第06讲圆的有关性质(6大考点)(原卷版+解析)

第06讲圆的有关性质（6大考点）考点考向考点考向1.圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．2.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3.垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．4.弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．5.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．考点精讲考点精讲一．圆的认识（共3小题）1．（2022秋•仓山区校级月考）下列结论正确的是（）A．半径相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧 C．半径是弦 D．弧是半圆2．（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm3．（2022秋•东台市校级月考）已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为厘米．二．垂径定理（共6小题）4．（2022秋•启东市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．35．（2022秋•江阴市校级月考）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为．6．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．7．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．8．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．9．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．三．垂径定理的应用（共5小题）10．（2022秋•海淀区校级月考）如图，直径是50cm的圆形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB．11．（2021秋•潜山市期末）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．12．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？13．（2022秋•启东市校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高（的中点C到弦AB的距离）CD为4m．（1）求圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）有一艘宽为10m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．14．（2022秋•灌南县校级月考）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？四．圆心角、弧、弦的关系（共8小题）15．（2022秋•沭阳县校级月考）在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的半径的长为．16．（2022秋•工业园区校级月考）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：（1）AD＝BC；（2）AE＝CE．17．（2022秋•江宁区月考）若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是．18．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是．19．（2022•成都模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为．20．（2022•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．（1）求证：BC＝CE；（2）当DC＝时，求⊙O的半径．21．（2022•成都模拟）如图，AB是⊙O直径，，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．22．（2022•郫都区模拟）如图，AB是⊙O直径，＝，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．五．圆周角定理（共7小题）23．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，点C在上，点D在半径OB上，则下列结论正确的是（）A．∠ACD+∠AOB＝180° B．∠ACB+∠AOB＝180° C．∠ACB+∠AOB＝180° D．∠OAC+∠OBC＝180°24．（2022秋•江宁区月考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD．25．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA＝60°，则∠CDB＝°．26．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为．27．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．28．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过O作OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D．（1）试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；（2）若∠B＝45°，AP＝4，则⊙O的半径为．（直接写出答案）29．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：（1）BC平分∠ACE；（2）AB∥CE．六．圆内接四边形的性质（共11小题）30．（2022秋•玄武区校级月考）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝130°，则∠B的度数为（）A．130° B．128° C．115° D．116°31．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．32．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．33．（2022秋•崇川区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若∠BAD＝120°，求证：AC＝AB+AD．34．（2022•庐江县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．35．（2022•迎泽区校级模拟）如图，⊙O内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，CD＝6，BC＝8，分别以四边形的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．100π B．100π﹣49 C．49π D．4936．（2022•渝北区自主招生）如图，四边形BCDE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，满足AB⊥CD于点F，连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点E到线段AB的距离为．37．（2022•锡山区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；∠DAC＝°（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．38．（2021秋•呼和浩特期末）如图，已知圆内接四边形ABCD，AB∥DC．（1）求证：AD＝BC；（2）当圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于圆心O时，判断四边形ABCD的形状，并写出判断过程．39．（2021秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．40．（2022•西安模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC．（1）求证：BF∥CD．（2）当AD+CD＝5时，求线段BD的长．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江九年级月考）如图，在⊙O中，半径r=10，弦AB=16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（）A．10 B．16 C．6 D．82．（2021·浙江诸暨市暨阳初级中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．52° B．26° C．64° D．128°3．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（）A．36° B．30° C．25° D．22.5°4．（2021·广东九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（）A．25° B．50° C．40° D．80°5．（2021·广东九年级期末）如图；“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材；埋在壁中；不知大小；以锯锯之；深一寸；锯道长一尺；问径几何”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径；弦AB垂直CD于点E；CE＝1寸；AB＝10寸；则直径CD的长为（）A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸6．（2021·湖南长沙市·明德华兴中学九年级开学考试）如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（）A．48° B．24° C．36° D．96°7．（2021·广州市南武实验学校九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠A的度数为（）A．112° B．68° C．65° D．52°8．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定9．（2021·全国）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（）A． B． C． D．10．（2021·哈尔滨市萧红中学九年级三模）如图，是的外接圆，，于点，，则的半径为（）．A． B． C．6 D．1211．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，这是一张从某大桥正侧面拍摄的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为80米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）A．在桥拱正下方部分的桥面EF的实际长度约为50米．B．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为18米．C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为11米．D．桥面上BF段的实际长度约20米．12．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等；⑤平分弦的直径垂直于弦；⑥任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题13．（2021·全国九年级课时练习）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________．14．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级二模）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则__________．15．（2021·全国）如图，是的弦，是上一点，交于点，连接，，若，，则的度数为________．16．（2021·浙江九年级月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8，EM=8，则⊙O的半径为_________．17．（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠C＝40°，∠AED＝100°，则∠D＝______．18．（2020·广州市第七中学九年级期中）点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则的度数是____________．19．（2021·全国九年级课时练习）如图是一条直径为2米的圆形污水管道横截面，其水面宽1.6米，则此时污水的最大深度为________米．20．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；⊙M的半径为；（3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M；（4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过个格点．21．（2021·哈尔滨市萧红中学九年级三模）设直线与圆交于、两点，为直线上一点，若圆的直径为10，，，则的值为_______．22．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．当点从点运动到点时，线段扫过的面积是______．23．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．24．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中，分别以点A（4，6）、点B（6，8）为圆心，以2、6为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为__________________．三、解答题25．（2021·浙江九年级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP=5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．26．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．求四边形ADBC的面积的最大值．27．（2021·杭州市采荷中学九年级二模）如图是一个以线段为直径的半圆，请用圆规和直尺作出一个的角，使这个角的顶点在弧（、两点除外）上．（保留作图痕迹，不写作法）28．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，以CD为直径作⊙O，分别与AC，BC，AB交于点E，F，G．（1）求证：AE＝CE；（2）若CE＝4，CF＝3，求DG的长．29．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，（1）求⊙O的半径；（2）求O到弦BC的距离．第06讲圆的有关性质（6大考点）考点考向考点考向1.圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．2.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3.垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．4.弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．5.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．考点精讲考点精讲一．圆的认识（共3小题）1．（2022秋•仓山区校级月考）下列结论正确的是（）A．半径相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧 C．半径是弦 D．弧是半圆【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B、半圆是弧，原结论正确；C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；故选：B．【点评】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．2．（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．3．（2022秋•东台市校级月考）已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为6厘米．【分析】直径是圆中最长的弦，所以此题中，圆的直径是12厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，∴⊙O的直径是12厘米．∴⊙O的半径是6厘米．故答案为：6．【点评】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．二．垂径定理（共6小题）4．（2022秋•启东市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．3【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，∴CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，∵AP＝8，∴OP＝8﹣R，在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，即（8﹣R）2+42＝R2，解得：R＝5，∴⊙O的半径为5，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，能熟练应用垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．5．（2022秋•江阴市校级月考）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为（6，0）．【分析】由以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，可以想到过点P作PC⊥AB，利用垂径定理，即可求得答案．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，∴AC＝BC，∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，∴BC＝2，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0）．故答案为：（6，0）．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题结合了直角坐标系的知识，有一定的综合性，不过难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．6．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．【解答】（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．【点评】本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．7．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用．8．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【分析】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；（2）根据勾股定理可得半径．【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．【点评】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AD＝AE是解题关键．三．垂径定理的应用（共5小题）10．（2022秋•海淀区校级月考）如图，直径是50cm的圆形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB．【分析】先根据垂径定理得出AB＝2AD，再由圆柱形油槽的直径为50cm求出OC的长，再根据油深CD为15cm得出可求出OD的长，根据勾股定理可得出AD的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，连接OA，∵OC⊥AB于点D，∴AB＝2AD，∵直径是50cm，∴OA＝OC＝25cm，∴OD＝OC﹣CD＝25﹣15＝10cm，由勾股定理知，AD＝＝5cm，∴AB＝10cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．（2021秋•潜山市期末）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．【解答】解：连接AO，∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C为AB的中点，∴AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱门所在圆的半径是15分米．【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．12．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【分析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；（2）延长OE交圆O于点F求得EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，然后利用，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【解答】解：（1）∵直径AB＝26m，∴OD＝，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD＝5：24，∴OE：ED＝5：12，∴设OE＝5x，ED＝12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1，∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，延长OE交圆O于点F，∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．13．（2022秋•启东市校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高（的中点C到弦AB的距离）CD为4m．（1）求圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）有一艘宽为10m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD＝AB＝8m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10，∴圆的半径为10m．（2）此货船能顺利通过这座拱桥．理由：∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，∴CE＝4﹣2＝2（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣2＝8（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣82＝36，∴EN＝6（m）．∴MN＝2EN＝2×6＝12＞10．∴此货船能顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．14．（2022秋•灌南县校级月考）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．四．圆心角、弧、弦的关系（共8小题）15．（2022秋•沭阳县校级月考）在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的半径的长为4．【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，可得AC＝4，再由勾股定理得圆的半径，从而得出直径．【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵∠AOB＝90°，∠A＝∠AOC＝45°，∴OC＝AC，∵CO＝4，∴AC＝4，∴OA＝4，∴⊙O的半径长为4．故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理和等腰三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．16．（2022秋•工业园区校级月考）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：（1）AD＝BC；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD，推出弧AB＝弧CD，推出弧AD＝弧BC，即可得到AD＝BC；（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∴弧AB﹣弧AC＝弧CD﹣弧AC，∴弧AD＝弧BC，∴AD＝BC；（2）∵AD＝BC，∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．17．（2022秋•江宁区月考）若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是144°．【分析】由于一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则把360°也分成2：3两个圆心角，然后利用比例的性质计算劣弧所对圆心角的度数．【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为360°×＝144°．故答案为：144°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．18．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是90°．【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．【解答】解：根据题意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．19．（2022•成都模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为2．【分析】作AE⊥AC交CD的延长线于点E，先证△ABC≌△ADE，得出AC＝AE，S△ABC＝S△ADE，最后根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD得出结论．【解答】解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵，∴AB＝AD，∵∠CBD＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，∴∠CBD+∠ABD＝∠CAD+∠ACD，即∠ABC＝∠ADE，作AE⊥AC交CD的延长线于点E，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AC＝AE，S△ABC＝S△ADE，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC•AE＝AC2＝10，∴AC＝，故答案为：2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键．20．（2022•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．（1）求证：BC＝CE；（2）当DC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）由圆周角定理得出∠DBC＝45°，∠ACB＝90°，进而得出∠CEB＝45°，得出∠CEB＝∠DBC，即可证明BC＝CE；（2）由等腰直角三角形的性质得出BE＝CE，由△DCE∽△ABE，得出，代入计算即可得出AB＝2，继而求出⊙O的半径为1．【解答】（1）证明：∵所对圆心角为90°，∴∠DBC＝45°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CEB＝45°，∴∠CEB＝∠DBC，∴BC＝CE；（2）解：∵∠ECB＝90°，CE＝CB，∴△CEB是等腰直角三角形，∴BE＝CE，∵∠DCE＝∠ABE，∠CDE＝∠BAE，∴△DCE∽△ABE，∴，∵DC＝，∴，∴AB＝2，∴⊙O的半径为1．解法二：连接OD，OC，则OD＝OC．又∵弧DC所对的圆心角为90°，∴△DOC为等腰直角三角形，∵DC＝，∴OD＝OC＝1，即⊙O的半径为1．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．21．（2022•成都模拟）如图，AB是⊙O直径，，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．【分析】（1）连接AD，证明∠A＝∠F，再根据三线合一即可证明AE＝EF；（2）先求出DE＝CE＝5，由∠C的正切求出BE＝，从而得到BF的值，在Rt△BGF中即可求出答案．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是直径，，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE＝90°，∵CG⊥DF，∠F+∠FBG＝90°，又∵∠CBE＝∠FBG∴∠C＝∠F，∵，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠F，又∵AF⊥DE，∴AE＝EF；（2）解：∵CD＝EF＝10，AB⊥CD，∴DE＝CE＝EF＝5，∴tan∠F＝tan∠C＝，∴BE＝CE＝，∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，∴BG＝．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系等圆的有关知识和三角函数，第（2）问解题的关键是求出BF的长．22．（2022•郫都区模拟）如图，AB是⊙O直径，＝，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的判定和性质即可得出结论；（2）利用直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．【解答】解：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠C+∠CBE＝90°，又∵BG⊥DF，∴∠F+∠FBG＝90°，∵∠CBE＝∠FBG，∴∠F＝∠C＝∠A，∴DA＝DF，∵CD⊥AB，∴AE＝EF；（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝＝5，∵tan∠F＝＝＝tan∠C＝，∴BE＝＝，∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，在Rt△BFG中，tan∠F＝，设BG＝x，则FG＝2x，由勾股定理得，BG2+FG2＝BF2，即x2+（2x）2＝（）2，解得x＝（x＞0），即BG＝．【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及圆周角定理是解决问题的前提．五．圆周角定理（共7小题）23．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，点C在上，点D在半径OB上，则下列结论正确的是（）A．∠ACD+∠AOB＝180° B．∠ACB+∠AOB＝180° C．∠ACB+∠AOB＝180° D．∠OAC+∠OBC＝180°【分析】首先在优弧AB上取点E，连接AE，BE，利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得答案．【解答】解：在优弧AB上取点E，连接AE，BE，∵∠E＝∠AOB，∠ACB+∠E＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°．故B正确，A，C，D错误．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24．（2022秋•江宁区月考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由AB＝CD得到＝，所以AC＝BD．【解答】证明：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．25．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA＝60°，则∠CDB＝30°．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CDB＝∠A，然后利用直角三角形的两锐角互余计算出∠A，从而得到∠CDB的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBA＝90°，∵∠CBA＝60°，∴∠A＝30°，∴∠CDB＝∠A＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．26．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为6．【分析】过O作OD⊥BC于D，求出∠OPB＝∠POD，根据等腰三角形的判定得出PD＝OD，设PD＝OD＝x，则根据垂径定理得出BD＝CD＝x+1，再个勾股定理求出x即可．【解答】解：过O作OD⊥BC于D，则∠ODP＝∠ODB＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠POD＝∠OPB＝45°，∴PD＝OD，设PD＝OD＝x，∵直径AB＝2，∴OB＝OA＝，∵OD⊥BC，OD过圆心O，∴BD＝CD，∵PC＝1，∴BD＝CD＝x+1，在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2，即（x+1）2+x2＝（）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），即BD＝CD＝2+1＝3，即BC＝3+3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．27．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．【分析】（1）由平行线的性质得出∠CDF＝∠ACD，由圆周角定理得出∠CAF＝∠CDF，证出∠ACD＝∠CAF，则可得出结论；（2）由垂径定理和圆周角定理可求∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，可证△ACO是等边三角形，可得AC＝AO＝6，由勾股定理可求AG的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠CDF＝∠ACD，∵＝，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CAF，∴AG＝CG；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴，∴，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝3＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（3﹣AG）2+9，∴AG＝2，∴GE＝，∴DG＝4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．28．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过O作OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D．（1）试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；（2）若∠B＝45°，AP＝4，则⊙O的半径为2．（直接写出答案）【分析】（1）先根据垂径定理得到AC＝PC，BD＝BD，然后根据三角形中位线定理判断CD与AB的关系；（2）连接OA、OP，根据圆周角定理得∠AOP＝2∠B＝90°，根据垂径定理得AC＝PC＝AP＝2，∠AOC＝∠AOP＝45°，则△AOC是等腰直角三角形，可得OA＝2，即可得⊙O的半径．【解答】解：（1）CD∥AB，CD＝AB．理由如下：∵OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D，∴AC＝PC，BD＝PD，∴CD为△ABP的中位线，∴CD∥AB，CD＝AB；（2）连接OA、OP，∵∠B＝45°，∴∠AOP＝2∠B＝90°，∵OC⊥AP，∴AC＝PC＝AP＝2，∠AOC＝∠AOP＝45°，∴△AOC是等腰直角三角形，OA＝2，即⊙O的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，熟记这些定理和性质是解题的关键．29．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：（1）BC平分∠ACE；（2）AB∥CE．【分析】（1）根据弦、弧、圆周角的关系求解即可；（2）OB、OC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC，进而得到AC＝BE，根据圆周角定理求解即可．【解答】证明：（1）∵AB＝BE，∴，∴∠ACB＝∠BCE，∴BC平分∠ACE；（2）连接OC、OB，∵OA、OB、OC是⊙O半径，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABO＝∠ACO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AB＝BE，∴AC＝BE，∴，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥CE．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．六．圆内接四边形的性质（共11小题）30．（2022秋•玄武区校级月考）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝130°，则∠B的度数为（）A．130° B．128° C．115° D．116°【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据等腰三角形的性质求出∠AEC，再根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：连接AC、CE，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠CAE+∠D＝180°，∵∠D＝130°，∴∠CAE＝180°﹣130°＝50°，∵＝，∴∠ACE＝∠AEC＝×（180°﹣50°）＝65°，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣65°＝115°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．31．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为40°．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．32．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为144°．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．33．（2022秋•崇川区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若∠BAD＝120°，求证：AC＝AB+AD．【分析】据连接BD，延长AD至E，使得DE＝AB，先证明BC＝CD，再证明△ABC≌△EDC，进而得△ACE为等边三角形，便可AC＝AE，从而得出结论．【解答】证明：连接BD，延长AD至E，使得DE＝AB，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∴，∴BC＝CD，∵∠BAD＝120°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝60°，∵四边形ABCD是⊙内接四边形，∴∠CDE＝∠ABC，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠ACB＝∠ECD，AC＝CE，∴∠BCD＝∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝AD+DE，∴AC＝AB+AD．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．34．（2022•庐江县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．【分析】（1）先利用圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，则根据勾股定理可计算出BD＝13cm，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长；（2）把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，根据旋转的性质得到∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，∠ABC＝∠ADE，再证明E点在CD的延长线上，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，所以CE＝AC，从而得到结论．【解答】（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转的性质．35．（2022•迎泽区校级模拟）如图，⊙O内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，CD＝6，BC＝8，分别以四边形的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．100π B．100π﹣49 C．49π D．49【分析】连接BD，由圆周角定理得出BD是⊙O的直径，由勾股定理求出BD＝10，AB＝AD＝5，S阴影部分＝π•+π•+π•+π•﹣π•+•AD•AB+•BC•CD，代入计算，即可得出答案．【解答】解：如图，连接BD，∵⊙O内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵CD＝6，BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝＝＝5，∴S阴影部分＝π•+π•+π•+π•﹣π•+•AD•AB+•BC•CD＝π•+π•+π•+π•﹣π•+××+×8×6＝π+π+8π+π﹣25π+25+24＝49，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形，勾股定理，掌握圆周角定理，勾股定理，圆的面积公式，直角三角形的面积公式等知识是解决问题的关键．36．（2022•渝北区自主招生）如图，四边形BCDE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，满足AB⊥CD于点F，连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点E到线段AB的距离为．【分析】如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R．设OA＝OC＝r．利用勾股定理求出r，再证明CD＝QE＝8，利用勾股定理求出BE，再利用面积法求出ER，可得结论．【解答】解：如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R．设OA＝OC＝r．∵AB⊥CD，AB是直径，∴CF＝DF＝4，＝，在Rt△OCF中，r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝10，∵∠ABC＝∠DBE，∴＝＝，∴＝，∴CD＝AE＝8，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝6，∵ER⊥AB，∴S△ABE＝•AB•ER＝•AE•BE，∴ER＝，∴点E到线段AB的距离为．故答案为：．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．37．（2022•锡山区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝110°；∠DAC＝20°（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质写出答案即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（3）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据相似三角形的性质得到，设BH＝k，AH＝2k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°；∵AC⊥BD，∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝20°，∴∠DAC＝∠DBC＝20°；故答案为：110，20；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴＝＝，∴，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．38．（2021秋•呼和浩特期末）如图，已知圆内接四边形ABCD，AB∥DC．（1）求证：AD＝BC；（2）当圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于圆心O时，判断四边形ABCD的形状，并写出判断过程．【分析】（1）连接AC，根据平行线的性质得出∠ACD＝∠BAC，再推出＝，再推出答案即可；（2）根据圆周角定理得出∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，再根据矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∴＝，∴AD＝BC；（2）解：四边形ABCD是矩形，理由是：∵对角线AC和BD交于O，O是圆心，∴AC和BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．39．（2021秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．40．（2022•西安模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC．（1）求证：BF∥CD．（2）当AD+CD＝5时，求线段BD的长．【分析】（1）证明∠F＝∠DCF＝45°，然后利用内错角相等，两直线平行做判断即可；（2）延长AD，使得DM＝DC，构造相似三角形，然后相似三角形的性质求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB＝BC，∴，∵∠ADC＝90°．∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵CF⊥BD，∴∠DCF＝45°，又∠F＝∠BDC＝45°，∴∠F＝∠DCF＝45°，∴BF∥CD；（2）如图：延长AD至点N，使得DN＝DC，连接NC，∵∠ADC＝90°，DN＝DC，∴∠N＝∠DCN＝45°，∴sinN＝，∵AD+CD＝5，∴AD+DN＝AN＝5，∴∠N＝∠BDC，∵∠DAC＝∠DBC，∴△NAC∽△DBC，∴，∴，解得：BD＝5，∴线段BD的长为5．【点评】本题考查了圆周角定理以及相似三角形的运用，解题的关键是熟练运用等弧所对的圆周角相等，并作出适当的辅助线构造相似三角形．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江九年级月考）如图，在⊙O中，半径r=10，弦AB=16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（）A．10 B．16 C．6 D．8【答案】C【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理的求得AC=8，由勾股定理求出OC=6，由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短为6即可．【详解】解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，∴AC=AB=×16=8，∵⊙O的半径r=10，∴OA=10，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC==6，由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短=OC=6，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．2．（2021·浙江诸暨市暨阳初级中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．52° B．26° C．64° D．128°【答案】A【分析】先利用直角三角形的两锐角互余得出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可．【详解】解：，，，，，，的度数为．故选A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键．3．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（）A．36° B．30° C．25° D．22.5°【答案】B【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，∴OA=OB=OG=BG=AB，∴△OAB和△OBG都是等边三角形，∴∠OBA=∠OBG=60°，∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），∴∠CBG=30°，∴α=30°，故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（2021·广东九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（）A．25° B．50° C．40° D．80°【答案】C【分析】连接BD，由AB是直径，得到∠ADB=90°，再由圆心角与圆周角的关系得到∠BDC=50°，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接BD，∵AB是⊙O直径，∴∠BDA＝90°，∵∠BOC=100°∠CDB＝50°，∴∠ADC＝40°，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021·广东九年级期末）如图；“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材；埋在壁中；不知大小；以锯锯之；深一寸；锯道长一尺；问径几何”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径；弦AB垂直CD于点E；CE＝1寸；AB＝10寸；则直径CD的长为（）A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸【答案】D【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，∴AE=BE=AB=×10=5寸，根据勾股定理得x2=52+(x-1)2，解得x=13，CD=2x=2×13=26（寸）．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．6．（2021·湖南长沙市·明德华兴中学九年级