54），（10.57.8），（50，33）代入，得，解得．∴y＝﹣0.02x2+0.58x+54．当x＝﹣＝14.5时，y最大，∴当水平距离为14.5m时，取最高；故答案为：抛物线；14.5；（3）甲最高为y＝＝58.205（m），∴61﹣58.205＝2.795≈2.8（m），故答案为：高；2.8．【点评】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．24．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：（1）点A的注意力指标数是24．（2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．【分析】（1）根据C的坐标求解析式，再求D得坐标，从而得A得坐标；（2）待定系数法求解；（3）利用函数和不等式的关系求解．【解答】解：（1）设CD：y＝，由C（20，48）得k＝960，∴D（40.24），由图可知：点A的注意力指标数是24．（2）当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝kx+b，∴∴∴．（3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．理由：当y≥36时，，解之得x≥5；当20≤x≤40时，反比例函数解析为：．当y≥36时，，解之得．∴当时，注意力指标数都不低于36．而，∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．【点评】本题考查了函数在生活中的应用，熟练掌握各种函数的性质是解题的关键．25．（2022•岱岳区二模）设计师构思了一地标性建筑．如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数y＝（y＞0）和y＝﹣（y＞0），依次向上如图所示作一内角为60°的菱形，使顶点分别在y轴和函数图象上，请写出A2022的坐标（0，2）．【分析】根据反比例函数的解析式和菱形可以求出A1，再求出A2，A3根据坐标规律，得出结论．【解答】解：设C（x，x），则x2＝，x＝1（x＞0）；∴C（1，），∴A1（0，2）．由待定系数法得BF：y＝x+2；解：得F（﹣，+1）；∴A2（0，2）；同理：A3（0，2）；∴A2022（0，2）；故答案为：（0，2）．【点评】本题考查得是反比例函数和一次函数得综合题，还涉及到规律问题，是一道综合性很强的题．26．（2022•莲池区二模）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为x（kg），室内甲醛含量为y（mg/m3），开机后净化器开始消耗净化药物．当0＜x≤1时，室内甲醛含量不改变；当x＞1时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为t（h）（t＞0），并有以下两种工作模式：模式Ⅰ室内甲醛含量y（mg/m3）与净化药物的消耗量x（kg）成反比，且当x＝2时，y＝0.9；模式Ⅱ净化药物的消耗量由档位值k（0＜k≤10，且k为整数）控制，消耗量是档位值k与时间t的积，计时后甲醛的减少量d（mg/m3）与时间t（h）的平方成正比，且t＝2时，d＝20．已知开机前测得该室内的甲醛含量为1.8mg/m3．（1）在模式Ⅰ下，直接写出y与x的关系式（不写x的取值范围）；（2）在模式Ⅱ下：①用k，t表示x，用t表示d；②当k＝5时，求y与x的关系式（不写x的取值范围）．（3）若采用模式Ⅱ去除甲醛，当k＝5，y＝1mg/m3时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请通过计算说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）根据题意列函数解析式；（3）通过计算比较大小，得出结论．【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝，把当x＝2时，y＝0.9代入得0.9＝，∴k＝1.8，∴y与x的关系式为y＝；（2）①由已知得x＝kt+1；设d＝at2，把t＝2时，d＝20得，20＝22a，∴a＝5，∴d＝5t2；②正确的应该为y＝﹣1/5（x﹣1）2+1.8，当k＝5时，y＝﹣1/5（x﹣1）2+1.8＝1，解得x＝3，当x＝3时，对于模式1，有y＝1.8/3＝0.6，因为1＞0.6，所以消耗相同的净化药物，模式2去除甲醛的效果更好当0＜x≤1时，y＝1.8，当x＞1时，由d＝5t2，x＝5t+1得：y＝1.8﹣．（3）模式Ⅰ去除甲醛的效果更好．理由：当y＝1.8﹣＝1时x＝3（x＞1）；当x＝3时，y＝＝0.6，∵1＞0.6，∴模式Ⅰ去除甲醛的效果更好．【点评】本题考查了函数在生活中的应用，结合实际问题求函数的解析式是解决问题的关键．27．（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：x/周824T/千套1026（1）求T与x的函数关系式；（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为K＝﹣x+44．（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．【分析】（1）通过待定系数法求函数关系式．（2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解．（3）分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案．【解答】解：（1）当0＜x≤8时，设T＝（m≠0），根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，∴10＝，解得：m＝120，∴当8＜x≤24时，设T﹣2＝nx（n≠0），根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，∴26﹣2＝24n，解得：n＝1，∴T﹣2＝x，∴T＝x+2，综上所述T与x的函数关系式为：∴；（2）当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为K＝kx+b，将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入得：，解得：，∴当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为K＝﹣x+44，故答案为：K＝﹣x+44；（3）①存在，不变的值为240，由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝k1x+b1，将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入得：，解得：，∴当0＜x≤12时，K与x的函数关系式为K＝2x+8，∴当0＜x≤8时，y＝KT＝（2x+8）＝240；当8＜x≤12时，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16；当12＜x≤24时，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88，综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为240．②当8＜x≤12时，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣3，∴（Ⅰ）当8＜x≤12时，在对称轴右侧y随x的增大而增大，当2（x+3）2﹣2＝286时，解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）；当x＝12时，y取最大值，最大值为448，满足286≤y≤504；当x＝9时，周销售量T的最小值为11；当x＝12时，T取最大值14；（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x﹣21）2+529，抛物线的对称轴为x＝21，当x＝12时，y取最小值，最小值为448，满足286≤y≤504；当﹣（x﹣21）2+529＝504时，解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；当x＝12时，周销售量T取最小值为14；当x＝16时，T取最大值18；综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．【点评】本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图象的性质；一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·湖南娄底·九年级期中）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．把代入得，，则，即的横坐标是；同理可得：的横坐标是：．则．则．故选：D．【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，解题的关键是理解、的纵坐标是同一个值，表示出的长度．2．（2021·吉林·长春外国语学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BFAF，则k的值为（）A．12 B．8 C．6 D．3【答案】B【分析】根据正方形的面积算出边长，求出点B，E的坐标，再代入解析式求解即可；【详解】∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴，，设B点的坐标为，则E点的坐标为，∵点B，E在反比例函数的图象上，∴，解得：,；故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的求解，准确计算是解题的关键．3．（2021·山东莱州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数（x>0）的图象上，点Р是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】两个阴影图形均为三角形，根据三角形的面积公式计算推出阴影面积和为矩形面积的一半即可．【详解】解：由反比例函数的性质得：S矩形AOBD=6，∵，∴故选：A．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义和图形的转换，关键在于将阴影的面积转换为已知条件．4．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根据点A、B，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，设点B，再根据点B是AC的中点，可用m表示点A的坐标，轴、轴，可用m表示点D、E的坐标，结合梯形面积公式解题即可．【详解】解：点A、B，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，设点B点B是AC的中点，且点C在x轴上，轴、轴，且点D、E，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，是重要考点，解题的关键是用m表示A、B、D、E的坐标，难度不大．5．（2021·重庆·字水中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为5，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若DE＝2EC，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正方形的面积为5，可得正方形的边长为，则；过点作于，轴于，易证，可得．利用勾股定理可求，利用三角形的面积公式列出式子可求，点坐标可得，利用待定系数法值可求．【详解】解：正方形的面积为5，正方形的边长为．．．过点作于，轴于，如图，，，又，，在和中，，，，在中，，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征、正方形的性质、待定系数法、三角形全等的判定及性质，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度．二、填空题6．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．【答案】240【分析】由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案.【详解】解：由题意设把代入得：当h时，，所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，故答案为：.【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.7．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室九年级期中）如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（2，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为________．【答案】答案不唯一【分析】根据第一象限内的图象经过点A（2，3），先求出函数解析式，给出一个值负数，求出y的值即可解答．【详解】解：图象经过点A（2，3），反比例函数当x=-2时，P点坐标为故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，是开放型题目，答案不唯一，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·安徽·马鞍山八中九年级期中）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝___．【答案】8【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．9．（2021·重庆第二外国语学校九年级月考）如图，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，过点B向x轴作垂线，垂足为A，连接OB，则△OAB的面积为___．【答案】1【分析】直接根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．【详解】解：∵BA⊥x轴，∴S△OAB=×|2|=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．10．（2021·广西桂林·九年级期中）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为_______．【答案】【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质得出四边形是正方形，再根据点的坐标可得，然后根据正方形面积等于图中阴影部分的面积可求出，从而可得点的坐标，最后利用待定系数法即可得．【详解】解：如图，由题意得：四边形是正方形，，，由正方形和反比例函数的对称可知，正方形面积等于图中阴影部分的面积，即为4，则，即，利用平方根解方程得：或（不符题意，舍去），，将点代入反比例函数得：，则这个反比例函数的解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．11．（2021·山东龙口·九年级期中）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内的反比例函数y=（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．若点A的纵坐标为2，则k的值为_________．【答案】【分析】作轴，作，根据全等三角形的性质求得点坐标，即可求解．【详解】解：作轴，作，如下图：由题意可得：，∵∴在和中∴∴，由题意可得：，∴点坐标为∴，化简得解得（负值舍去）∴故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图像与性质，解题的关键是构造全等三角形．12．（2021·山西实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点，且交线段上点，连接，．若，则的值为______．【答案】【分析】过点C作CE⊥x轴于E，设A（m，0），B（m，m），且m>0，得到，推出，再由，求出，=6，利用梯形面积公式求出，由此得到答案．【详解】解：过点C作CE⊥x轴于E，∵，，的边在轴正半轴上，∴设A（m，0），B（m，m），且m>0，∴=m，∵点为斜边的中点，∴，∴OE=CE=，∵反比例函数的图象过点，∴，∴，∴，∵，点D在线段AB上，∴点D的横坐标为m，∵反比例函数的图象过点D，∴当x=m时，，∴，∴AD=，AE=AO-OE=m-=，∴，，∴，又∵=6，∴=6，∴，∴，解得，∴=8，故答案为：8．【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键．13．（2021·山东栖霞·九年级期中）若点M是反比例函数图象上任意一点，轴于，点在轴上，的面积为，则的值为_________．【答案】4【分析】连接OA，由于AB⊥y轴，根据三角形面积公式得到S△OMN＝S△PMN＝2，再根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△OMN|k|，所以|k|＝2，然后解方程即可．【详解】解：连接OM，如图，